下 篇 应 用 光 学

应用光学是工程化的一门学科，为了工程设计的需要必然要进行一些简化，建立一种实用化的数学模型。如力学中引用了质点，电学中引用了点光源，上篇中也引用了点光源，即引用了数学中的δ函数。应用光学又分为几何光学、像差理论及光学设计。 几何光学是以光线为基础，用几何方法研究光在各向同性均匀介质中的传播规律及光学系统的成像特性。在此基础上建立了理想光学系统这一数学模型，以它为标准，评定光学系统的成像质量。即使从光线角度研究光在介质中的传播，由于折射定律的非线形,点光源发出的光束经光学系统成象后也不再是一个点(δ函数)差从而出现了像差理论，它是光学设计的理论基础。由于篇幅和学时的限制，本教材对这部分只做了简单介绍。 评价光学系统的成像质量应根据几何像差和波差，即将应用光学和物理光学结合起来考虑。

第五章 几何光学的基本定律及光学系统

§5－1 几何光学的基本定律和成像的概念

一、光线和光束的概念 上篇曾提到光线，它为玻印亭矢量的方向，即能流的传播方向。在各向同性的均匀介质中玻印亭矢量和波矢重合，故光线又是波矢的方向，即波面法线方向。在几何光学中，光线是一条直线，而不仅仅表示一个方向。点光源是把物点抽象为尺寸无限小的几何点（δ函数）。与此相似，几何光学中的光线是把它抽象为尺寸无限细的几何线。平面波的复振幅表达式中，当波长趋于无限大时位相部分始终为零，振幅为常量。所以光线可视为波长无限大时光波传播的一种特例。 与波面对应的光线集合称为光束。平面波对应于平行光束，发散球面波对应发散光束，会聚球面波对应会聚光束（如图5－1所示）。

a) b) c) 图 5－1 波面与光束 a)平面光波与平行光束 b)球面光波与发散光束 c)球面光波与会聚光束

二、几何光学的基本定律 1、光的直线传播定律 几何光学认为，在各向同性均匀介质中，光沿着直线传播。这就是光的直线传播定律。显然它排除了光的衍射现象。 2、光的独立传播定律 各光束在传播过程中，光线在空间某点相遇时，彼此互不影响。这就是光的独立传播定律。它排除了光的干涉现象。

3、光的折射定律和反射定律 当光束通过两各向同性均匀介质的光滑分界面时会发生折射和反射。几何光学中的折、反射定律与物理光学的折、反射定律的区别在于不考虑偏振现象。 几何光学中的折射定律可由玻印亭矢量的计算式两端分别与界面法线矢量进行矢积相乘得到。 因为此时电场强度、 磁场强度均可用纯矢量表示，且玻印亭矢量即为光线方向。 矢量形式的折射定律为 （5－1） 式中， 和 分别是入射光所在介质和折射光所在介质的折射率；和分别是入射光和折射光的玻印亭矢量；为界面法线方向的单位矢量。

若入射光和折射光分别用矢量和表示 ，则 （5－2） 上式表明折射光线、入射光线和通过入射点的法线共面。 用 对上式两端矢积相乘， 得 （5－3） 上式为另一种形式的矢量折射定律。

说到反射定律， 它是折射定律的特例， 也可得出相应的两种形式。 （5－4） （5－5）

至于标量形式的折射定律， 由（4－2）式得 （5－6） 几何光学中，将标量反射定律视为折射定律（5－6）式的特例，即 ，用代表反射角，代入上式得 （5－7） 由此可见，标量折射定律和反射定律形式上和物理光学中的一样，只不过反射定律差一负号。这是因为应用光学中有一套符号规则（见本章第三节）。

几何光学中同样也涉及全反射现象。它在反射棱 镜这种光学元件中得到广泛地应用。 图 5－2 光的反射与折射现象

4、光路的可逆性 在图5－2中，若折射光线反向，即光线在折射率为 的介质中沿方向入射，由折射定律得知折射光线必沿方向出射。同样，反射光线反向，沿BO方向入射，由反射定律得知反射光线也一定沿OA方向出射。由此可见，光线的传播是可逆的，这就是光路的可逆性。

5、费马（Fermat）原理 费马原理用“光程”的概念对光线的传播规律进行了阐述。光程是指光在介质中传播的几何路程乘以介质折射率n，用S表示， S = n l （5－8） 光线连续经过多种介质时，总光程为 （5－9） 设介质中光的速度为v，则 l=vt ； n =c/v 故 S = c t （5－10）

即 费马原理：光线由一点A传播到一点B，中间可能经过多次反射和折射，其光程之值为极值。数学上用变分表示为： （5－11） 可见，在一段时间内光在介质中传播的光程，等价于同一时间间隔内光在真空中走过的路程。由光程的概念可以得出光程差，从而得出位相差，使几何像差和波差联系起来。 费马原理：光线由一点A传播到一点B，中间可能经过多次反射和折射，其光程之值为极值。数学上用变分表示为： 即 （5－11）

在各向同性均匀介质中, 根据 “两点间距离以直线为最短”的几何公理，可见费马原理可以直接证明和解释光的直线传播定律。同时, 利用费马原理也可以推导出折射定律和反射定律。 图 5－3

费马原理又称极端光程定律。即光线不但按光程极小传播，也可能按光程极大传播。如图 5－3 所示，一个以F和F′为焦点的椭球反射面，按其性质可知，由F点发出的光线，都被反射到F′点,其光程相等，即光程FM+MF′为常数。如有另一反射镜PQ和椭球面相切于M点，FM和MF′仍为入射光线和反射光线。由F点发出的经M点反射到F′的光线光程为极值， 即一阶导数为零。 但因为反射面PQ比椭球面更凹，因此光程FM+MF′对PQ反射面为极大值。同样道理，对于反射面ST，其弯曲程度较椭球面的小，所以光程FM+MF′为极小值。

6、马吕斯定律 马吕斯定律：垂直于波面的光线束经过多次折射和反射后， 出射面仍和出射光束垂直，且入射波面和出射波面上对应点之间光程为定值。

显然马吕斯定律反映了光线和波矢统一的概念。点光源发出的是标准球面波，光线垂直波面。它经过光学系统后， 无论出射波面是否还是标准球面波，光线仍垂直波面。故马吕斯定律表达的是正交系光线束通过光学系统的传播过程。如图5－4中，点光源发出的球面波W经光学系统后变为波面W′，轴上光线由O点 到的光程和任意一条光线由E点到E′点的光程均相等。 共轴光学系统 图 5－4

费马原理，马吕斯定律和折反射定律三者可以互相推导出来。只不过前两者较为概括和抽象，后者较为具体和实际。

§5—2 光学系统 成像的概念 完善成像的条件

光学系统由一系列折射面和反折射面构成。这些表面可以是平面、球面和非球面。各个表面的曲率中心在一条直线上的光学系统叫做共轴光学系统，该直线称为光轴。有些光学系统含有反射镜、棱镜。光轴要发生折转，但仍具有轴对称的特性。故仍归为共轴光学系统。对于不具备轴对称特性的光学系统称为非共轴光学系统。

物体经光学系统后可形成按一定比例放大或缩小的像。像上每一点是由光线交点构成的称为实像。实像可被接收器件如照相底片感光。 像上每一点是由光线沿长线交点构成的称为虚像。虚像不能使照相底片感光。物体所在的空间称为物空间，像体所在的空间称为像空间。前面光学系统的像为后面光学系统的物。若它的每一个点是光线交点称为实物，它的每一点是光线延长线的交点则称为虚物。

物体是由无数个点构成的，每一个点均可视为点光源（ 函数）。经光学系统成像后，与之对应的像若仍为一个点，即由点光源发出的球面波在像空间仍对应一个球面波，则称为完善成像。因此，光学系统完善成像的条件是当入射为球面波时，出射仍为球面波。如图5－4，根据马吕斯定律，若轴上点A完善成像，则波面W′必为球面波，A点的像为A′。

§5―3 光 路 计 算 公 式

光学系统是由多个折、反射面构成的。反射定律可视为的折射定律的特例。因此，首先讨论光线经过单个折射面的光路计算问题，然后再逐面过渡到整个光学系统。

一、单个折射面的光路计算公式 图 5－5

图5－5为单个折射面的光路图。图中A为光轴上的一个点（或某条光线和光轴的交点），折射面OE是两折射率分别为n和 的分界面（球面），C为球心，O为顶点，此球面半径为r。AE为入射到球面的一条光线。经球面折射后光线为EA′，和光轴交点为A′, L称为物方截距，L′称为像方截距，U称为物方孔径角，U′称为像方孔径角。为了由L、U、r求得L′、U′，采用以下符号规定。

1、沿轴线段：规定光线由左往右传播，以顶点O为原点。如果光线与光轴交点或球心位于顶点O右方为正，位于左方为负。 2、垂轴线段：光轴上方为正，下方为负。 3、光线与光轴夹角U和U′：光轴以锐角方向转向光线，顺时针为正，逆时针为负。 4、光线和法线夹角I和I′：光线以锐角方向转向法线，顺时针为正，逆时针为负。 5、光轴和法线夹角 ：光轴以锐角方向转向法线，顺时针为正，逆时针为负。 应指出，光路图中所有量均为绝对值，即按符号规定得出的负线段或负角度在光路图中应在其字母前加一负号。

由图5－5 的几何关系及折射定律可得 （5－12）

上面第4式为实际光线的光路计算公式。由于折射定律的非线性，即正弦函数是非线性函数，故A点发出的不同孔径角U对应的光线，与光轴的交点不同（如图5－6所示）。并根据轴对称性，折射后的光束对应的波面不再是球面波。故单个折射面对轴上点成像是不完善的，应用光学中称之为 “球差”。 图 5－6

二、单个折射面的近轴光路计算公式及高斯光学 单个折射面成像不完善的原因是公式中正弦函数的非线性。若公式中的正弦值用弧度值代替，则光路计算公式变为线性公式，不会出现球差现象。从数学上讲，只有U角很小时，I、 及 很小，才能用弧度近似代替正弦值。这时光线靠近光轴，称为近轴光线，光轴附近这个区域称为近轴区。至于角度值小到什么程度才能用弧度值代替正弦值，这是一个难于确定的问题。实际上只要将上面的光路计算公式的正弦函数用角度代替，即得到线性关系式。不管角度多大， 点的位置是唯一的。此时线段和角度用相应的小写英文字母l、 、y、 、u、 、i、 等表示，得到如下公式：

(5－13)

用（5－13）式进行光路计算，不论u为何值， 皆为定值，并满足完善成像条件，称这为高斯像。过高斯像并垂直于光轴的像面称为高斯像面。故式（5－13）为高斯光学的基础，由它可以导出相应的高斯光学公式。高斯光学的特点是光路计算中凡是角度的正弦、正切都用角度的弧度值表示。如图5－5中 (5－14)

将（5－13）式中第一、四式的 、 代入第二式，并根据（5－14）式得： 将（5－13）式中第一、四式的 、 代入第二式，并根据（5－14）式得： (5－15)

Q称为阿贝不变量。它表示一折射面的物空间和象空间的Q值是相等的，其数值随共轭点位置而异。（5－15）式可变为 （5－16） (5－17） 上式称为单个折射面的高斯式。

（三） 共轴球面系统的光路计算过渡公式 共轴球面系统由多个单折射面构成，每个折射面的光路计算公式均是相同的，只是需要由一个面过渡到下一个面的公式。图5－7为三个折射面组成的共轴球面系统，间隔 和 均以前一个面的顶点为原点，后面顶点位于右方为正。

对于多个折射面，近轴光 …… …… （5－18） …… ……

远轴光(实际光线) …… …… （5－19） …… ……

上面两式为共轴球面系统光路计算过渡公式。应指出，遇到反 射面时， , 取负值。对于近轴光，尚可得出折 射面入射高度的过渡公式 （5－20） 有了光路计算公式，便可以对共轴球面系统进行光路计算了．

§5－4 共轴球面系统的放大率和拉亥不变量

在近轴区，即在高斯光学范畴内，光路计算公式变得比较简单，这就便于引入有关物理概念及建立有关数学模型。 一．单个折射面的放大率和拉亥不变量 （一）垂轴放大率 像和物在垂直光轴方向的比值称为垂轴放大率，用符号 表示。对于单个折射面，如图5—8所示 (5－21) 　又根据（5－15）式得 (5－22)

（二）沿轴放大率α 1、微小线段的沿轴放大率 微小线段的沿轴放大率定义为 （5－23） 它可由对 (2－17) 取微分得到 （5－24）

比较（5－22）式与（5－24）式得 （5－25） 2、 有限线段的沿轴放大率

有限线段的沿轴放大率如图5－9所示．它定义为 (5－26) 由（5－17）式　 得　 (5－27)

（三）角放大率 像方孔径角 和物方孔径角u的比值称为角放大率，用字母 表示． （5－28） 利用 得 (5－29) 与（5－21）式比较， 得 (5－30)

（四） 三个放大率间关系 （5－31） （五） 拉亥不变量 J 由垂轴放大率 和角放大率 的表达式得 （5－32） 上式称为拉格朗日——亥姆霍兹（lagrauge——helmholtz）恒等式。J称为拉格朗日——亥姆霍兹不变量，简称拉亥不变量。它表明了光传播过程中物（像）面尺寸和照度之间的关系。

二、共轴球面系统的放大率和拉亥不变量 1、由(5－18)，(5－19)和(5－20)式三个过渡公式，可得出共轴球面系统的放大率和拉亥不变量 （一）垂轴放大率 (5－33) (二) 沿轴放大率 (5－34)

(三) 角放大率 (5－35) (四) 三放大率间关系 (5－36) (五)拉亥不变量 (5－37)