第十章 双线性型 Bilinear Form 厦门大学数学科学学院 网址: gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

对偶空间1 定义:设V是数域K上n维线性空间,线性空间 V*={线性映射f :V K} 称为V的对偶空间. 命题:设{e1, …, en}是数域K上n 维线性空间V的一组基,定义线性映射fi :V K, ej δij,则{f1, …, fn}是V*的一组基,称为{e1, …, en}的对偶基. 推论:dimV* = dimV. 厦门大学数学科学学院 网址: gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

对偶空间2 设映射< , >: V*×V→ K, < f, x > = f (x), 则： (1). < f, x > = 0, 对任意的 x∈V f = 0. (2). < f, x > = 0, 对任意的 f∈V* x = 0. 固定f ∈ V*,则< f, － >是V上的线性函数. 固定x∈V,则 < －, x >是V*上的线性函数. 命题:设η:V→ (V*)*, x < － , x> , 则η是线性空间同构, 即V (V*)*. 厦门大学数学科学学院 网址: gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

对偶空间3 定义:设U, V是数域K上有限维线性空间，φ : U→V 是线性映射, 定义 φ*: V*→U*, f f φ, 则φ *是线性映射, 称为φ的对偶映射. 厦门大学数学科学学院 网址: gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

对偶空间4 定理:设U, V, W是数域K上有限维线性空间, : U →V, : V →W是线性映射, 则 (1). < *(f ), x> = <f, (x)>, 对 x∈V, f∈V*. 若线性映射 : V* →U*满足< (f ), x> = <f, (x)>, 则 (2). (3). 若U = V, Iv为恒等映射, 则I* = Iv*为恒等映射. (4). 单映射 满映射. (5). 满映射 单映射. (6). 同构 同构. (7). . 厦门大学数学科学学院 网址: gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

双线性型1 定义:设U,V是数域K上有限维线性空间, 若映射 g: U×V →K 满足以下条件: (1). 对任意 x, y ∈U, z ∈V, k ∈K, g( x + y, z ) = g( x, z ) + g( y , z ), g( kx, z ) = kg( x, z ). (2). 对任意 x ∈U, y, z ∈V, k ∈K, g( x, y + z ) = g( x, y ) + g( x, z ), g( x, ky ) = kg( x, y ). 则称g是U与V上双线性函数,也称双线性型. 注1:< , >:V*×V →K 是双线性型. 注2:设g是双线性型,固定z ∈ V, 则g( －, z)是U上线性函数. 固定 x ∈ U, 则 g( x, －)是V上线性函数. 厦门大学数学科学学院 网址: gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

双线性型2 设U,V分别是数域K上m维和n维线性空间, {e1,…,em}与{v1,…,vn}分别是U与V的基, g: U×V →K是双线性型. 令A=(g(ei,vj))m×n 若x∈U, y∈V, 设 则 注:取定U,V的基条件下, {U与V的双线性型} Km×n. 厦门大学数学科学学院 网址: gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

双线性型3 设g: U×V →K 是双线性型, {e1, …, em}与{e1’, …, em’}是U的基, {v1, …, vn}与{v1’, …, vn’}是V的基, 且 (e1’, …, em’) =(e1, …, em) C (v1’, …, vn’) = (v1, …, vn) D 设g在基{e1, …, em}与{v1, …, vn} 下矩阵为A, 在基{e1’, …, em’}与{v1’, …, vn’}下矩阵为B, 则B = C’AD. 因此,g在不同基下的表示矩阵是相抵的.矩阵A的秩称为g的秩. 定理:设 g: U×V →K 是双线性型, 则存在U的基{e1, …, em}与V的基{v1, …, vn},使得 g( ei, vj ) = δij 1≤i, j≤r g( ei, vj ) = 0 其它 其中r = 秩(g). 厦门大学数学科学学院 网址: gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

非退化双线性型1 定义设g: U×V →K 是双线性型,令 L = {u∈U | g( u, y ) = 0, 对任意y∈V}, R = {v∈V | g( x, v ) = 0, 对任意x∈U}. 则L, R分别是U, V的子空间, 分别称为g的左子空间和右子空间. 注:若dimU = m, dimV = n, 秩(g) = r, 则 dimL = m － r, dimR = n － r. 厦门大学数学科学学院 网址: gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

非退化双线性型2 定义:双线性型 g:U×V →K 称为非退化的, 如果g的左子空间和右子空间均为零. dimU = dimV = 秩(g) 推论:双线性型g:U×V →K为非退化的 g在U与V的任意基下的矩阵均是可逆阵. 厦门大学数学科学学院 网址: gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

g2(φ(x), y ) = g1(x, y), g2(x, ψ(y)) = g1(x, y). 非退化双线性型3 设g:U×V →K 是非退化双线性型. 固定x∈U, g(x, -)是V上线性函数, 作映射φ:U →V*, x g(x, -), 则φ是线性空间的同构. 若将x与g(x, -)等同起来, 则U成为V*, 这时有<φ (x), y > = g(x, y). 类似地, 将V与U*等同起来, 即存在线性空间同构 φ : V →U*, 使< x, φ(y) > = g(x, y). 定理:设gi: U×V →K , i=1,2, 是非退化双线性型, 则存在U的可逆线性变换φ与V上可逆线性变换ψ, 使对所有x∈U, y∈V, 有 g2(φ(x), y ) = g1(x, y), g2(x, ψ(y)) = g1(x, y). 厦门大学数学科学学院 网址: gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116

非退化双线性型4 定义:设gi: U×V →K, i=1,2, 是非退化双线性型, φ是V的线性变换, 如果存在U上的线性变换φ *, 使对任意x∈U, y∈V, 有 g2(φ *(x), y ) = g1(x, φ(y)) 则称φ *是φ的关于g1和g2的对偶. 定理:设gi: U×V →K, i=1,2, 是非退化双线性型, φ是V上的线性变换, 则φ的关于g1与g2的对偶φ *存在且唯一. 厦门大学数学科学学院 网址: gdjpkc.xmu.edu.cn IP: 59.77.1.116