第十二章 网络函数和频率特性 前两章讨论了正弦激励频率为给定值时，动态电路的正弦稳态响应。本章讨论正弦激励频率变化时，动态电路的特性——频率特性。为此，先介绍在正弦稳态条件下的网络函数。然后利用网络函数研究几种典型RC电路的频率特性。最后介绍谐振电路及其频率特性。动态电路的频率特性在电子和通信工程中得到了广泛应用，常用来实现滤波、选频、移相等功能。

§12－1 网络函数 一、网络函数的定义和分类 动态电路在频率为ω的单一正弦激励下，正弦稳态响应(输出)相量与激励(输入)相量之比，称为正弦稳态的网络函数，记为H(jω)，即 输入(激励)是独立电压源或独立电流源，输出(响应)是感兴趣的某个电压或电流。

若输入和输出属于同一端口，称为驱动点函数，或策动点函数。以图示双口网络为例 图 12-1 若输入和输出属于同一端口，称为驱动点函数，或策动点函数。以图示双口网络为例 和 称为驱动点阻抗。 和 称为驱动点导纳。 若输入和输出属于不同端口时，称为转移函数。 和 称为转移阻抗。 和 称为转移导纳。 和 称为转移电压比。 和 称为转移电流比。

二、网络函数的计算方法 正弦稳态电路的网络函数是以ω为变量的两个多项式之比，它取决于网络的结构和参数，与输入的量值无关。 在已知网络相量模型的条件下，计算网络函数的基本方法是外加电源法：在输入端外加一个电压源或电流源，用正弦稳态分析的任一种方法求输出相量的表达式，然后将输出相量与输入相量相比，求得相应的网络函数。对于二端元件组成的阻抗串并联网络，也可用阻抗串并联公式计算驱动点阻抗和导纳，用分压、分流公式计算转移函数。

例12-l 试求图12-2(a)所示网络负载端开路时的驱动点阻抗 和转移阻抗 。 图 12-2 解：首先画出网络的相量模型，如图12-2(b)所示。用阻抗 串并联公式求得驱动点阻抗

为求转移阻抗 ，可外加电流源 ，用分流公式先求出 的表达式 为求转移阻抗 ，可外加电流源 ，用分流公式先求出 的表达式 图 12-2 然后求得 读者注意到网络函数式中，频率ω是作为一个变量出现在函数式中的。

例12-2 试求图12-3(a)所示网络的转移电压比 。 图 12-3 解：先画出相量模型，如图(b)所示。外加电压源 ，列出结 点方程： 解得

三、利用网络函数计算输出电压电流 网络函数H(j)是输出相量与输入相量之比，H(j)反映输出正弦波振幅及相位与输入正弦波振幅及相位间的关系。在已知网络函数的条件下，给定任一频率的输入正弦波，即可直接求得输出正弦波。例如已知某电路的转移电压比 其中

式(12－4)表明输出电压u2(t)的幅度为输入电压u1(t)幅度的|H(j)|倍，即 若已知u1(t)=U1mcos(t+1)，则由u1(t)引起的响应为 对于其它网络函数，也可得到类似的结果。

当电路的输入是一个非正弦波形时，可以利用网络函数计算每个谐波分量的瞬时值，再用叠加方法求得输出电压或电流的波形。

若：(1) =103rad/s ,(2) =104rad/s，试求输出电压u2(t)。 例12-3 电路如图12-3所示。已知, 若：(1) =103rad/s ,(2) =104rad/s，试求输出电压u2(t)。 图 12-3 解：该电路的转移电压比如式(12-2)所示。代入R、C、gm 之值得到

(1) =103rad/s时 由式(12－6)求得 (2) =104rad/s时

由式(12－6)求得 实际电路的网络函数，可以用实验方法求得。将正弦波信号发生器接到被测网络的输入端，用一台双踪示波器同时观测输出和输入正弦波。从输出和输入波形幅度之比可求得求得转移电压比的|H(j)|。从输出和输入波形的相位差可求得()。改变信号发生器的频率，求得各种频率下的网络函数H(j)，就知道该网络的频率特性。

四、网络函数的频率特性 网络函数是一个复数，用极坐标形式表为 四、网络函数的频率特性  网络函数是一个复数，用极坐标形式表为 一般来说， 网络函数的振幅|H(j)|和相位()是频率的函数。可以用振幅或相位作纵坐标，画出以频率为横坐标的幅频特性曲线和相频特性曲线。由幅频和相频特性曲线，可直观地看出网络对不同频率正弦波呈现出的不同特性，在电子和通信工程中被广泛采用。

图12－3电路的幅频和相频特性曲线如图(a)和(b)所示。 图 12-3 图12－3电路的幅频和相频特性曲线如图(a)和(b)所示。 图 12-4

图 12-4 这些曲线的横坐标是用对数尺度绘制的。由幅频特性曲线可看出，该网络对频率较高的正弦信号有较大的衰减，而频率较低的正弦信号却能顺利通过，这种特性称为低通滤波特性。由相频特性可看出，该网络对输入正弦信号有移相作用，移相范围为0°到 -90°。

AC2可以画频率特性曲线。

利用不同网络的幅频特性曲线，可以设计出各种频率滤波器。图12－5分别表示常用的低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器的理想幅频特性曲线。 图12-5 几种理想频率滤波器的特性

根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。   名 称 时间 1 RC低通滤波电路 1:59 2 RC高通滤波电路 2:02 3 RC滤波电路 3:49 4 RL滤波电路 2:48 5 二阶RC滤波电路 3:13 6 带阻滤波电路实验 2:51 7 RC带阻滤波电路 3:43 8 RC选频振荡器 3:08 9 整流波形的滤波 2:01 10 RC低通滤波实验 2:45 11 半波整流和滤波 2:31 12 全波整流和滤波 3:12 13 谐振电路谐振频率的测量 14 谐振电路品质因素的测量 2:52 15 串联谐振电路实验 5:50 16 高频Q表 3:19 17 高频Q表测电感 3:00 18 高频Q表测电容 3:23 19 线圈的电路模型 2:56 20 谐振电路的频率特性曲线 3:36 21 同轴电缆特性阻抗的测量 4:36

郁金香

§12－2 RC电路的频率特性 一、一阶RC低通滤波电路 图12－6(a)所示RC串联电路，其负载端开路时电容电压对输入电压的转移电压比为 令

将上式改写为 其中

根据式(12－9)和(12－10)画出的幅频和相频特性曲线，如图12-6(b)和(c)所示。曲线表明图12-6(a)电路具有低通滤波特性和移相特性，相移范围为0°到 -90°。 图 12-6

电子和通信工程中所使用信号的频率动态范围很大，例如从1021010Hz。为了表示频率在极大范围内变化时电路特性的变化，可以用对数坐标来画幅频和相频特性曲线。常画出20lg|H(j)|和()相对于对数频率坐标的特性曲线，这种曲线称为波特图。横坐标采用相对频率/C，使曲线具有一定的通用性。幅频特性曲线的纵坐标采用分贝(dB)作为单位。|H(j)|与20lg|H(j)| (dB)之间关系如表12-l所示。 表12-l 比值 A与分贝数的关系 A 0.01 0.1 .707 1 2 10 100 1000 20lgA/dB -40 -20 -3.0 6.0 20 40 60

由式(12－9)和(12－10)画出的波特图如图12－7所示 图 12-6 由式(12－9)和(12－10)画出的波特图如图12－7所示 图 12-7

采用对数坐标画频率特性的另一个好处是可用折线来近似。 图 12-7 采用对数坐标画频率特性的另一个好处是可用折线来近似。 当<C时 是平行横坐标的直线

是斜率与-20 dB/十倍频成比例的一条直线。两条直线交点的坐标为(l，0dB)，对应的频率C 称为转折频率。 图 12-7 当>>C时 是斜率与-20 dB/十倍频成比例的一条直线。两条直线交点的坐标为(l，0dB)，对应的频率C 称为转折频率。 当=C时，20lg|H(jC)|=-3dB，常用振幅从最大值下降到3dB的频率来定义滤波电路的通频带宽度(简称带宽)。 例如，上图所示低通滤波器的带宽是0到C 。

在幻灯片没有放映时，请用鼠标双击图片放映录像，用鼠标单击图片暂停放映录像，再用鼠标单击图片则继续放映录像。 在幻灯片正在放映时，请用鼠标单击图片放映录像，用鼠标单击图片暂停放映录像，再用鼠标单击图片则继续放映录像。 在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。

对图(a)所示 RC串联电路，电阻电压对输入电压的转移电压比为 令

将上式改写为 其中

图 12-8 波特图如图所示，该曲线表明图12-8(a)电路具有高通滤波特性。由此可见，当>C时，曲线近乎一条平行于横坐标的直线，当<<C时，曲线趋近于一条直线，其斜率与20 dB/十倍频成比例。以上两条直线交点的坐标为(l，0dB)，对应的频率C称为转折频率。

图 12-8 当=C时，20lg|H(jC)|=-3dB，我们说此高通滤波电路的带宽从C 到∞。从图(c)可见，该高通滤波电路的相移角度从90°到0°之间变化，当=C时，()=45。

在幻灯片没有放映时，请用鼠标双击图片放映录像，用鼠标单击图片暂停放映录像，再用鼠标单击图片则继续放映录像。 在幻灯片正在放映时，请用鼠标单击图片放映录像，用鼠标单击图片暂停放映录像，再用鼠标单击图片则继续放映录像。 在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。

图12－9(a)所示电路的相量模型如图12－9(b)所示。为求负载端开路时转移电压比 ，可外加电压源 ，列出结点3和结点2的方程： 三、二阶RC滤波电路   图12－9(a)所示电路的相量模型如图12－9(b)所示。为求负载端开路时转移电压比 ，可外加电压源 ，列出结点3和结点2的方程： 图 12-9

消去 ，求得 其中 图 12-10

图 12-10 该电路的幅频和相频特性曲线，如图所示。幅频曲线表明该网络具有低通滤波特性，图12－10(b)所示相频特性表明该网络的移相角度在为0到-180°之间变化，当 =C时， 。幅频曲线的其转折角频率为

用类似方法求出12-11(a)电路的转移电压比为 图 12-11 用类似方法求出12-11(a)电路的转移电压比为 其幅频特性曲线如图12-11(b)所示。该网络具有高通滤波特性，其转折频率的公式为

当=C时，|H(jC)|=0.707, (C)=52.55。 图 12-11 该网络移相范围为180°到0°。 当=C时，|H(jC)|=0.707, (C)=52.55。 与一阶RC滤波电路相比，二阶RC滤波电路对通频带外信号的抑制能力更强，滤波效果更好。二阶 RC电路移相范围为180°，比一阶电路移相范围更大。二阶 RC滤波电路不仅能实现低通和高通滤波特性，还可实现带通滤波特性。

图12－12(a)电路负载端开路时的转移电压比为 图 12-12 图12－12(a)电路负载端开路时的转移电压比为 其幅频和相频特性曲线如图12－12(b)和(c)所示。该网络具有带通滤波特性，其中心频率0=1/RC 。

当=0时，|H(j0)|=1/3，(0)=0。该网络的移相范围为90°到 -90°。 图 12-12 当=0时，|H(j0)|=1/3，(0)=0。该网络的移相范围为90°到 -90°。 RC滤波电路所实现的频率特性，也可由相应的RL电路来实现。在低频率应用的条件下，由于电容器比电感器价格低廉、性能更好，并有一系列量值的各类电容器可供选用，RC滤波器得到了更广泛的应用。

在幻灯片没有放映时，请用鼠标双击图片放映录像，用鼠标单击图片暂停放映录像，再用鼠标单击图片则继续放映录像。 在幻灯片正在放映时，请用鼠标单击图片放映录像，用鼠标单击图片暂停放映录像，再用鼠标单击图片则继续放映录像。 在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。

例12-4 图12-13(a)表示工频正弦交流电经全波整流后的波 形，试设计一个RC低通滤波电路来滤除其谐波分量。 图 12-13 解：全波整流波形可用傅里叶级数展开为 其中 设A=100V，则

采用图（b）所示一阶RC滤波电路，并选择电路元件参数满足以下条件 即 RC=15.9ms。例如电容C=10F,则电阻R=1590；若电容C=100F,则电阻R=159。 用叠加定理分别求出直流分量和各次谐波分量的输出电压的瞬时值。 1. 对于直流分量，电容相当于开路，输出电压为

2. 对于基波，先计算转移电压比 即可求得

3. 对于二次谐波有： 求得

4. 对于三次谐波有： 求得 最后将以上各项电压瞬时值相加得到

RC=15.9ms L12-4-1 Circuit Data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 元 件 元 件 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 元 件 元 件 类型 编号 节点 节点 支路 数 值1 数 值2 数 值3 数 值4 V 1 1 0 100.00 .00000 R 2 1 2 1590.0 C 3 2 0 1.00000E-05 独立节点数 = 2 支路数 = 3角频率 w= 628.32 rad/s 全 波 整 流 信 号 ----- 结 点 电 压 瞬 时 值 v(t) ----- v 1(t)= 63.7 Cos( .000 t +.00)+ 42.4 Cos( 628. t+180.00) + 8.49 Cos( 1.257E+03t+180.00)+ 3.64 Cos( 1.885E+03t+180.00) + 2.02 Cos( 2.513E+03t+180.00)+ 1.29 Cos( 3.142E+03t+180.00) + .890 Cos( 3.770E+03t+180.00)+ .653 Cos( 4.398E+03t+180.00) + .499 Cos( 5.027E+03t+180.00)+ .394 Cos( 5.655E+03t+180.00) + .319 Cos( 6.283E+03t+180.00)+ .264 Cos( 6.912E+03t+180.00) v 2(t)= 63.7 Cos( .000 t +.00)+ 4.23 Cos( 628. t +95.72) + .424 Cos( 1.257E+03t +92.87)+ .121 Cos( 1.885E+03t +91.91) + 5.056E-02Cos( 2.513E+03t +91.43)+ 2.574E-02Cos( 3.142E+03t +91.15) + 1.485E-02Cos( 3.770E+03t +90.96)+ 9.336E-03Cos( 4.398E+03t +90.82) + 6.247E-03Cos( 5.027E+03t +90.72)+ 4.384E-03Cos( 5.655E+03t +90.64) + 3.194E-03Cos( 6.283E+03t +90.57)+ 2.399E-03Cos( 6.912E+03t +90.52) ***** 正 弦 稳 态 分 析 程 序 (ACAP 2.11 ) 成电 七系--胡翔骏 ***** RC=15.9ms

时间常数RC=15.9ms太小，转折角频率太高，滤波效果不好。

由于低通滤波电路对谐波有较大衰减，输出波形中谐波分量很小，得到图12-13(c)所示脉动直流波形。 为了提高谐波效果，可加大RC使转折频率C降低，如选择C=0.01,求得的输出电压为

RC=159ms L12-4-2 Circuit Data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 元 件 元 件 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 元 件 元 件 类型 编号 节点 节点 支路 数 值1 数 值2 数 值3 数 值4 V 1 1 0 100.00 .00000 R 2 1 2 1590.0 C 3 2 0 1.00000E-04 独立节点数 = 2 支路数 = 3角频率 w= 628.32 rad/s 全 波 整 流 信 号 ----- 结 点 电 压 瞬 时 值 v(t) ----- v 1(t)= 63.7 Cos( .000 t +.00)+ 42.4 Cos( 628. t+180.00) + 8.49 Cos( 1.257E+03t+180.00)+ 3.64 Cos( 1.885E+03t+180.00) + 2.02 Cos( 2.513E+03t+180.00)+ 1.29 Cos( 3.142E+03t+180.00) + .890 Cos( 3.770E+03t+180.00)+ .653 Cos( 4.398E+03t+180.00) + .499 Cos( 5.027E+03t+180.00)+ .394 Cos( 5.655E+03t+180.00) + .319 Cos( 6.283E+03t+180.00)+ .264 Cos( 6.912E+03t+180.00) v 2(t)= 63.7 Cos( .000 t +.00)+ .425 Cos( 628. t +90.57) + 4.248E-02Cos( 1.257E+03t +90.29)+ 1.214E-02Cos( 1.885E+03t +90.19) + 5.057E-03Cos( 2.513E+03t +90.14)+ 2.575E-03Cos( 3.142E+03t +90.11) + 1.485E-03Cos( 3.770E+03t +90.10)+ 9.337E-04Cos( 4.398E+03t +90.08) + 6.247E-04Cos( 5.027E+03t +90.07)+ 4.384E-04Cos( 5.655E+03t +90.06) + 3.194E-04Cos( 6.283E+03t +90.06)+ 2.399E-04Cos( 6.912E+03t +90.05) ***** 正 弦 稳 态 分 析 程 序 (ACAP 2.11 ) 成电 七系--胡翔骏 ***** RC=159ms

时间常数增加到RC=159ms ，使转折角频率降低，滤波效果变好。

提高谐波效果的另外一种方法是将一阶RC滤波电路改变为图12－9所示二阶RC滤波电路，仍然采用1/RC=0.1的参数，求得的输出电压为

RC=15.9ms L12-4-3 Circuit Data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 元 件 元 件 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 元 件 元 件 类型 编号 节点 节点 支路 数 值1 数 值2 数 值3 数 值4 V 1 1 0 100.00 .00000 R 2 1 2 1590.0 C 3 2 0 1.00000E-05 R 4 2 3 1590.0 C 5 3 0 1.00000E-05 独立节点数 = 3 支路数 = 5角频率 w= 628.32 rad/s 全 波 整 流 信 号 ----- 结 点 电 压 瞬 时 值 v(t) ----- v 1(t)= 63.7 Cos( .000 t +.00)+ 42.4 Cos( 628. t+180.00) + 8.49 Cos( 1.257E+03t+180.00)+ 3.64 Cos( 1.885E+03t+180.00) + 2.02 Cos( 2.513E+03t+180.00)+ 1.29 Cos( 3.142E+03t+180.00) + .890 Cos( 3.770E+03t+180.00)+ .653 Cos( 4.398E+03t+180.00) + .499 Cos( 5.027E+03t+180.00)+ .394 Cos( 5.655E+03t+180.00) + .319 Cos( 6.283E+03t+180.00)+ .264 Cos( 6.912E+03t+180.00) v 3(t)= 63.7 Cos( .000 t +.00)+ .411 Cos( 628. t +16.87) + 2.108E-02Cos( 1.257E+03t +8.56)+ 4.034E-03Cos( 1.885E+03t +5.72) + 1.263E-03Cos( 2.513E+03t +4.30)+ 5.146E-04Cos( 3.142E+03t +3.44) + 2.475E-04Cos( 3.770E+03t +2.87)+ 1.334E-04Cos( 4.398E+03t +2.46) + 7.812E-05Cos( 5.027E+03t +2.15)+ 4.874E-05Cos( 5.655E+03t +1.91) + 3.196E-05Cos( 6.283E+03t +1.72)+ 2.183E-05Cos( 6.912E+03t +1.56) ***** 正 弦 稳 态 分 析 程 序 (ACAP 2.11 ) 成电 七系--胡翔骏 ***** RC=15.9ms

采用二阶RC滤波电路，时间常数RC=15.9ms，滤波效果比一阶电路好。

RC=159ms L12-4-4 Circuit Data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 元 件 元 件 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 元 件 元 件 类型 编号 节点 节点 支路 数 值1 数 值2 数 值3 数 值4 V 1 1 0 100.00 .00000 R 2 1 2 1590.0 C 3 2 0 1.00000E-04 R 4 2 3 1590.0 C 5 3 0 1.00000E-04 独立节点数 = 3 支路数 = 5角频率 w= 628.32 rad/s 全 波 整 流 信 号 ----- 结 点 电 压 瞬 时 值 v(t) ----- v 1(t)= 63.7 Cos( .000 t +.00)+ 42.4 Cos( 628. t+180.00) + 8.49 Cos( 1.257E+03t+180.00)+ 3.64 Cos( 1.885E+03t+180.00) + 2.02 Cos( 2.513E+03t+180.00)+ 1.29 Cos( 3.142E+03t+180.00) + .890 Cos( 3.770E+03t+180.00)+ .653 Cos( 4.398E+03t+180.00) + .499 Cos( 5.027E+03t+180.00)+ .394 Cos( 5.655E+03t+180.00) + .319 Cos( 6.283E+03t+180.00)+ .264 Cos( 6.912E+03t+180.00) v 3(t)= 63.7 Cos( .000 t +.00)+ 4.250E-03Cos( 628. t +1.72) + 2.131E-04Cos( 1.257E+03t +.86)+ 4.041E-05Cos( 1.885E+03t +.57) + 1.263E-05Cos( 2.513E+03t +.43)+ 5.042E-06Cos( 3.142E+03t +.35) + 2.426E-06Cos( 3.770E+03t +.29)+ 1.316E-06Cos( 4.398E+03t +.25) + 7.852E-07Cos( 5.027E+03t +.21)+ 4.881E-07Cos( 5.655E+03t +.19) + 3.248E-07Cos( 6.283E+03t +.17)+ 2.088E-07Cos( 6.912E+03t +.16) ***** 正 弦 稳 态 分 析 程 序 (ACAP 2.11 ) 成电 七系--胡翔骏 ***** RC=159ms

采用二阶RC滤波电路，又增加时间常数为RC=159ms，滤波效果更好。

在幻灯片没有放映时，请用鼠标双击图片放映录像，用鼠标单击图片暂停放映录像，再用鼠标单击图片则继续放映录像。 在幻灯片正在放映时，请用鼠标单击图片放映录像，用鼠标单击图片暂停放映录像，再用鼠标单击图片则继续放映录像。 在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。

根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。   名 称 时间 1 RC低通滤波电路 1:59 2 RC高通滤波电路 2:02 3 RC滤波电路 3:49 4 RL滤波电路 2:48 5 二阶RC滤波电路 3:13 6 带阻滤波电路实验 2:51 7 RC带阻滤波电路 3:43 8 RC选频振荡器 3:08 9 整流波形的滤波 2:01 10 RC低通滤波实验 2:45 11 半波整流和滤波 2:31 12 全波整流和滤波 3:12 13 谐振电路谐振频率的测量 14 谐振电路品质因素的测量 2:52 15 串联谐振电路实验 5:50 16 高频Q表 3:19 17 高频Q表测电感 3:00 18 高频Q表测电容 3:23 19 线圈的电路模型 2:56 20 谐振电路的频率特性曲线 3:36 21 同轴电缆特性阻抗的测量 4:36

郁金香

§12－3 谐振电路 含有电感、电容和电阻元件的单口网络，在某些工作频率上，出现端口电压和电流波形相位相同的情况时，称电路发生谐振。能发生谐振的电路，称为谐振电路。谐振电路在电子和通信工程中得到广泛应用。本节讨论最基本的RLC串联和并联谐振电路谐振时的特性。

一、RLC串联谐振电路 图12－14(a)表示RLC串联谐振电路，图12－15(b)是它的相量模型，由此求出驱动点阻抗为 图12－14

图12－14 其中

|Z(j)|=R,电压u(t)与电流i(t)相位相同，电路发生谐振。也就是说，RLC串联电路的谐振条件为 图12－14 1. 谐振条件 当 ，即 时，()=0, |Z(j)|=R,电压u(t)与电流i(t)相位相同，电路发生谐振。也就是说，RLC串联电路的谐振条件为 式中 称为电路的固有谐振角频率。

当电路激励信号的频率与谐振频率相同时，电路发生谐振。用频率表示的谐振条件为 图12－14 当电路激励信号的频率与谐振频率相同时，电路发生谐振。用频率表示的谐振条件为 RLC串联电路在谐振时的感抗和容抗在量值上相等，其值称为谐振电路的特性阻抗，用表示，即

RLC串联电路发生谐振时，阻抗的电抗分量 图12－14 2. 谐振时的电压和电流 RLC串联电路发生谐振时，阻抗的电抗分量 导致 即阻抗呈现纯电阻，达到最小值。若在端口上外加电压源，则电路谐振时的电流为

电流达到最大值，且与电压源电压同相。此时电阻、电感和电容上的电压分别为 其中 Q 称为串联谐振电路的品质因数，其数值等于谐振时感抗或容抗与电阻之比。

若Q>>1,则UL=UC>>US=UR，这种串联电路的谐振称为电压谐振。 图12－15 从以上各式和相量图可见，谐振时电阻电压与电压源电压相等， 。电感电压与电容电压之和为零，即 ，且电感电压或电容电压的幅度为电压源电压幅度的Q倍，即 若Q>>1,则UL=UC>>US=UR，这种串联电路的谐振称为电压谐振。

设电压源电压为uS(t)=Usmcos(0t)，则： 图12－14 3.谐振时的功率和能量 设电压源电压为uS(t)=Usmcos(0t)，则：

图12－14 电感和电容吸收的功率分别为： 由于 u(t)=uL(t)+uC(t)=0 (相当于虚短路)，任何时刻进入电感和电容的总瞬时功率为零，即pL(t)+pC(t)=0。电感和电容与电压源和电阻之间没有能量交换。电压源发出的功率全部为电阻吸收，即pS(t)=pR(t)。

图12—15串联电路谐振时的能量交换 电感和电容之间互相交换能量，其过程如下:当电流减小时，电感中磁场能量WL=0.5Li2减小，所放出的能量全部被电容吸收，并转换为电场能量，如图12-15(a)所示。当电流增加时，电容电压减小，电容中电场能量WC=0.5Cu2减小，所放出的能量全部被电感吸收，并转换为磁场能量，如图12－15(b)所示。

谐振时电感和电容中总能量保持常量，并等于电感中的最大磁场能量，或等于电容中的最大电场能量，即 图12—15 能量在电感和电容间的这种往复交换，形成电压和电流的正弦振荡，这种情况与 LC串联电路由初始储能引起的等幅振荡相同(见第九章二阶电路分析)。其振荡角频率 ，完全由电路参数L和C来确定。 谐振时电感和电容中总能量保持常量，并等于电感中的最大磁场能量，或等于电容中的最大电场能量，即

求: (l) 频率为何值时，电路发生谐振。 (2)电路谐振时, UL和UC为何值。 例12-5 电路如图12-17所示。已知 求: (l) 频率为何值时，电路发生谐振。 (2)电路谐振时, UL和UC为何值。 图12－17

图12－17 解：(l)电压源的角频率应为 (2)电路的品质因数为 则

在幻灯片没有放映时，请用鼠标双击图片放映录像，用鼠标单击图片暂停放映录像，再用鼠标单击图片则继续放映录像。 在幻灯片正在放映时，请用鼠标单击图片放映录像，用鼠标单击图片暂停放映录像，再用鼠标单击图片则继续放映录像。 在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。

在幻灯片没有放映时，请用鼠标双击图片放映录像，用鼠标单击图片暂停放映录像，再用鼠标单击图片则继续放映录像。 在幻灯片正在放映时，请用鼠标单击图片放映录像，用鼠标单击图片暂停放映录像，再用鼠标单击图片则继续放映录像。 在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。

二、RLC并联谐振电路 图12-18(a)所示RLC并联电路，其相量模型如图12-18(b)所示。 图12－18

图12－18 驱动点导纳为 其中

当 时, Y(j)=G=1/R，电压u(t)和电流i(t)同相，电路发生谐振。因此，RLC并联电路谐振的条件是 图12－18 1.谐振条件 当 时, Y(j)=G=1/R，电压u(t)和电流i(t)同相，电路发生谐振。因此，RLC并联电路谐振的条件是 式中 称为电路的谐振角频率。与RLC串联电路相同。

RLC并联电路谐振时，导纳Y(j0)=G=1/R，具有最小值。若端口外加电流源 ，电路谐振时的电压为 图12－18 2.谐振时的电压和电流 RLC并联电路谐振时，导纳Y(j0)=G=1/R，具有最小值。若端口外加电流源 ，电路谐振时的电压为 电路谐振时电压达到最大值，此时电阻、电感和电容中电流为（见下页）

其中 称为RLC并联谐振电路的品质因数，其量值等于谐振时感纳或容纳与电导之比。电路谐振时的相量图如图12-19(b)所示。

图12－19 由以上各式和相量图可见，谐振时电阻电流与电流源电流相等 。电感电流与电容电流之和为零，即 。电感电流或电容电流的幅度为电流源电流或电阻电流的Q倍，即 并联谐振又称为电流谐振。

设电流源电流iS(t)=Ismcos(0t)，则： 图12－18 3.谐振时的功率和能量 设电流源电流iS(t)=Ismcos(0t)，则： 电感和电容吸收的瞬时功率分别为：

图12－20 并联电路谐振时的能量交换 由于i(t)=iL(t)+iC(t)=0 (相当于虚开路)，任何时刻进入电感和电容的总瞬时功率为零，即pL(t)+pC(t)=0。电感和电容与电流源和电阻之间没有能量交换。电流源发出的功率全部被电阻吸收，即pS(t)=pR(t) 。 能量在电感和电容间往复交换(图12－20)，形成了电压和电流的正弦振荡。其情况和 LC并联电路由初始储能引起的等幅振荡相同，因此振荡角频率也是 ，与串联谐振电路相同。

图12－20 并联电路谐振时的能量交换 谐振时电感和电容的总能量保持常量，即

解：根据其相量模型[图12-21((b)]写出驱动点导纳 例12-6 图12-21(a)是电感线圈和电容器并联的电路模型。 已知R=1, L=0.1mH, C=0.01F。试求电路的谐振 角频率和谐振时的阻抗。 图12－21 解：根据其相量模型[图12-21((b)]写出驱动点导纳

图12－22 令上式虚部为零 求得 是RLC串联电路的品质因数。 其中

，代入数值得到 当Q >>1时, 谐振时的阻抗 当0L>>R 时

根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。   名 称 时间 1 RC低通滤波电路 1:59 2 RC高通滤波电路 2:02 3 RC滤波电路 3:49 4 RL滤波电路 2:48 5 二阶RC滤波电路 3:13 6 带阻滤波电路实验 2:51 7 RC带阻滤波电路 3:43 8 RC选频振荡器 3:08 9 整流波形的滤波 2:01 10 RC低通滤波实验 2:45 11 半波整流和滤波 2:31 12 全波整流和滤波 3:12 13 谐振电路谐振频率的测量 14 谐振电路品质因素的测量 2:52 15 串联谐振电路实验 5:50 16 高频Q表 3:19 17 高频Q表测电感 3:00 18 高频Q表测电容 3:23 19 线圈的电路模型 2:56 20 谐振电路的频率特性曲线 3:36 21 同轴电缆特性阻抗的测量 4:36

郁金香

§12－4 谐振电路的频率特性 一、串联谐振电路 图12－22 图12-22所示电路的转移电压比为

, 将上式改为 代入 其振幅为

由此式可见，当=0或=时，|H(j)|=0； 当 时，电路发生谐振，|H(j)|=1达到最大值，说明该电路具有带通滤波特性。为求出通频带的宽度，先计算与 (即-3dB)对应的频率+和－，为此令

求解得到 由此求得3dB带宽 或 这说明带宽与品质因数Q成反比，Q越大，越小，通带越窄，曲线越尖锐，对信号的选择性越好。

对不同Q值画出的幅频特性曲线，如图12-24所示。此曲线横坐标是角频率与谐振角频率之比(即相对频率)，纵坐标是转移电压比，也是相对量，故该曲线适用于所有串联谐振电路，因而被称为通用谐振曲线。当=+或 =－时, |H(j)|=0.707 (对应-3dB),=45。 图12－23

例12-7 欲接收载波频率为10MHz的某短波电台的信号，试 设计接收机输入谐振电路的电感线圈。要求带宽 f=100kHz，C=100pF。 解：由 求得： 由此得到电感线圈的参数为 L=2.53H和R=1.59。

二、并联谐振电路 图12－24 图示电路的转移电流比为

代入 将上式改为 此式说明并联谐振电路的幅频特性曲线和计算频带宽度等公式均与串联谐振电路相同，不再重述。

例12-8 RLC并联谐振电路中，已知R=10k，L=1H, C=1F。试求电路的谐振角频率、品质因数和3dB 带宽。 解：

在幻灯片没有放映时，请用鼠标双击图片放映录像，用鼠标单击图片暂停放映录像，再用鼠标单击图片则继续放映录像。 在幻灯片正在放映时，请用鼠标单击图片放映录像，用鼠标单击图片暂停放映录像，再用鼠标单击图片则继续放映录像。 在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。

根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。   名 称 时间 1 RC低通滤波电路 1:59 2 RC高通滤波电路 2:02 3 RC滤波电路 3:49 4 RL滤波电路 2:48 5 二阶RC滤波电路 3:13 6 带阻滤波电路实验 2:51 7 RC带阻滤波电路 3:43 8 RC选频振荡器 3:08 9 整流波形的滤波 2:01 10 RC低通滤波实验 2:45 11 半波整流和滤波 2:31 12 全波整流和滤波 3:12 13 谐振电路谐振频率的测量 14 谐振电路品质因素的测量 2:52 15 串联谐振电路实验 5:50 16 高频Q表 3:19 17 高频Q表测电感 3:00 18 高频Q表测电容 3:23 19 线圈的电路模型 2:56 20 谐振电路的频率特性曲线 3:36 21 同轴电缆特性阻抗的测量 4:36

郁金香

§12－5 电路设计和计算机分析电路实例 首先介绍二阶RC滤波电路的设计，再用正弦稳态分析程序ACAP来绘制滤波电路的频率特性最后介绍一个RC选频振荡器的设计和实验。 一、二阶RC滤波电路设计 设计低通和高通滤波器的一个重要指标是转折频率，转折频率是输出由最大值下降到0.707或下降3dB时所对应的频率。当滤波器电路结构确定时，需要推导转折角频率与元件参数关系的公式。

对于图12－9所示二阶低通滤波电路，令式(12－17)， 图 12-9 对于图12－9所示二阶低通滤波电路，令式(12－17)， 可得到以下方程 求解得到 它告诉我们可用减少RC乘积的方法来增加滤波器带宽。

对于图12－11所示二阶高通滤波电路，根据式(12－19)，令 ，可以求得 图 12-11 对于图12－11所示二阶高通滤波电路，根据式(12－19)，令 ，可以求得 上式表明可用增加RC乘积的方法来增加高通滤波器带宽。

设计带通滤波电路，我们需要知道中心频率与电路元件参数关系的公式。对于图12－12所示二阶带通滤波电路，根据式(12－20)表示的电压传输比，求最大值得到中心角频率的公式 上式表明可以用改变RC乘积的方法改变带通滤波电路的中心频率。例如设计一个中心角频率为1000rad/s的二阶带通滤波电路，其元件参数应满足 若选择电容C=1μF，则电阻为R=1kΩ； 选择电容C=0.1μF，则电阻为R=10kΩ。

例12－9试设计转折频率的低通和高通滤波电路。 解： 根据前面对各种RC滤波电路特性的讨论，如果用图12－6(a)和图12－8(a)一阶 RC滤波电路，则需要使电路参数满足条件 假如选择电容为C=1μF ，则需要选择电阻R=1kΩ 来满足转折频率的要求，实际滤波器设计时还得根据滤波器的其它要求和具体情况来确定。

波特频率特性 计算表明转折频率符合设计要求。

波特频率特性 计算表明转折频率符合设计要求。

若用图12－9(a)二阶RC低通滤波电路，则需要根据式(12－55)确定电路参数值，即 如果选择电容C=1μF，则电阻为R=374.2Ω；选择电容C=0.1μF，则电阻为R=3742Ω。

波特频率特性 计算表明转折频率符合设计要求。

若用图12－ll(a)二阶 RC高通滤波电路，则需要根据式(12－56) 确定电路参数值，即 如果选择电容C=1μF，则电阻为R=2672.4Ω；选择电容C=0.1μF，则电阻为R=26724Ω。

波特频率特性 计算表明转折频率符合设计要求。

二、计算机辅助电路分析 本教材提供的计算机分析程序ACAP，AC2和DNAP可以画出电路的频率特性，用户可以利用它们来检验所设计的滤波电路的频率特性是否满足设计要求。下面给出用ACAP程序画出转折角频率的低通滤波电路的振幅频率特性曲线(波特图)，如下所示。从曲线上可以看出时，振幅正好衰减3dB，符合设计要求。

L12-9 circuit data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 元 件 元 件 类型 编号 结点 结点 支路 数 值1 数 值2 数 值3 数 值4 V 1 1 0 1.0000 .00000 R 2 1 2 374.20 C 3 2 0 1.00000E-06 R 4 2 3 374.20 C 5 3 0 1.00000E-06 独立结点数 = 3 支路数 = 5角频率 w= 1000.0 rad/s ----- 求网络的频率特性并画曲线 ----- ----- H(jw) = U5 /V1 ----- W(rad/s) | U5 /V1 | (db) Min= -110.9 db Max= -4.2609E-04 db 1.000E+01 -4.261E-04 | * 1.778E+01 -1.346E-03 | * 3.162E+01 -4.256E-03 | * 5.623E+01 -1.344E-02 | * 1.000E+02 -4.237E-02 | * 1.778E+02 -1.327E-01 | * 3.162E+02 -4.069E-01 | * 5.623E+02 -1.179E+00 | * 1.000E+03 -3.010E+00 | * 1.778E+03 -6.330E+00 | * 3.162E+03 -1.106E+01 | * 5.623E+03 -1.713E+01 | * 1.000E+04 -2.470E+01 | * 1.778E+04 -3.356E+01 | * 3.162E+04 -4.314E+01 | * 5.623E+04 -5.299E+01 | * 1.000E+06 -1.029E+02 | *

计算机画出的相位频率特性曲线如下所示，由此可见，输出电压与输入电压的相位差在0°～-180°范围内变化。当时 ， 。 计算机画出的相位频率特性曲线如下所示，由此可见，输出电压与输入电压的相位差在0°～-180°范围内变化。当时 ， 。 W(rad/s) 相 位 -180 -90 0 +90 180 1.000E+01 -.643 . . * . . 1.778E+01 -1.144 . . * . . 3.162E+01 -2.033 . . * . . 5.623E+01 -3.614 . . * . . 1.000E+02 -6.414 . . * . . 1.778E+02 -11.338 . . *| . . 3.162E+02 -19.801 . . * | . . 5.623E+02 -33.446 . . * | . . 1.000E+03 -52.546 . . * | . . 1.778E+03 -74.405 . . * | . . 3.162E+03 -96.433 . *. | . . 5.623E+03 -118.503 . * . | . . 1.000E+04 -139.194 . * . | . . 1.778E+04 -155.238 . * . | . . 3.162E+04 -165.676 . * . | . . 5.623E+04 -171.868 .* . | . . 1.000E+05 -175.414 .* . | . . 1.778E+05 -177.418 * . | . . 3.162E+05 -178.548 * . | . . 5.623E+05 -179.185 * . | . . 1.000E+06 -179.538 * . | . .

用AC2程序画出转折角频率的低通滤波电路的振幅频率特性曲线(波特图)和相位频率特性曲线如下所示。

当我们研究一个网络的滤波特性时，需要计算出相应的网络函数来进行分析研究，用笔算来完成这个工作十分困难，可以利用本教材提供的符号网络分析程序SNAP来完成。例如用SNAP程序计算图12－12(a)中所示的RC二阶滤波电路的电压传输比的结果如下所示。 Tu12-12 Circuit Data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 类型 编号 节点 节点 支路 符 号 符 号 V 1 1 0 Us R 2 1 2 R C 3 2 0 C C 4 2 3 C R 5 3 0 R 独立节点数目 = 3 支路数目 = 5 ----- 计 算 网 络 函 数 H(S) ----- RSC U5 /Us= ---------------- RRSCSC+3RSC+1

它与式12－20完全相同，说明它是一个带通滤波电路。 ----- 计 算 网 络 函 数 H(S) ----- RSC U5 /Us= ---------------- RRSCSC+3RSC+1 将式中的S用jω表示，可以得到 它与式12－20完全相同，说明它是一个带通滤波电路。

解：运行符号网络分析程序，读入图12－25(b)所示电路数据，可以得到以下计算结果。 例12－10试用计算机程序计算图12－25(a)所示双口网络的转移电压比，并绘出R1=1KΩ，R2=500Ω, C1=0.01μF和C2=0.02μF时的幅频和相频特性曲线。 图12－25 例12－10 解：运行符号网络分析程序，读入图12－25(b)所示电路数据，可以得到以下计算结果。

L12-10 circuit data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 类型 编号 结点 结点 支路 符 号 符 号 V 1 1 0 Us C 2 1 2 C1 C 3 2 4 C1 R 4 2 0 R2 R 5 1 3 R1 R 6 3 4 R1 C 7 3 0 C2 独立结点数目 = 4 支路数目 = 7 ----- 计 算 网 络 函 数 H(S) ----- R1R1R2SC1SC1SC2+2R1R2SC1SC1+2R2SC1+1 V4 /Us= -------------------------------------------------------------------------- +R1R1R2SC1SC1SC2+2R1R2SC1SC1+2R1R2SC1SC2+R1R1SC1SC2+2R2SC1+2R1SC1+R1SC2+1

根据以上计算结果，得到以下网络函数，这是一个三阶动态电路。 L12-10 circuit data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 类型 编号 结点 结点 支路 符 号 符 号 V 1 1 0 Us C 2 1 2 C1 C 3 2 4 C1 R 4 2 0 R2 R 5 1 3 R1 R 6 3 4 R1 C 7 3 0 C2 独立结点数目 = 4 支路数目 = 7 ----- 计 算 网 络 函 数 H(S) ----- R1R1R2SC1SC1SC2+2R1R2SC1SC1+2R2SC1+1 V4 /Us= -------------------------------------------------------------------------- +R1R1R2SC1SC1SC2+2R1R2SC1SC1+2R1R2SC1SC2+R1R1SC1SC2+2R2SC1+2R1SC1+R1SC2+1 根据以上计算结果，得到以下网络函数，这是一个三阶动态电路。

代入R1=R，R2=0.5R, C1= C 和C2=2 C得到以下网络函数 将式中的s用jω表示，可以得到正弦稳态的网络函数

由上式可见，当ω=0和ω→∞ 时，；当时，网络函数的分子等于零，使,表明该电路具有带阻滤波特性。 根据元件参数R1=1KΩ，R2=500Ω, C1=0.01μF和C2=0.02μF，用计算机程序AC2计算结点4的电压，并画出频率特性如附图10所示，计算表明图12－25电路具有带阻滤波特性，中心角频率和中心频率分别是

在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。

利用RC选频网络和运算放大器可以构成一个产生正弦波形的振荡电路，下面举例说明。 三、电路实验设计 利用RC选频网络和运算放大器可以构成一个产生正弦波形的振荡电路，下面举例说明。 例12－10试用图12－25(a)表示RC选频网络和运算放大器构成一个正弦波振荡器。 图12－25

解：图(a)所示RC网络的转移电压比与图12-12(a)电路完全相同，它具有带通滤波特性。在图(a)输入端外加频率为 =0=1/RC 的正弦电压信号u1(t)=U1mcos0t时，输出信号u2=(1/3)u1，为最大值。若在其输出端连接一个电压放大倍数为3的同相放大器[见图12-26(a)]，输出电压u0=3u2=u1与输入电压完全相同。此时可将输出电压 反馈回网络输入端(其方法是将ab两点相连)，代替外加输入信号而不会影响输出电压的波形。

这表明该电路可构成一个正弦波振荡器，其振荡频率仅由RC参数确定，易于调整。由于RC选频网络对其它频率成分的衰减较大，不会形成振荡，所产生的正弦波形较好，该电路已为许多低频信号发生器采用。图12－26(b)是RC选频振荡器的电原理图，在实验室按图接线，接通电源。调整电阻R1使运放的放大倍数等于3时，在输出端即可观察到正弦振荡波形。若采用C=0.1F的电容器，R=R1=1k, Rf=2k左右的电阻器，用示波器可以观测到频率为 左右的正弦振荡波形。 下面是用示波器观测RC振荡器的振荡波形。

下面是用示波器观测RC振荡器的振荡波形。

在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。

高频Q表是一种利用串联谐振电路特性来测量线圈电感和品质因数的仪器。我们可以用它来测量图12－26(a)所示线圈电路模型的各种参数，例如根据RLC串联电路谐振频率的公式(12－26)，在已知谐振频率f=795kHz和电容C=80pF的情况下，用下面的公式计算可以得到线圈的电感值为 下面介绍测量线圈分布电容的一种实验方法。

例12－12图12－26(a)表示电感线圈的电路模型，试用高频Q表测量线圈的分布电容。 图12－27 解 图12－26 (b)表示高频Q表测量线圈参数的电原理图，高频Q表有一个标准高频电压信号发生器，其输出电阻非常低，还有一个标准可变电容器。

我们可以采用两倍频率法来测量线圈分布电容C0，具体步骤是 图12－26 当电路发生谐振时，电容电压uC达到最大值，可以读出电容的数值。当线圈品质因数Q>>1时，ω0L>>R，可以忽略电阻的作用，此时电路的谐振频率公式为 我们可以采用两倍频率法来测量线圈分布电容C0，具体步骤是

1 选择某一频率f，调整可变电容使电路发生谐振，记下此时的电容值C1，它满足以下关系 根据以上两个式可以得到以下方程

求解方程得到计算分布电容C0的公式 此式表明，根据两次电路谐振时测量得到的电容值C1和C2，可以计算分布电容的数值。例如测量得到某个电感线圈的C1=324pF和C2=69pF，则分布电容C0等于 用实验方法来测量线圈电路模型参数的具体实验过程，请观看教材光盘中的《高频Q表》和《线圈的电路模型》实验录像。

在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。

根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。   名 称 时间 1 RC低通滤波电路 1:59 2 RC高通滤波电路 2:02 3 RC滤波电路 3:49 4 RL滤波电路 2:48 5 二阶RC滤波电路 3:13 6 带阻滤波电路实验 2:51 7 RC带阻滤波电路 3:43 8 RC选频振荡器 3:08 9 整流波形的滤波 2:01 10 RC低通滤波实验 2:45 11 半波整流和滤波 2:31 12 全波整流和滤波 3:12 13 谐振电路谐振频率的测量 14 谐振电路品质因素的测量 2:52 15 串联谐振电路实验 5:50 16 高频Q表 3:19 17 高频Q表测电感 3:00 18 高频Q表测电容 3:23 19 线圈的电路模型 2:56 20 谐振电路的频率特性曲线 3:36 21 同轴电缆特性阻抗的测量 4:36

摘 要 1．正弦稳态网络函数的定义为 网络函数反映网络本身特性，与激励电压或电流无关。已知网络函数，给定任意正弦输入，输出正弦波为 2．一般来说，动态电路网络函数的振幅和相位是频率ω的函数。工程上常采用对数坐标来绘制幅频和相频特性曲线(波特图)。这些曲线直观地反映出网络对不同频率正弦信号呈现的不同特性。利用这些曲线可设计出各种频率滤波器和移相器。

3． RC和RL电路可实现低通、高通、带通等滤波特性。例如前面讨论过的二阶RC低通、高通、带通滤波电路及其网络函数如下：

4． RLC串联电路的谐振条件是 谐振时驱动点阻抗为 呈现纯电阻，且为最小值。 串联谐振时，电感和电容电压的幅度相等，并等于端口电压或电阻电压的Q倍，即 其中 量值上等于谐振时感抗或容抗与电阻之比。

5． RLC并联电路的谐振条件是 与RLC串联电路的谐振条件相同。谐振时的驱动点导纳为 呈现纯电阻，且为最小值。 并联谐振时，电感和电容电流的幅度相等，并等于端口电流或电阻电流的Q倍，即 其中 量值上等于谐振时感纳或容纳与电导之比。

6．RLC串联电路的转移电压比 和RLC并联电路的转移电流比 具有相同的形式 它具有带通滤波特性。其3dB带宽为 Q越高，带宽越窄，曲线越尖锐，对信号的选择性越好。在电路品质因数Q较大时，其带通滤波特性的中心频率就是电路的谐振频率，即为

郁金香