商用統計學 Chapter 7 估計

估計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 估計，是指由母體抽出樣本，而根據樣本統計量之抽樣分配的性質，對 母體母數推測的方法。包含點估計與區間估計兩項。

7-1統計推論的概念 . . . 統計推論的方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 當母體分配確定之後，便要利用統計推論方法對未知母數進行推 論。在統計學上，推論方法分為兩類，一為估計 ( 包括點估計與 區間估計 )，二為檢定。如以下所示：

7-2點估計 . . . 點估計的意義及其導出過程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 所謂點估計 (Point Estimation) 或稱點推定，即是利用樣本資 料求算一個樣本統計量，用以推估母體中未知母數的方法。例如 最常見的方式，是以樣本資料求算一個平均數 來推估母體平均 數 。因本方法只對母體未知母數提供一個可能數值，亦即只推 估一點，故稱為點估計。 茲將點估計的導出過程，說明如下： 設母體分配為 ，有一未知母數 ，今從此分配中，隨機抽取 一組樣本 ，將其作成樣本統計量 ， 為

7-2點估計 . . . 點估計的意義及其導出過程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 則 是未知母數 的估計式，稱為估計量 (Estimator) 或稱推定 式。 研究者若實際將樣本資料代入估計量內，以求得一個確定的值， 則稱為估計值 (Estimate) 或推定值 。如先求 ，再來估計母 體平均數 ， 即為值計量。假設抽出 ，計算 則推論 為70，70即為估計值。

7-2點估計 . . . 優良估計量的評判準則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 由上節說明可知，點估計量可用來估計未知的母體母數。但估計 某一未知的母體母數之點估計量往往有多種形態。如欲估計母體 平均數 ，可使用算術平均數 、中位數 或眾數 等多種，到 底孰優孰劣，就必須有一些評判標準，否則無所適從。 優良估計量其評判準則，主要有二：

7-2點估計 . . . 優良估計量的評判準則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 所謂不偏性 (Unbiasedness)，是指點估計量 之期望值等於母體 母數 ，即 稱為 的不偏估計量 (Unbiased Estimator)。 若 ，即 與 之差，稱為偏誤 (bias)。如下圖所示。

7-2點估計 . . . 優良估計量的評判準則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 在統計學上，常見的未知母體母數之不偏估計量有 ； ； ； 等。

例題一 設 ，抽出一組隨機樣本 ，試判斷下列何者 為 的不偏估計量，其中 。 (1) (2) (3) (4)

例題一 ＊解 (1) (2) (3) (4) (2) (3) (4) 均為的不偏估計量。

7-2點估計 . . . 優良估計量的評判準則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 所謂有效性 (Efficiency)，是指在樣本大小n固定之下，母數 的所有不偏估計量 中，具有最小變異數者，稱為有效不偏估計 量(Efficient Unbiased Estimator)。 註：變異數愈小，平均數愈有代表性，推論準確性會愈高。

7-2點估計 . . . 優良估計量的評判準則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 由上圖可知， ，但 ( 分配較 分配 陡 )，所以 相對於 而言，為較有效的不偏估計量。一般研究 者可用相對有效性 (Relative Effi­ciency; R.E.) 來衡量兩個 不偏估計量之有效性。 若 ，則 比 有效， ， 則比 有效。

例題二 試就上例【例題1】，說明何者為有效估計量？其中 ＊解 ∵ 有效估計量的前提是，樣本大小n固定且 為 的不偏估計 量，所以以 (2) (3) (4) 比較之。 (2) (3) (4) ∵　 最小，∴　為 的有效估計量。

7-3區間估計的概念 . . . 區間估計的意義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 所謂區間估計 (Interval Estimation)，是指根據抽出的樣本資 料，先求出未知母數的點估計量 ( 即樣本估計量 )，再將點估計 量作成抽樣分配，然後利用此抽樣分配建立一個未知母數的可能 範圍之方法，稱為區間估計。此可能範圍，在估計理論上，稱為 信賴區間 (Confidence Interval)。 研究者可以下列式子表示： 式中 表示區間範圍，L表示信賴區間的下限，U表示上 限， 稱為信賴水準 (Confidence Level) 或信賴係數 (Confidence Coefficent) 或信賴度 (Degree of Confidence)， 一般以百分比表示。

例題三 設 為已知數，自其中隨機抽出n個樣本，令 為，設信賴係數 ，試求母數平均數 的信 賴區間。 ＊解 為，設信賴係數 ，試求母數平均數 的信 賴區間。 ＊解 (1) 母體分配： ，其中 為已知。 (2) 點估計量：隨機抽樣一組樣本 ，計算 ，為未知母數 之點估計量。 抽樣分配： (A) 。 (B)標準化 。

例題三 機率區間： 信賴區間：解機率區間之不等式，得μ之信賴區間 ( 將機率區間各項乘以 ，再減 ，再乘以 )。 (6) 結論：信賴區間 。 信賴區間：解機率區間之不等式，得μ之信賴區間 ( 將機率區間各項乘以 ，再減 ，再乘以 )。 (6) 結論：信賴區間 。 (A) 信賴區間的下限 。 (B) 信賴區間的上限 。

7-3區間估計的概念 . . . 信賴水準的涵義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 信賴水準或信賴係數或信賴度，其涵義是指，假設抽出100組n大 小固定的樣本，作出100個信賴區間，則信賴水準或信賴係數 0.95，即表示100個信賴區間，大約有95個信賴區間，包含了未知 的母體母數，5個信賴區間，並未包含未知的母體母數。如下圖所 示：

7-3區間估計的概念 . . . 信賴水準的涵義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

例題四 統一便利商店週營業額呈常態分配，其標準差為3萬，今隨機抽取36家統一便利商店，計算出其平均週營業額為16.5萬，設信賴係數為95%，試求統一便利商店週營業額之信賴區間。 ＊解 (萬)

例題四

例題五 今自某小販之西瓜隨機抽取125個檢查，計算出其平均重量21.5公 斤，標準差為2.3公斤，設信賴係數為97%，試求某小販之西瓜平 均重量之信賴區間。 ＊解 本題並未說明母體為常態分配，且標準差未知，但∵　 ，依中央極限定理，仍可用Z分配解之，母體標準差以樣本標準差 取代之。

7-4單一母體平均數之區間估計 . . .母體為常態分配、標準差未知且小樣本 . . . . . . . . . . . . 7-4單一母體平均數之區間估計 . . .母體為常態分配、標準差未知且小樣本 . . . . . . . . . . . . 母體為常態分配、標準差未知且小樣本之 區間估計模式，其導 出過程，如下所示 ( 設信賴係數為 )： 1. 母體分配： ，其中 為未知。 2. 點估計量：隨機抽樣一組樣本 ，計算 ，S 為未知母數 ， 之點估計量。 3. 抽樣分配 ( 使用t分配 )： 分配， ( 自由度 )

7-4單一母體平均數之區間估計 . . .母體為常態分配、標準差未知且小樣本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 機率區間： 5. 信賴區間：解機率區間之不等式，得 之信賴區間。

例題六 今隨機抽取16名台北市上班族開車上班時間調查，求算出其 分， 分。假設開車上班時間為常態分配，試求台北市上班族 分， 分。假設開車上班時間為常態分配，試求台北市上班族 平均開車上班時間之90% 信賴區間。 ＊解 ∵　母體為常態分配、標準差未知且小樣本，∴　使用t分配估計。

例題七 全家公司宣稱，台中市全家超商每日營業額呈常態分配，今自該 市抽出10家全家超商為一隨機樣本，營業額如下 ( 單位：千 元 )： 55, 45, 30, 48, 32, 60, 54, 35, 28, 43 設信賴係數為99%，試求全家超商每日營業額之信賴區間。 ＊解 ∵　母體為常態分配但母體標準差未知且小樣本，∴　使用t分配 估計。

7-5兩母體平均數差之區間估計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 在進行兩個母體平均數之差異的區間估計，應先決定 之抽 樣分配，其可能為Z或t分配，如下表所示： 母體分配 母體標準差 樣本大小 抽樣分配 1.兩獨立常態母體 已知 大 Z 2.兩獨立常態母體 小 3.兩獨立母體 ( 是否常態未知 ) 未知 4.兩獨立常態母體 未知但相等 t 5.兩不獨立常態母體 未知但不相等

7-5兩母體平均數差之區間估計 . . .兩獨立常態母體且標準差已知 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 兩獨立常態母體且標準差已知，則兩母體平均數 之區間估 計模式，其導出過程，如下所示 ( 設信賴係數為 )： 1. 母體分配：設有兩個相互獨立的常態母體分配： (1) 第一個母體： 為已知。 (2) 第二個母體： 為已知。 2. 點估計量： (1) 從第一個母體隨機抽樣一組樣本 ( 個樣 本 )，計算 ，為未知母數 之點估計量。 (2) 從第二個母體隨機抽樣一組樣本 ( 個樣 (3) 以 為 之點估計量； 為 之點估計量。

7-5兩母體平均數差之區間估計 . . .兩獨立常態母體且標準差已知 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 抽樣分配 ( 使用Z分配 )： (1) ； (2) 標準化 4. 機率區間：

7-5兩母體平均數差之區間估計 . . .兩獨立常態母體且標準差已知 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 信賴區間：解機率區間之不等式，得 之信賴區間 6. 注意點：若母體分配形態與標準差均未知但為大樣本 時，由中央極限定理可知， 之抽樣分配會趨近於常態 分配，可以常態分配處理。其中母體標準差 以樣本標準誤 (S)替代。

例題八 茲假設兩組部份抽樣資料數據如下 ( 兩組資料獨立且呈常態分 配 )： A組： 。 B組： 。 設信賴係數為95% (1) 試求兩組資料平均數差之信賴區間。 (2) 依此結論，A組與B組平均數是否有顯著差異？

例題八 ＊解 (1) (2) 若 之信賴區間有包括0，則兩組資料無顯著差異 ( 與 可能相等 )。 (2) 若 之信賴區間有包括0，則兩組資料無顯著差異 ( 與 可能相等 )。 ∵　本題 之信賴區間不包括0，∴　可能有顯著差異。

例題九 華碩公司招考職員，在所選出的81位男性及64位女性應徵者中， 男性的平均成績80分，標準差9分，女性平均成績77分，標準差8 分，試求 (1) 男性及女性平均成績差之99% 信賴區間。 依此結論，男性及女性平均成績是否有顯著差異？ ＊解 (1) 本題母體分配形態與標準差均未知但為大樣本 ，可用Z分配估計解之，母體標準差以樣本標準差取代。 男性： 。

例題九 ＊解 女性： 。 (2) ∵　本題 之信賴區間包括0， ∴　男性及女性平均成績差可能無顯著差異。

7-4單一母體平均數之區間估計 . . .母體為常態分配且標準差已知 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 母體為常態分配且標準已知之 區間估計模式，其導出過程，如 下所示 ( 設信賴係數為 )： 1. 母體分配： ，其中 為已知。 2. 點估計量：隨機抽樣一組樣本 ，計算 ，為未知母 數 之點估計量。 3. 抽樣分配 ( 使用Z分配 )： (1) 。 (2) 標準化 。

7-4單一母體平均數之區間估計 . . .母體為常態分配且標準差已知 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 機率區間： 5. 信賴區間：解機率區間之不等式，得 之信賴區間 6. 注意點：若母體分配與標準差均未知但為大樣本 時， 由中央極限定理 ( 見6-3-3節 ) 可知， 之抽樣分配會趨近 於常態分配，可以常態分配處理。其中母體標準差 以樣本 標準誤(S)替代。

7-5兩母體平均數差之區間估計 . . .兩獨立常態母體且、小樣本、標準差未知但相等 . . . . 7-5兩母體平均數差之區間估計 . . .兩獨立常態母體且、小樣本、標準差未知但相等 . . . . 兩獨立常態母體、小樣本、標準差未知但相等，兩母體平均數 之區間估計模式，其導出過程，如下所示 ( 設信賴係數 為 )： 1. 母體分配：設有兩個相互獨立的常態母體分配： (1) 第一個母體： 為未知。 (2) 第二個母體： 為未知。 (3) ( 母體標準差未知但相等 )。 2. 點估計量： (1) 從第一個母體隨機抽樣一組樣本 ，計 算 ，為未知母數 之點估計量。 (2) 從第二個母體隨機抽樣一組樣本 ， 計算 ，為未知母數 之點估計量。

7-5兩母體平均數差之區間估計 . . .兩獨立常態母體且、小樣本、標準差未知但相等 . . . . 7-5兩母體平均數差之區間估計 . . .兩獨立常態母體且、小樣本、標準差未知但相等 . . . . 3. 抽樣分配 ( 使用t分配 )： ； 4. 機率區間：

7-5兩母體平均數差之區間估計 . . .兩獨立常態母體且、小樣本、標準差未知但相等 . . . . . . . . . . . 7-5兩母體平均數差之區間估計 . . .兩獨立常態母體且、小樣本、標準差未知但相等 . . . . . . . . . . . 5. 信賴區間：解機率區間之不等式，得 之信賴區間。

7-4單一母體平均數之區間估計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 一個母體平均數的區間估計，要使用到的抽樣分配，與母體分配 型態、標準差、樣本大小有關，茲先整理如下： 母體分配 母體標準差 樣本大小 抽樣分配 常態 已知 大 Z 小 未知 t ─

例題十 茲假設兩組部份抽樣資料數據如下 ( 兩組資料獨立，呈常態分 配，母體標準差未知但相等 )： A組： 。 B組： 。 設信賴係數為95%，試求兩組資料平均數差之信賴區間。 ＊解 ∵　兩母體為獨立常態分配、標準差未知但相等、小樣本，∴　 使用t分配估計。 (1) (2) ：

例題十 (3)

例題十

例題十一 欲比較甲乙兩家公司員工薪資之差異，今自甲公司抽取26人為隨 機樣本，平均每月薪水 $30,000元，標準差為3,500元，自乙公司 抽16人為隨機樣本，平均每個月薪資為32,500元，標準差為3,000 元。設信賴係數為95%，兩家公司員工薪資呈常態分配，且變異數 相等，試以信賴區間方法，驗證甲公司之員工薪資與乙公司之員 工薪資是否有顯著不一樣？ ＊解 甲公司： 。 乙公司： 。

例題十一 (1) ； (3)

例題十二 設A、B兩家玩具工廠每日生產量呈常態分配，且變異數相等，今 自兩家玩具工廠抽出部分天數，其生產量如下表所示，設信賴係 ＊解 ； ； ； ；　　 ( 請參考【例題7】之計算公式 ) (1)

例題十二 (2) (3)

7-5兩母體平均數差之區間估計 . . .兩不獨立常態母體、小樣本、標準差未知. . . . . . . . . . . . . . . . 7-5兩母體平均數差之區間估計 . . .兩不獨立常態母體、小樣本、標準差未知. . . . . . . . . . . . . . . . 兩不獨立常態母體、小樣本、標準差未知，兩母體平均數 之區間估計模式，其導出過程，如下所示 ( 設信賴係數為 )： 1.母體分配：設有兩個不獨立的常態母體分配： (1) 第一個母體： 為未知。 (2) 第二個母體： 為未知。 (3) 設 。 2.點估計量：隨機成對抽取 ，計算：

7-5兩母體平均數差之區間估計 . . .兩不獨立常態母體、小樣本、標準差未知. . . . . . . . . . . . . . . . 7-5兩母體平均數差之區間估計 . . .兩不獨立常態母體、小樣本、標準差未知. . . . . . . . . . . . . . . . (1) ( 成對差的樣本平均數 )； ( 成對差的樣本變異數 )； ( 成對差的樣本 標準差 ) (2) 以 為 之點估計量； 為 之點估計量。 3. 抽樣分配 ( 使用t分配 )： ； ；

7-5兩母體平均數差之區間估計 . . .兩不獨立常態母體、小樣本、標準差未知. . . . . . . . . . . . . . . . 7-5兩母體平均數差之區間估計 . . .兩不獨立常態母體、小樣本、標準差未知. . . . . . . . . . . . . . . . 4. 機率區間： 5. 信賴區間：解機率區間之不等式，得 之信賴區間

例題十三 下表為十家OK便利商店，在廣告A計畫實施前後之週營業額，茲設 週營業額呈常態分配，設信賴係數為95%，十家OK便利商店在廣告 ＊解 便利商店 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 實施前 40 47 50 45 42 46 48 實施後 41 43 38 44 便利商店 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 實施前 40 47 50 45 42 46 48 實施後 41 43 38 44 D -1 -3 -2

例題十三 ； (2) ∵　區間包括0，∴　廣告A計畫實施前後週營業額無明顯改變。

例題十三

7-6母體比率之區間估計 . . .單一母體比率之區間估計(設為大樣本情況) . . . . . . . . . . . . . . . 7-6母體比率之區間估計 . . .單一母體比率之區間估計(設為大樣本情況) . . . . . . . . . . . . . . . 單一母體比率P之區間估計模式 ( 設為大樣本情況 )，其導出過 程，如下所示 ( 設信賴係數為 )： 1.母體分配：點二項分配 ； ； 2.點估計量：隨機抽樣一組樣本 ( 設為大樣本，當 且 成立時，依中央極限定理， 分配趨近 常態分配 )，計算 ( 表示成功的次數 )，以 為未知母數P之點估計量。

7-6母體比率之區間估計 . . .單一母體比率之區間估計(設為大樣本情況) . . . . . . . . 7-6母體比率之區間估計 . . .單一母體比率之區間估計(設為大樣本情況) . . . . . . . . 3. 抽樣分配 ( 使用Z分配 )： (1) 。 標準化 。 4. 機率區間：

7-6母體比率之區間估計 . . .單一母體比率之區間估計(設為大樣本情況) . . . . . . . . . . . . . . . 7-6母體比率之區間估計 . . .單一母體比率之區間估計(設為大樣本情況) . . . . . . . . . . . . . . . 5. 信賴區間：解機率區間之不等式，得P之信賴區間。 6. 注意點：若為大樣本，而母體比率P未知，則以 取代。

7-4單一母體平均數之區間估計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 在統計學上，所要探討的區間估計，大略如下表所示：

例題十四 彰化銀行從2,000件放款案件中，發現有300件為逾期放款。設信 賴係數為95%，試求彰化銀行逾期放款比例之信賴區間。 ＊解

例題十四

7-6母體比率之區間估計 . . .單一母體比率之區間估計(設為大樣本情況) . . . . . . . . 7-6母體比率之區間估計 . . .單一母體比率之區間估計(設為大樣本情況) . . . . . . . . 兩獨立母體 比率差之區間估計 ( 設為大樣本情況 )，其導 出過程，如下所示 ( 設信賴係數為 )： 1. 母體分配：設有兩個相互獨立的點二項分配： (1) 第一個母體 ： ； (2) 第二個母體： ； ； 2. 點估計量： (1) 從第一個母體隨機抽樣一組樣本 ，計算 ( 表示成功的次數 )。 (2) 從第二個母體隨機抽樣一組樣本 ，計算 (3) 以 為 之點估計量。

7-6母體比率之區間估計 . . .單一母體比率之區間估計(設為大樣本情況) . . . . . . . . 7-6母體比率之區間估計 . . .單一母體比率之區間估計(設為大樣本情況) . . . . . . . . 3. 抽樣分配 ( 使用Z分配 )： (1) 。 (2) 標準化 。 4. 機率區間：

7-6母體比率之區間估計 . . .單一母體比率之區間估計(設為大樣本情況) . . . . . . . . 7-6母體比率之區間估計 . . .單一母體比率之區間估計(設為大樣本情況) . . . . . . . . 信賴區間：解機率區間之不等式，得 之信賴區間。 6. 注意點：若為為大樣本 ( 比照7-6-1大樣本之說明 )，而母體比率P未知，則以 取代。

例題十五 為了解Nokia手機在甲乙兩地的使用率，乃自甲地抽出300人，有 兩地使用比率差之95% 信賴區間。 ＊解 ∵　為大樣本，∴　以 代替P。 ； ；

例題十五 ＊解 ∵　為大樣本，∴　以 代替P。 ； ；

例題十五

7-7樣本大小的準定 . . .估計母體平均數 之樣本大小 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 研究者以點估計量來估計母體母數，必然會有誤差產生，除非點估 計量剛好等於未知母數。誤差之大小，以點估計量與母數二者差之 絕對值表示。在 的信賴係數下，以樣本平均數 來估計母體未 知母數 ，其估計誤差為 ，如下圖所示：

7-7樣本大小的準定 . . .估計母體平均數 之樣本大小 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 由上圖可知，估計誤差 ，經等號兩邊平方可推得

例題十六 統一便利商店年營業額呈常態分配，該公司欲估計年營業額希望 誤差小於3萬的機率為95%，試求就下列各別情況，應取多少樣 本？ (1) 根據過去資料顯示，年營業額標準差為30萬。 (2) 設母體標準差未知，先抽出30家便利商店，計算標準差25萬。 ＊解 (1)

例題十六 (2) ≒267 ( 需再抽出237家便利商店 )

7-7樣本大小的準定 . . .估計母體比例P之樣本大小 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 設在 之信賴係數下，以樣本比例 來估計母體未知母體比例 P，其估計誤差以 表示，如下圖所示：

7-7樣本大小的準定 . . .估計母體比例P之樣本大小 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 由上圖可知，估計誤差 ，經等號兩邊平方 可推得 在上式中 1. 當母體比率P為已知時，直接以P代入該式。 2. 當P未知時，以樣本比率 取代P或以 代替 ( 保守作 法 )。

例題十七 華碩電腦公司想了解在台灣地區使用該公司品牌的比例。若該公 司希望估計誤差小於5% 的機率為97%，試求就下列個別情況，應 取多少樣本？ (1) 根據過去資料顯示，台灣地區使用華碩電腦為15%。 (2) 先抽出50人，計算其使用華碩電腦為12%。 (3) 假設台灣地區使用華碩電腦品牌的比例未知。 ＊解 (1)

例題十七 ≒199 ( 需再抽出149人 )

例題十七 ≒471 由以上可知此， 乃以極大值去估計樣本n，是最保守的作法 ( 樣本數471最大 )。