金 融 工 程 Financial Engineering 金工精品课程组 江西财经大学 金融学院

第4章 利率

本章导言 利率及其计算 利率头寸管理 期限结构

内容 4.1 利率种类 4.2 利率的测量 4.3 零息利率 4.4 债券价格 4.5 国库券零息利率的确定 4.6 远期利率 4.1 利率种类 4.2 利率的测量 4.3 零息利率 4.4 债券价格 4.5 国库券零息利率的确定 4.6 远期利率 4.7 远期利率合约 4.8 久期 4.9 曲率 4.10 利率期限结构理论

4.1 利率种类 国债利率：是指投资者投资国库券或国债时所挣得的收益率，为无风险利率 4.1 利率种类 国债利率：是指投资者投资国库券或国债时所挣得的收益率，为无风险利率 LIBOR： 是指具有AA信用级别的银行或公司借入1个月, 3个月, 6个月,或12个月期的资金利率，为本书的无风险利率（P51业界事例4-1） 再回购利率：是指证券卖出与买回的差价所对应利率

4.２ 利率的测量 利率复利频率定义了利率的计量方式 利率在不同计息频率下的相互关系可类比为公里同英里的关系 举例：P52，表４-１

一般公式 资金A投资n年，按年复利，投资终值： 一年复利m次，投资终值为： 等值年利率： m=1所对应的利率

连续复利：复利频率m趋于无穷大时所对应的利率 大多数情况下，连续复利等价于每天计算复利 除特别说明，本书将按连续复利计算利息 投资$100，以连续复利利率R投资T时期，投资终值为 $100eRT 对一笔在T时获取$100的投资资金以连续复利利率R进行贴现，在初始时间t=0时，贴现值为 $100e-RT

不同复利频率的利率转换(Page53) Rc :连续复利利率 Rm:与Rc等价的每年复利m次复利利率 例题：P57 例4-1，例4-2

4.3 零息利率 定义：即期利率（spot rate）零息利率（zero rate）、零率 数据获取：详见4.5 市场直接观察 4.3 零息利率 定义：即期利率（spot rate）零息利率（zero rate）、零率 N年的零息利率（即期利率或零率）：是指在今天投入资金，被连续保持N年后所对应的收益率。所有的利息及本金都在N年末支付给投资者 数据获取：详见4.5 市场直接观察 息票债券价格信息提取

4.4 债券价格 债券的理论价格等于债券将来的现金流贴现后的总和，最精确的方法是对于不同时期的现金流采用不同的零息贴现利率。 4.4 债券价格 债券的理论价格等于债券将来的现金流贴现后的总和，最精确的方法是对于不同时期的现金流采用不同的零息贴现利率。 例：一个两年期债券的面值为100美元，每年劵息利率为 6%，半年负息一次，采用表4.2的零息利率结构，债券的理论价格为98.39：

Example (Table 4.2, page 58) 14 14

４.４.１债券收益率 债券收益率等于使债券贴现的现金流总和等于其市场价格的贴现率。 假定一债券的理论价格为$98.39，即为市场价格 债券收益率（连续复利法）可由下式计算得到： 其解为 y=0.0676或 6.76%.

平价收益率：使债券价格等于面值的券息利率， P58举例，解得ｃ=6.87% 平价收益率一般公式： 例：m=2,d=e-0.068*2=0.87284 A=e-0.05*0.5+e-0.058*1+e-0.064*1.5+e-0.068*2=3.70027

Example (Table 4.2, page 58) 如何计算table4.2零息利率 17 17

4.5 国债收益率零息利率的确定 方法一：观测本息分离债券对应的利率——卖出与本金分离后的息票是人工产生的无息证券 方法二：从一般国债和国库券价格计算，如：息票剥离法,例:表４-３中(Page59)，数据见下页。

Sample Data (Table 4.3, page 59) Bond Time to Annual Bond Cash Principal Maturity Coupon Price (dollars) (years) (dollars) (dollars) 100 0.25 97.5 100 0.50 94.9 100 1.00 90.0 100 1.50 8 96.0 100 2.00 12 101.6 票息每半年支付一次 19 19

第一个债券：年复利4次的零息利率为4. (100-97. 5)/97. 5=0. 10256，连续复利为：4ln(1+0 第二个债券 第三个债券 第四个债券：息率为8%，债券价格为96美元，债券本金为100美元，1.5年期限，1.5年所对应的零息利率计为R，计算R表达式： 4e-0.１0４６９×0.5+ 4e- 0.１05３６×1.0+ 4e-0.064×1.5+ 104e-R×１.5=96 　　解得： R=0.10681

由息票剥离法得出的零息利率 Zero Rate (%) Maturity (yrs) 零息利率曲线 10.808 10.681 10.469 10.536 10.127 Maturity (yrs) 零息利率曲线 21 21

4.6 远期利率 远期利率： 举例P60,表４-５，如下页： 远期利率是由今天零息利率所导出的对应将来一定期限的利率 4.6 远期利率 远期利率： 远期利率是由今天零息利率所导出的对应将来一定期限的利率 当前零息利率信息蕴含远期利率信息 举例P60,表４-５，如下页：

一般结论：零息利率是远期利率的平均值

远期利率公式(Equation 4.5 , page57) 由区间 T1到 T2的远期利率RF表达式为： R1：对应于期限为T1的零息利率 R2 ：对应于期限为T2的零息利率

期限为Ｔ的瞬时远期利率推导： P(0,T)为时间T到期的零息债券的价格

未来借贷利率锁定在远期利率 对未来借贷利率投机 未来借贷利率预测 远期利率

4.7 远期利率协议 远期利率合约（FRA）：这种交易约定在将来某一段时间交易的一方将以某一利率借入或借出固定数量的资金。 4.7 远期利率协议 远期利率合约（FRA）：这种交易约定在将来某一段时间交易的一方将以某一利率借入或借出固定数量的资金。 令：Rk--FRA的约定利率 RF—由今天计算的介于时间T1和T2之间的LIBOR利率 Rm—在时间T1观察到的T1和T2之间的真正LIBOR利率 L—合约的本金 资产负债表外业务

FRA (a) T0时间签订的合约 t1 t0 (b) 将于T1时间开始的合约 t1 t2 (c) t1 t0

公司X同意在T1和T2之间将资金借给公司Y 公司X在T2的现金流（X本身没钱，市场借，贷给Y） FRA的买方将支付固定利率收到浮动利率。 公司Y在T2的现金流（FRA的买方将支付固定利率收到浮动利率。） FRA的另外一种解释 公司X同意在T1和T2间收入固定利率Rk，同时付出市场实现的LIBOR利率RM 公司Y则反方向收付

FRA在T1时刻交割，公司X的现金流：P62例4-3 FRA在T1时刻交割，公司Y的现金流 降低信用风险、增加信用评级

FRA估值 当RK=RF时， FRA的价值等于零 无套利原理 比较两个FRA的价值 第一个FRA： T1和T2间收益率为RF，因此，在t=0时， RK=RF 其价值等于零 第二个FRA ： T1和T2间收益率为RK ，在t=0时，其价值用VFRA表示

第二个FRA与第一个FRA的价值差的现值 收入RK的FRA的价值的现值 支出RK的FRA的价值的现值

4.8 久期(page63) 金融产品的久期是指投资者收到一笔投资的所有现金流支付平均需要等待的时间 某债券在时刻t i给债券持有人支付的资金流为c i ，i=1，2，…，n，债券价格B与连续复利收益率y的关系式 : 债券久期D被表示为： 久期是付款时间t i的加权平均，权重即为t i时刻债券支付的现金流的现值与债券价格的比率

考虑收益率微小变化 上式提出了债券价格和其收益率的一个近似关系

计算面值为100美元，劵息为10%的3年期债券，债券连续复利的年收益率为12%，半年付息一次 (Table 4.6, page 60) 期限 (yrs) 现金流 ($) 现值 权重 时间× 0.5 5 4.709 0.050 0.025 1.0 4.435 0.047 1.5 4.176 0.044 0.066 2.0 3.933 0.042 0.083 2.5 3.704 0.039 0.098 3.0 105 73.256 0.778 2.333 合计 130 94.213 1.000 2.653

4.8.1 修正久期 当收益率 y为一年复利 m次的利率 债券价格变为： 定义 为债券利率修正久期：

债券价格变为： 举例：P61例4-6 绝对额久期：修正久期与债券价格的乘积

债券组合的久期 债券久期的加权平均 权重：与相应债券价格成正比 久期概念的隐含假设：收益率曲线平行移动

4.9 曲率

债券曲率定义如下： 泰勒展开式： 债券价格变动 　可表示为：

4.10 利率期限结构理论 零息收益率曲线的形状：不同形状 期望理论：远期利率等于相应时段未来即期利率期望值 4.10 利率期限结构理论 零息收益率曲线的形状：不同形状 期望理论：远期利率等于相应时段未来即期利率期望值 市场分割理论：短期、中期、长期之间无关系，各期利率由各期供需关系决定 流动性偏好理论：投资者喜欢保持资金的流动性， 存短贷长，不支持期望理论

净利息收入管理 假定市场最佳估计是：未来1年期利率等于今天市场上的利率 根据表4-7提供的利率，情况会怎么变化？ 假定你将资金存入银行，并且认为利率上升与利率下降的可能性相同，你此时会将资金以3％的利率存入1年还是 5 年？此时人们往往会将资金存入1年，因为将资金锁定在一个较短的期限里会给人们带来许多方便。 假定你需要住房贷款，仍然认为利率上升与下降的可能性均等，你此时会以 6 ％的利率贷款1年还是 5 年？这时人们往往会选择 5 年期的住房贷款，因为这样做人们承担了较少的融资风险 期限 (yrs) 存款利率 按揭利率 1 3% 6% 5

银行怎么管理它的风险？ 提高长期贷款利率，应对流动性偏好理论 银行怎么管理它的风险？ 提高长期贷款利率，应对流动性偏好理论 资产负债难以匹配 期限 (yrs) 存款利率 按揭利率 1 3% 6% 5 4% 7% Options, Futures, and Other Derivatives, 7th International Edition, Copyright © John C. Hull 2008

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