澳大利亚飞镖飞行轨迹的 一些讨论 霍燎原 PB03203207

一、澳大利亚飞镖简介 澳大利亚飞镖（又称飞去来器），是一种澳大利亚土著居民狩猎用的工具。澳大利亚传统的飞镖由两片翼连在一起组成一个香蕉形的物体，通常由轻质的木质材料制成，但现在可以找到形状、材料各异的飞去来器。如果投掷方式正确，并且在飞行的过程中没有遇到阻碍，它将在空中划出一个近似圆形的轨道，然后回到出发点。

澳大利亚飞镖设计精巧、简单实用，在科技并不发达的原始部落中，如此精巧的设计多半是人们通过不懈的尝试与改进在对其原理并不知晓的情况下逐渐摸索出来的。现在，澳大利亚飞镖已成为澳大利亚土著文化中非常具有标志性的物品。2000年悉尼奥运会的徽标主体——举火炬的运动员，就是由三个澳大利亚飞镖拼成的。

二、本文所使用的澳大利亚飞镖 O 为简单起见，这里讨论如下的飞去来器： 横截面 z x O 俯视图 O about 20cm about 2cm y x 为简单起见，这里讨论如下的飞去来器： 如左图所示，该飞去来器由四个翼片组合成十字形，翼形如上图所示。Oxyz为架在飞去来器上的坐标架,并随飞去来器一起旋转（下文同),整个飞去来器关于质心O对称，且翼片宽度大大小于翼片长度。

三、飞去来器在其所在平面内以恒定质心速度与自转角速度运动时所受的升力与力矩 x y z O v 单个翼片在空气中以速度v在其所在平面(xOy)内沿与其前沿垂直的方向(y)平动时，所产生的升力为： CL为升力系数，ρ为空气密度，S为翼片在xOy平面上投影的面积。由于对称性，四个翼片的CL相同。

当翼片一边旋转(ω沿z轴正向）一边向前飞行时，叶片上某点的速度为它的线速度与质心速度的叠加。此速度沿y轴方向的分量为： x y z O Vc ω θ R FL1 FL2 vy My 当翼片一边旋转(ω沿z轴正向）一边向前飞行时，叶片上某点的速度为它的线速度与质心速度的叠加。此速度沿y轴方向的分量为：

① 两个翼片升力的和为： 两个翼片的升力对y轴的力矩为： 飞去来器旋转一周的时间内平均的升力为： FL My θ z Vc O a/2 y x y z O Vc FL My θ a/2 两个翼片升力的和为： 两个翼片的升力对y轴的力矩为： 飞去来器旋转一周的时间内平均的升力为： ①

② 在以质心速度方向为y‘轴的坐标系x’Oy’中， 在飞去来器转动一周的过程中，在x’方向和y’方向所受的平均力矩为： My θ z Vc

由上面的分析可知，当ω与z轴同向时，在一个转动周期内，飞去来器所受的平均升力与力矩为： O Vc ω z 由上面的分析可知，当ω与z轴同向时，在一个转动周期内，飞去来器所受的平均升力与力矩为： O Vc ω z 同理，当ω与z轴反向时，在一个转动周期内，飞去来器所受的平均升力与力矩为：

四、抛掷方式一 O Vc ω z g 刚抛出时的运动及受力状态如右图所示。用右手握持飞去来器，大拇指在z轴正侧，其它四指在z轴负侧，然后将右臂弯在胸前，右手掌心面向自己，并使飞去来器与地面水平，然后抛出，飞去来器就会以这种方式飞行。

开始时刻： 如右图所示，在力矩 的作用下，飞去来器将发生进动，z轴逐渐在VC与g所确定的平面内旋转，与VC的夹角不断增大。 Lz(t) O Vc Z(t) Lz(t) Lz(t+Δt) Z(t+Δt) g 如右图所示，在力矩 的作用下，飞去来器将发生进动，z轴逐渐在VC与g所确定的平面内旋转，与VC的夹角不断增大。

O Vc ω z g f 阶段一： 随后，由于VC不再在xOy平面内，在运动方向上飞去来器将有较大的横截面积，产生阻力f；同时， 产生一个与质心速度方向相反的分量。在这两个力的作用下，质心速度VC不断降低。同时，由于升力 和f在竖直方向上的分量，飞去来器逐渐升高（如果这两个分量足够大的话）。

转折点： 随着VC不断减小，由②式，力矩 逐渐减小到0，进动逐渐停止；同时，质心速度的水平分量减为零。 O ω z g Vc 随着VC不断减小，由②式，力矩 逐渐减小到0，进动逐渐停止；同时，质心速度的水平分量减为零。 然后，由于ω在阻力作用下不断减小，由①式升力 逐渐减小。这时，在重力作用下，VC竖直分量最终逐渐减小。 最终，飞去来器进入一个VC较小， VC竖直分量为零，z轴与竖直方向有一定夹角的状态。可以将此点看作飞去来器运动的一个转折点。

阶段二： O ω z g Vc f 随后，在重力作用下，飞去来器获得竖直的速度，f再次产生。在f和 水平分量的作用下，飞去来器水平速度逐渐增加。此时， 再次产生，飞去来器再次产生进动，xOy平面逐渐向水平面靠近，并最终回到类似初始时的状态。

下图是由软件模拟的飞去来器飞行轨迹，其中有一段非常类似上述分析的轨迹。 开始时刻 结束点 转折点 阶段二 阶段一 飞行方向 投掷者 落地点 图中，黄色面面向z轴正向，由于在进入点飞去来器并不是完全水平，故轨迹并不在一竖直平面内。在下文中，将类似与这种方式的运动阶段称为第一种类型的运动。

五、抛掷方式二 O Vc ω z g y 刚抛出时的运动及受力状态如左图所示（VC在xOy平面内)。用右手握持飞去来器，大拇指在z轴正侧，其它四指在z轴负侧，然后将右臂举高，右手掌心向前，并使飞去来器与地面大致垂直，但z轴略微指向天空，然后向斜上方抛出，飞去来器就会以这种方式飞行。

阶段一： O Vc ω z g 在 的水平分量作用下，飞去来器获得向心加速度；在 竖直分量的作用下，若角速度及质心速度足够高，则可抵消飞去来器自身的重力，使飞去来器受向上的竖直方向的合力。这样，飞去来器将一边作圆周运动，一边上升。同时，力矩 使飞去来器进动。若条件合适，则由于z轴进动，z轴将与VC大致保持垂直。

转折点： O ω z g Vc2 随着飞去来器逐渐升高，质心速度VC与自转角速度ω逐渐降低，将不能再维持飞去来器的上升，此时进入类似第一种类型的运动的转折点的状态。不过这时叠加了一个较大的横向质心速度VC2（与g- ω所确定的平面垂直，下文称为横向速度 ）。

阶段二： O ω z g Vc2 f Vc1 转折点过后，横向速度继续减小，由此速度引起的进动逐渐减小，飞去来器进动的方式逐渐趋向于第一种运动第二阶段的进动方式。由于横向速度的存在，这段时间内飞去来器还将近似的作圆周运动，但曲率半径明显的（与第一阶段相比较）增大。最后，物体将以较小的横向速度及略微的倾角进入第一种类型的运动。

下图是由软件模拟的飞去来器飞行轨迹: 阶段一 转折点 阶段二 结束，进入第一种类型

六、一些轨迹 下图是由软件模拟的飞去来器在不同初始条件下的飞行轨迹: 较好的投掷

较大的VC，较小的ω。 可以发现，很多轨迹都可通过上文讨论的两种情况进行一定的解释。

pass.maths.org.uk：“Bang up a boomerang! ”，Hugh Hunt 图片来源： 第一页图：www.boomerang.org.au 第二页图：www.howstuffworks.com 第二十三页图：www.boomerang.org.au 参考资料： pass.maths.org.uk：“Bang up a boomerang! ”，Hugh Hunt www.howstuffworks.com: ”How Airplanes Work “, Marshall Brain and Brian Adkins “How Boomerangs Work” , Tom Harris 《流体力学》，J.F.Douglas J.M.Gasiorek J.A.Swaffield著，汤全明 译 飞行轨迹图片： 由飞去来器模拟软件wxBumms生成[wxBumms(“wx Bumerang Simulation” , Version: 14.6.2003 , Copyright ( C ) 2003 , Georg Hennig < georg.hennig@web.de> ]