根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(2/2) 由高阶常微分方程建立状态空间模型 由传递函数建立状态空间模型 根据状态变量图及系统方块图列写状态空间模型 多输入多输出线性系统 非线性系统

1. 1 由高阶常微分方程建立状态空间模型 本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系统的状态空间模型,分别讨论 由高阶常微分方程建立状态空间模型(1/1) 1. 1 由高阶常微分方程建立状态空间模型 本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系统的状态空间模型,分别讨论 由不含输入量导数项和 由含输入量导数项的 微分方程建立状态空间模型。

y(n)+a1y(n-1)+…+any=bu 微分方程中不包含输入量的导数项(1/9) 1.1.1 微分方程中不包含输入量的导数项 描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为,不包含有输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为 y(n)+a1y(n-1)+…+any=bu 其中y和u分别为系统的输出和输入;n为系统的阶次。 这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型--状态空间模型 本节问题的关键是如何选择状态变量。

x1(t)=y(t), x2(t)=y’(t), …, xn(t)=y(n-1)(t) 微分方程中不包含输入量的导数项(2/9) 由微分方程理论知,若初始时刻t0的初值y(t0),y’(t0),…,y(n-1)(t0)已知,则对给定的输入u(t),微分方程有唯一解,也即系统在tt0的任何瞬时的动态都被唯一确定。 因此,选择状态变量为如下变量 x1(t)=y(t), x2(t)=y’(t), …, xn(t)=y(n-1)(t) 可完全刻划系统的动态特性。 取输出y和y的各阶导数(也称相变量)为状态变量,物理意义明确,易于接受。

将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下状态方程 微分方程中不包含输入量的导数项(3/9) 将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下状态方程 和输出方程 y=x1

微分方程中不包含输入量的导数项(4/9) 将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有

微分方程中不包含输入量的导数项(5/9) 该状态空间模型可简记为: 其中

上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵A与微分方程中的系数a1, a2,…, an之间,输入矩阵B与方程中系数b之间的对应关系。 微分方程中不包含输入量的导数项(6/9) 上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵A与微分方程中的系数a1, a2,…, an之间,输入矩阵B与方程中系数b之间的对应关系。 通常将上述取输出y和y的各阶导数为状态变量称为相变量。

微分方程中不包含输入量的导数项(8/9)-例2-1 例 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型 y”’+6y”+11y’+6y=6u 解 本例中 a1=6 a2=11 a3=6 b=6 因此,当选择输出y及其1阶与2阶导数等相变量为状态变量时,由课本式(1-4)和(1-7)可得状态空间模型如下 P11例1.2

y(n)+a1y(n-1)+…+any=b0u(n)+…+bnu 微分方程中包含输入量的导数项(1/11) 1.1.2. 微分方程中包含输入量的导数项 描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方程的一般表达式为 y(n)+a1y(n-1)+…+any=b0u(n)+…+bnu 所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型--状态空间模型 建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量?

x1(t)=y(t), x2(t)=y’(t), …, xn(t)=y(n-1)(t) 微分方程中包含输入量的导数项(2/11) 若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,即 x1(t)=y(t), x2(t)=y’(t), …, xn(t)=y(n-1)(t) 则可得如下状态方程 根据微分方程解的存在性和唯一性条件,要求输入u(t)为分段连续,而上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连续,从而使微分方程解的存在性和唯一性的条件不成立。 因此,状态方程中不应有输入u的导数项出现,即不能直接将输出y的各阶导数项取作状态变量。

为避免状态方程中显示地出现输入的导数,通常, 可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组成状态变量,其原则是: 微分方程中包含输入量的导数项(3/11) 为避免状态方程中显示地出现输入的导数,通常, 可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组成状态变量,其原则是: 使状态方程中不显含输出u的各阶导数。 基于这种思路选择状态变量的方法很多,下面先介绍一种,其他的方法将在后续章节中陆续介绍。

用an an-1 an-2 ..... a1分别乘于上式两边，移项后可得： 根据上述原则,选择状态变量如下 微分方程中包含输入量的导数项(4/11) 与P13方法有所不同，但本质一样 其中i(i=0,1,…,n)为待定系数。 用an an-1 an-2 ..... a1分别乘于上式两边，移项后可得：

y(n)=xn+1+β0u(n) + β1u(n-1) +…+ βnu 微分方程中包含输入量的导数项(4/11) y(n)=xn+1+β0u(n) + β1u(n-1) +…+ βnu 以上两式左边和右边分别相加后，左边等于原线性方程的左边，所以右边相加的结果也应等于原线性方程的右边。由此可解得：

微分方程中包含输入量的导数项(5/11) 因此,有

则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导数项的状态空间模型 微分方程中包含输入量的导数项(7/11) 则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导数项的状态空间模型

微分方程中包含输入量的导数项(9/11)-例2-2 例 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型 y”’+5y”+8y’+4y=2u”+14u’+24u 解 本例中 a1=5 a2=8 a3=4 b0=0 b1=2 b2=14 b3=24 因此,有 0=b0=0 1=b1-a10=2 2=b2-a11-a20 =4 3=b3-a12-a21-a30 =-12

微分方程中包含输入量的导数项(10/11)-例2-2 即得系统的状态空间模型为 P14例1.3,1.4 同一个控制系统可以有不同的状态空间表达式。因为它们选取的状态变量不同！

1.2 由传递函数建立状态空间模型 下面讨论由描述系统输入输出关系的传递函数建立系统的状态空间模型。 关键问题: 1. 如何选择状态变量 由传递函数建立状态空间模型(1/6) 1.2 由传递函数建立状态空间模型 下面讨论由描述系统输入输出关系的传递函数建立系统的状态空间模型。 关键问题: 1. 如何选择状态变量 2. 保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变

类似地,本节讨论的由传递函数建立状态空间模型的方法亦适用于对微分方程建立状态空间模型。 由传递函数建立状态空间模型(2/6) 由于传递函数与线性定系数常微分方程有直接的对应关系,故前面讨论的由高阶线性微分方程建立状态空间模型的方法同样适用于将传递函数建立变换为状态空间模型。 类似地,本节讨论的由传递函数建立状态空间模型的方法亦适用于对微分方程建立状态空间模型。 对线性定常系统 拉氏变换 线性定常微分方程 传递函数 建立状态空间模型方法 第一章第一节方法 第一章第二节方法

实际物理系统传递函数中分子多项式阶次小于或等于其分母多项式阶次,此时称该传递函数为真有理传递函数。 由传递函数建立状态空间模型(3/6) 实际物理系统传递函数中分子多项式阶次小于或等于其分母多项式阶次,此时称该传递函数为真有理传递函数。 而分子多项式阶次小于分母多项式阶次时,则称为严格真有理传递函数。 单输入单输出(SISO)线性系统的输入输出间动态行为的如下传递函数

由传递函数建立状态空间模型(4/6) 对上述传递函数,由长除法,有 其中

本节所要研究的是建立该传递函数所描述的动态系统的状态空间模型(A,B,C,D)。 由传递函数建立状态空间模型(5/6) 本节所要研究的是建立该传递函数所描述的动态系统的状态空间模型(A,B,C,D)。 上述常数项d即为状态空间模型(A,B,C,D)中的直联矩阵D; 严格真有理传递函数G(s)对应可建立(A,B,C,D)中的(A,B,C)。 即

下面分传递函数 极点互异和 有重极点 两种情况讨论如何建立状态空间模型。 由传递函数建立状态空间模型(6/6) 下面分传递函数 极点互异和 有重极点 两种情况讨论如何建立状态空间模型。

1.2.1. 传递函数中极点互异时的变换 对于传递函数G(s),其特征方程为 sn+a1sn-1+…+an=0 传递函数中极点互异时的变换(1/8) 1.2.1. 传递函数中极点互异时的变换 对于传递函数G(s),其特征方程为 sn+a1sn-1+…+an=0 若其特征方程的n个特征根s1,s2,…,sn互异,则用部分分式法可将G(s)表示为如下并联分解 其中k1,k2,…,kn为待定系数,其计算公式为

考虑到,输出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足 传递函数中极点互异时的变换(3/8) 考虑到,输出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足 因此,若选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足 则,经反变换可得系统状态方程为

Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+…+knXn(s) 传递函数中极点互异时的变换(4/8) 相应地,系统输出y(t)的拉氏变换为 Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+…+knXn(s) 因此,经拉氏反变换可得如下输出方程 y=k1x1+k2x2+…+knxn 整理上述状态方程和输出方程可得如下状态空间模型

例 用部分分式法将例2-1中微分方程对应的下述传递函数变换为状态空间模型 传递函数中极点互异时的变换(6/8)-例2-3 例 用部分分式法将例2-1中微分方程对应的下述传递函数变换为状态空间模型

解 由系统特征多项式 s3+6s2+11s+6 可求得系统极点为 s1=-1 s2=-2 s3=-3 于是有 传递函数中极点互异时的变换(7/8) 解 由系统特征多项式 s3+6s2+11s+6 可求得系统极点为 s1=-1 s2=-2 s3=-3 于是有 其中

故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出, 可得如下状态空间模型 传递函数中极点互异时的变换(8/8) 故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出, 可得如下状态空间模型

1.2.2.传递函数中有重极点时的变换 当系统特征方程有重根时,传递函数不能分解成如式 传递函数中有重极点时的变换(1/13) 1.2.2.传递函数中有重极点时的变换 当系统特征方程有重根时,传递函数不能分解成如式 的情况,亦得不到如式(2-26)所示的状态方程。 不失一般性,为清楚地叙述变换方法,以下设系统特征方程有6个根,其值分别为s1,s1,s1,s4,s5,s5,即s1为3重极点,s2为2重极点。 相应地,用部分分式法可将所对应的传递函数表示为

传递函数中有重极点时的变换(2/13) 其中kij为待定系数,其计算公式为 其中l为极点si的重数。

下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型。 如何选择状态变量? 考虑到,输出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足 传递函数中有重极点时的变换(4/13) 下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型。 如何选择状态变量? 考虑到,输出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足

传递函数中有重极点时的变换(5/13) 选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足 则有

传递函数中有重极点时的变换(6/13) 即有 则经反变换可得系统状态方程为

Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s) 传递函数中有重极点时的变换(7/13) 相应地,系统输出y(t)的拉氏变换为 Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s) 经拉氏反变换可得如下输出方程 y=k11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x6

传递函数中有重极点时的变换(8/13) 因此,整理可得如下矩阵描述的状态空间模型

例 用部分分式法将下述传递函数变换为状态空间模型 传递函数中有重极点时的变换(11/13)-例2-4 例 用部分分式法将下述传递函数变换为状态空间模型

解 由系统特征多项式 s3+5s2+8s+4 可求得系统有二重极点s1=-2和单极点s2=-1,于是有 传递函数中有重极点时的变换(12/13) 解 由系统特征多项式 s3+5s2+8s+4 可求得系统有二重极点s1=-2和单极点s2=-1,于是有 其中

故当选择状态变量为G(s)分式串-并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得如下状态空间模型 传递函数中有重极点时的变换(13/13) 故当选择状态变量为G(s)分式串-并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得如下状态空间模型

1.3 根据状态变量图及方块图列写状态空间表达式 多输入多输出线性系统(1/5) 1.3 根据状态变量图及方块图列写状态空间表达式 遇到的问题： a.如何根据已有的状态变量图列写状态空间表达式？ b.如何根据已有的微分方程或传递函数，转化为状态变量图，从而列写状态空间表达式？ a.状态变量图一般由积分器、放大器和加法器组成. b.一般取积分环节的输出作为状态变量.

多输入多输出线性系统(1/5)

多输入多输出线性系统(1/5) 等价于输出项无导数项的微分方程

此系统为MIMS系统，用前述基于微分方程或传递函数的方法显然难于建立状态空间模型，同SISO系统一样,该系统的实现也是非唯一的。 多输入多输出线性系统(1/5) 设描述系统的微分方程为 此系统为MIMS系统，用前述基于微分方程或传递函数的方法显然难于建立状态空间模型，同SISO系统一样,该系统的实现也是非唯一的。 下面采用状态变量图方法来建立状态空间模型。

多输入多输出线性系统(2/5) 该系统的方程也可表示为 对每一个方程积分,直至消除导数符号为止。 为此,有

多输入多输出线性系统(3/5) 故可得模拟结构图,如图所示。 系统模拟结构图

取每个积分器的输出为一个状态变量,如图2-13所示。则式(2-33)的一种状态空间实现为 多输入多输出线性系统(4/5) 取每个积分器的输出为一个状态变量,如图2-13所示。则式(2-33)的一种状态空间实现为 相应地输出方程为

因此,该双输入双输出系统的矩阵形式状态空间模型为 多输入多输出线性系统(5/5) 因此,该双输入双输出系统的矩阵形式状态空间模型为

如何把之转换为状态变量图，并列写出状态空间模型？？ 多输入多输出线性系统(1/5) 设描述系统的传递函数为： 如何把之转换为状态变量图，并列写出状态空间模型？？

多输入多输出线性系统(1/5) 分子分母同除于s的n次方: 引入中间变量Z(s): 引入中间变量Z(s):

多输入多输出线性系统(1/5) 可得： 参看课本P20例1.6

微分方程中包含输入量的导数项(7/11) 则状态空间模型为： 参看课本P15-16,比较转换过程和转换结果

多输入多输出线性系统(1/5) 小结：

1.4 多输入多输出线性系统 下面,以双输入双输出的三阶系统为例介绍由描述MIMO系统的高阶微分方程组如何建立状态空间模型。 多输入多输出线性系统(1/5) 1.4 多输入多输出线性系统 下面,以双输入双输出的三阶系统为例介绍由描述MIMO系统的高阶微分方程组如何建立状态空间模型。 设描述系统的微分方程为 同SISO系统一样,该系统的实现也是非唯一的。 下面采用模拟结构图的方法,按高阶导数项求解方法来建立状态空间模型。

多输入多输出线性系统(2/5) 因此,该系统的方程也可表示为 对每一个方程积分,直至消除导数符号为止。 为此,有

多输入多输出线性系统(3/5) 故可得模拟结构图,如图所示。 系统模拟结构图

取每个积分器的输出为一个状态变量,如图2-13所示。则式(2-33)的一种状态空间实现为 多输入多输出线性系统(4/5) 取每个积分器的输出为一个状态变量,如图2-13所示。则式(2-33)的一种状态空间实现为 相应地输出方程为

因此,该双输入双输出系统的矩阵形式状态空间模型为 多输入多输出线性系统(5/5) 因此,该双输入双输出系统的矩阵形式状态空间模型为 P17-21例1.5 已知系统方块图的MIMO系统的状态空间转换方法。

1.5 非线性系统 倒立摆系统是一个多变量、存在严重非线性的非自治不稳定性系统,经常被用来研究和比较各种控制方法的性能。 非线性系统(1/10) 1.5 非线性系统 倒立摆系统是一个多变量、存在严重非线性的非自治不稳定性系统,经常被用来研究和比较各种控制方法的性能。 其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处,因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途,人们对倒立摆控制的研究也越来越感兴趣。 下面通过一个一级倒立摆的例子,来简述对非线性系统来说,如何通过描述其动力学模型的常微分方程建立状态空间模型。

非线性系统(2/10) 图为某一级倒立摆结构示意图。 图 一级倒立摆示意图

图中所示的带轮小车可以前后移动来平衡一根杆,此杆由其底部的一个支点来支撑。 该系统中还有一个电机,一根连接电机与小车的皮带和一些滑轮。 非线性系统(3/10) 图中所示的带轮小车可以前后移动来平衡一根杆,此杆由其底部的一个支点来支撑。 该系统中还有一个电机,一根连接电机与小车的皮带和一些滑轮。 还有一些传感器,用来测量小车的速度、位置、杆底部与铅垂线所成的角度及其微分。 其控制任务是由电机通过皮带施加合适的力f给小车从而使杆不倒,并使小车不超过左右边界。 一级倒立摆有两个运动自由度,一个沿水平方向运动,另一个绕轴转动。

解 通过对滑轮小车和摆竿的受力分析和推导,且忽略交流电机的动特性并且假设交流电机由u到f的静态增益为1,得到倒立摆系统的动力学描述如下: 非线性系统(4/10) 解 通过对滑轮小车和摆竿的受力分析和推导,且忽略交流电机的动特性并且假设交流电机由u到f的静态增益为1,得到倒立摆系统的动力学描述如下: 其中c是小车与导轨的摩擦系数; f为施加在小车水平方向上的外力; u为作用在驱动电机上的电压,其为控制变量;

J为转动惯量, x为小车的水平位移,由与电机相连的电位计测得; 非线性系统(5/10) J为转动惯量, x为小车的水平位移,由与电机相连的电位计测得; 为小车的水平速度,由与电机 连接的电位计测得的信号经微分而得; 为杆与垂线的夹角,并取顺时针方向为正方向,由安装在小车上并与杆的基座相连的电位计测得; 为杆转动的角速度,由安装在小车上并与杆的基座相连的电位计测得的信号经微分而得。

非线性系统(6/10) 整理上式,得到: 其中

非线性系统(7/10) 对该倒立摆系统,选取状态变量 : 由上式得到该倒立摆系统的状态空间模型为 可以明显的看到，状态方程是非线性化的

由于数学方法的局限以及工程系统实现的困难,在进行系统分析与控制时,复杂的非线性模型将导致难于分析求解及控制。 非线性系统(8/10) 由于数学方法的局限以及工程系统实现的困难,在进行系统分析与控制时,复杂的非线性模型将导致难于分析求解及控制。 因此,常将非线性模型在其平衡点(工作点)附近对其进行Taylor级数展开至一阶线性方程,以获得简化的数学模型,实现系统分析与控制。 这种处理也是工程中的常用方法, 如若摆杆相对于垂直线的角度保持足够小(如),则常有如下线性展开近似

附近,非线性状态方程的近似线性化状态方程为 非线性系统(9/10) 因此,对本例来说,在平衡点 附近,非线性状态方程的近似线性化状态方程为 其中

此例为本征非线性，而课本P28例1.13为本质非线性 非线性系统(10/10) 和相应的输出方程: 至此,得到一级倒立摆系统的状态空间形式的线性化数学模型。 此例为本征非线性，而课本P28例1.13为本质非线性