相似三角形的周长与面积

如图，是一块三角形木板，工人师傅要把它切割成：一块为三角形，另一块为梯形，且要使切割出的三角形与梯形的面积之比为 4：5，那么该怎么切割呢？ A B C

一 温故知新

复习回顾 （1）相似三角形有哪些判定方法？ （2）相似三角形有什么性质？根据是什么？ 相似多边形呢？ 对应角相等， 对应边成比例； 根据 定义，预备定理，(SSS)，(SAS)，(AA)，(HL) （2）相似三角形有什么性质？根据是什么？ 相似多边形呢？ 对应角相等， 对应边成比例； 根据 定义； （3）相似三角形的对应边的比叫什么？ www.czsx.com.cn 相似比 （4） ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似 比为k,则ΔA/B/C/ 与ΔABC的相 似比是多少？

二 探究新知

想一想 三角形中，除了角和边外，还有三种主要线段： 高线，角平分线， 中线 高线 中线 角平分线

思考 相似三角形的相似比与对应边上高线比有什么关系？ ①相似三角形的对应高线之比等于相似比。 例如： ΔABC∽ΔA/B/C/ ，AD BC于 D， A / D / B / C /于D / ， 求证： A B C D A / B / C / D / ①相似三角形的对应高线之比等于相似比。

角平分线 ②相似三角形的 对应角平分线之 比，中线之比， 都等于相似比。 中线

思考 相似三角形周长的比等于相似比。 相似多边形周长的比等于相似比。 如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？ 两个相似多边形呢？ A B C A/ B/ C/ 相似三角形周长的比等于相似比。 相似多边形周长的比等于相似比。

思考？ ①相似三角形面积的比等于相似比的平方. （1）如图ΔABC∽ΔA/B/C/ ，相似比为k，它们的面积比是多少？ A B C D

②相似多边形面积的比等于相似比的平方. （2）如图，四边ABCD相似于四边形A/B/C/ D /，相似比为k，它们的面积比是多少？ A D

相似三角形(多边形)的性质: 中线 （1）相似三角形对应的 比等于相似比. 高线 角平分线 三角形 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形 （1）相似三角形对应的 比等于相似比. 高线 角平分线 三角形 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形 三角形 （3）相似 面积的比等于相似比的平方. 多边形

三 运用新知 www.czsx.com.cn

练习： （1）已知ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似比为2：3， 则周长比为 ，对应边上中线之比 ， 面积之比为 。 则周长比为 ，对应边上中线之比 ， 面积之比为 。 （2）已知ΔABC∽ΔA/B/C/，且面积之比为9：4， 则周长之比为 ，相似比 ，对应边上的 高线之比 。 2：3 2：3 4：9 3： 2 3：2 3：2

例1、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是24，面积是48，求ΔDEF的周长和面积。 www.czsx.com.cn

（×） （√） 基础练习 1、判断题： （1）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍。 （2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边也扩大为原来的9倍。 （×）

2、如图，△ABC∽△A`B`C`，它们的周长分别 为60cm和72cm，且AB=15cm，B`C`=24cm， 求BC、AC、A`B` 、 A`C`的长。 A` B` C` A B C

(1)S △ADE : S △ABC = 1:4 (2)S △ADE: S 梯形DBCE = 1:3 5、如图,在△ABC中,D是AB的中点， DE∥ BC，则: (1)S △ADE : S △ABC = 1:4 (2)S △ADE: S 梯形DBCE = 1:3

* 5、如图,在△ABC中,D、F是AB的三 等分点， DE∥FG ∥ BC，则: (1)S △ADE: S △AFG : S △ABC = 1:4:9 1:3:5 (2)S △ADE: S 梯形DFGE: S 梯形FBCG =

如图，是一块三角形木板，工人师傅要把它切割成：一块为三角形，另一块为梯形，且要使切割出的三角形与梯形的面积之比为 你会解决引入中的问题了吗? 如图，是一块三角形木板，工人师傅要把它切割成：一块为三角形，另一块为梯形，且要使切割出的三角形与梯形的面积之比为 4：5，那么该怎么切割呢？ A B C D E

6、如图，△ABC,DE//BC，且△ADE的面积 等于梯形BCED的面积，则△ADE与△ABC的 相似比是_______

*6、如图，△ABC,DE// FG// BC ，且△ADE的面积,梯形FBCG的面积,梯形DFGE的面积均相等，则△ADE与△ABC的 相似比是_______； △AFG与△ABC的 相似比是_______. B A D E C F G

7、△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积。

8、如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，求△AEF与△CDF周长的比。如果S△AEF=6 cm2,求S△CDF？ www.1230.org 初中数学资源网

四 课堂小结

相似三角形(多边形)的性质: 中线 （1）相似三角形对应的 比等于相似比. 高线 角平分线 三角形 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形 （1）相似三角形对应的 比等于相似比. 高线 角平分线 三角形 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形 三角形 （3）相似 面积的比等于相似比的平方. 多边形

基本图形： 1.等分边长： B A D E C F G 2.等分面积 B A D E C

五 课后拓展

1、如图,在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点。 (1)找出图中的各对相似三角形； (2)各对相似三角形的相似比 分别是多少？面积的比呢？ (3)若S△DOE=1cm2,求S△OBC ,S△OEC 和S△ABC. www.1230.org 初中数学资源网

S ABCD=1，则图中阴影部分的面积为（ ） A、 B、 C、 D、 C 2.如图， ABCD中，E为AD的中点，若 S ABCD=1，则图中阴影部分的面积为（ ） A、 B、 C、 D、 C B A E D C F

3.如图，S□ABCD=2012cm2，点E是平行四边形ABCD 的边AB的延长线上一点，且 ，那么 S△BEF = .

工成正方形零件，使正方形的一边在BC上， 其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方 形零件的边长是多少？ 4、 如图，△ABC是一块锐角三角形余料， 边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加 工成正方形零件，使正方形的一边在BC上， 其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方 形零件的边长是多少？ 解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。 ∵PN∥BC ∴△APN∽ △ABC ∴ A E P N AE AD = PN BC C B Q D M 因此 ，得 x=48（毫米）。答：----。 80–x 80 = x 120

5、如图，矩形FGHN内接于△ABC，FG在BC上，NH分别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交NH于E，AD=8cm,BC=24cm, (1) △ABC∽ △ANH成立吗？试说明理由； (2)设矩形的一边长NF=x,求矩形 FGHN 的面积y与x的关系式。 A B C N H E F D G (３)你能求出矩形FGHN 的面积y的最大 值吗？