§3 向量组的秩

矩阵 系数矩阵 增广矩阵 有限向量组与矩阵一一对应 线性 方程组 有限 向量组 Ax = b 有解 当且仅当 向量 b 可由矩阵 A的列向量组线性表示 课本P. 88定理4： 向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关的充要条件是矩阵 A = (a1, a2, …, am ) 的秩小于向量的个数 m ； 向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关的充要条件是矩阵 A = (a1, a2, …, am ) 的秩等于向量的个数 m ．

n元线性方程组 Ax = b 其中 A 是 n×m 矩阵 矩阵 (A, b) 向量组 A: a1, a2, …,an 及向量 b 是否存在解？ R(A) = R(A, b) 成立？ 向量 b 能否由向量组 A线性表示？ 无解 R(A) < R(A, b) NO 有解 R(A) = R(A, b) YES x 的分量是线性组合的系数 唯一解 = 未知数个数 表达式唯一 无穷解 < 未知数个数 表达式不唯一

回顾：矩阵的秩 定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式． 规定：零矩阵的秩等于零． 定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)． 结论： 矩阵的秩 = 矩阵中最高阶非零子式的阶数 = 矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数

向量组的秩的概念 定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …, ar，满足 向量组 A0 ：a1, a2, …, ar 线性无关； 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有r + 1个向量的话）都线性相关； 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组， 简称最大无关组． 最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩，记作RA ．

例：求矩阵 的秩，并求 A 的一个 最高阶非零子式．

解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵． 行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ． 第二步求 A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行 的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、 二、四列．

R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式 因此这就是 A 的一个最高阶非零子式． 结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩 是唯一的．

事实上， 根据 R(A0) = 3 可知： A0的 3 个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个线性无关的部分组． 在矩阵 A 任取 4 个列向量，根据 R(A) = 3 可知：A中所有4 阶子式都等于零，从而这 4 个列向量所对应的矩阵的秩小于 4，即这 4 个列向量线性相关． A0的 3 个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个最大线性无关组． 矩阵 A 的列向量组的秩等于 3． 同理可证，矩阵 A 的行向量组的秩也等于 3．

矩阵 系数矩阵 增广矩阵 有限向量组与矩阵一一对应 矩阵的秩等于列（行）向量组的秩 线性 方程组 有限 向量组 Ax = b 有解 当且仅当 向量 b 能否由向量组 A 线性表示 一般地， 矩阵的秩等于它的列向量组的秩． 矩阵的秩等于它的行向量组的秩．（P.90 定理6）

一般地， 矩阵的秩等于它的列向量组的秩． 矩阵的秩等于它的行向量组的秩．（P.90 定理6） 今后，向量组 a1, a2, …, am 的秩也记作 R(a1, a2, …, am ) ． 若Dr 是矩阵 A 的一个最高阶非零子式，则Dr 所在的 r 列是 A 的列向量组的一个最大无关组，Dr 所在的 r 行是 A 的行向量组的一个最大无关组． 向量组的最大无关组一般是不唯一的．

例：已知 试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性． 解： 可见 R(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关， 同时， R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关， 从而 a1, a2 是向量组 a1, a2, a3 的一个最大无关组． 事实上， a1, a3 和 a2, a3 也是最大无关组．

最大无关组的等价定义 结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的． 定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …, ar，满足 向量组 A0 ：a1, a2, …, ar 线性无关； 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有 r + 1个向量的话）都线性相关； 向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示； 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组．

矩阵 系数矩阵 增广矩阵 有限向量组与矩阵一一对应 矩阵的秩等于列（行）向量组的秩 线性 方程组 有限 向量组 无限 向量组 Ax = b 有解 当且仅当 向量 b 能否由向量组 A 线性表示 向量组与自己的 最大无关组等价

最大无关组的意义 结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的． 用 A0 来代表 A，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的全体． 凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立即可推广到无限向量组的情形中去．

例： 全体 n 维向量构成的向量组记作 Rn，求 Rn 的一个最大 量组是 Rn 的一个最大无关组，Rn 的秩等于n ． 思考：上三角形矩阵 的列向量组是 Rn 的 一个最大无关组吗？

例：设齐次线性方程组 的通解是 试求全体解向量构成的向量组 S 的秩．

例：求矩阵 的秩，并求 A 的一个 最高阶非零子式． 例：设矩阵 求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无 关组的列向量用最大无关组线性表示．

解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵． 行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ． 第二步求 A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行 的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、 二、四列．

R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式 因此这就是 A 的一个最高阶非零子式． A0的 3 个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组．

思考：如何把 a3, a5 表示成a1, a2, a4 的线性组合？ 思路1：利用P.83 定理1 的结论 思路2：利用矩阵 A 的行最简形矩阵． 向量 b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 令 A0 = (a1, a2, a4) 求解 A0x = a3 A0x = a5

解（续）：为把 a3, a5 表示成a1, a2, a4 的线性组合，把矩阵 A 再变成行最简形矩阵 于是 Ax = 0 与 Bx = 0 ，即 x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 + x5a5 = 0 x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 + x5b5 = 0 同解． 即矩阵 A 的列向量组与矩阵 B 的列向量组有相同的线性关系.

可以看出： b3 = − b1 − b2 b5 = 4b1 + 3b2 − 3b4 所以 a3 = − a1 − a2 a5 = 4a1 + 3a2 − 3a4