线性代数电子课件 西安石油大学理学院 工程数学教研室制作
第八讲 矩阵的运算 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 矩阵的转置 方阵的行列式 小结
一、矩阵的加法 １、定义 设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为
3、某二人甲乙在近两天卖三种蔬菜的销售表（单位：筐） 甲某 萝卜 白菜 土豆 第1天 1 第2天 2 乙某 萝卜 白菜 土豆 第1天 1 第2天 2
甲乙二人两天合计销售量表
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算. 例如
2、 矩阵加法的运算规律
二、数与矩阵相乘 1、定义
甲乙两人计划明后两天销量增加一倍
2、数乘矩阵的运算规律 （设 为 矩阵， 为数） 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.
三、矩阵与矩阵相乘 １、定义 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 并把此乘积记作
甲乙两人前两天销量表 三种蔬菜的每筐价格及重量表 每筐价格（元） 每筐重量( kg) 萝卜 10 20 白菜 5 土豆 30
例１ 例2 设
解 故
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘. 例如 不存在.
２、矩阵乘法的运算规律 （其中 为数）; 若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且
注意 矩阵不满足交换律，即： 例 设 则
但也有例外，比如设 则有
例3 计算下列乘积： 解
解 =( ）
例4 解
由此归纳出
用数学归纳法证明 当 时，显然成立. 假设 时成立，则 时，
所以对于任意的 都有
四、矩阵的其它运算 １、转置矩阵 定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . 例
转置矩阵的运算性质
例5 已知 解法1
解法2
2、方阵的行列式 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或 运算性质
3、对称阵与伴随矩阵 定义 设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为对称阵. 说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.
例6 设列矩阵 满足 证明
例7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵 与反对称阵之和. 证明 所以C为对称矩阵. 所以B为反对称矩阵. 命题得证.
定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 称为矩阵 的伴随矩阵. 性质 则 证明
故 同理可得 4、共轭矩阵 定义 当 为复矩阵时，用 表示 的共轭 复数，记 ， 称为 的共轭矩阵.
运算性质 （设 为复矩阵， 为复数,且运算都是可行的）:
五、小结 加法 数与矩阵相乘 矩阵运算 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 方阵的行列式 对称阵与伴随矩阵 共轭矩阵
注意 （1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能 进行加法运算. （2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律. （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.