第四章 恒定电流的电场和磁场 §4.1  恒定电流的电场 §4.2  恒定电场与静电场的比拟 §4.3  恒定磁场的基本方程 §4.4  恒定磁场的矢量磁位 §4.5  介质中的磁场 §4.6  恒定磁场的边界条件 §4.7  电感的计算 §4.8  恒定磁场的能量和力

恒定电场是电荷量保持恒定的定向运动电荷产生的场。 §4.1 恒定电流的电场 恒定电场是电荷量保持恒定的定向运动电荷产生的场。

恒定电场是电荷量保持恒定的定向运动电荷产生的场。 §4.1 恒定电流的电场 恒定电场是电荷量保持恒定的定向运动电荷产生的场。 A B s 自由电子定向漂移 直流电路中的金属导体 A B V 非等势体 导体静电平衡 E O I 内 等 势 体 + 时间通过截面 t s q 的电量为 电流强度 I q t 恒定电流的电流强度定义为

所以通过导体中任意截面S的电流强度与电流密度矢量的关系是 一、微分形式的欧姆定律和焦耳定律 O j 运动方向的 单位矢量 I 1、电流密度矢量  n 单位矢量 法线的 d s A/m2 I d P 是体传导电流密度 q 如果所取的面积元的法线方向 与电流方向不平行, 而成任意角θ,则通过该面积的电流是 d s 任意面元 d s I 垂直通过的面元 所以通过导体中任意截面S的电流强度与电流密度矢量的关系是

任取一段微流管 J E 2、欧姆定律的微分形式 σ称为导体的电导率 图 4-3 推导欧姆定律微分形式

通有电流I的导体, 若其两端的电压为U, 则单位时间内电场对电荷所作之功, 即功率是 3、 焦耳定律的微分形式 通有电流I的导体, 若其两端的电压为U, 则单位时间内电场对电荷所作之功, 即功率是 图4-3中, 微小圆柱体的体积元为ΔV=ΔSΔl, 它的热损耗功率是 导体中任一点的热功率密度 W/m３ 焦耳定律的微分形式 意义：单位时间内电流在导体任一点的单位体积中所产生的热量

二、恒定电场的基本方程 1、电流连续性方程, 恒定电场的散度

J 法线一致向外 n s 内的电荷 每秒减少量 Q i t 任意封闭曲面 s 二、恒定电场的基本方程 1、电流连续性方程, 恒定电场的散度 电荷守恒原理: 单位时间内由闭合面S 流出的电荷应等于 单位时间内S面内电荷的减少量 n 任意封闭曲面 s 法线一致向外 s 内的电荷 每秒减少量 d Q t i 图 4-4 电流的连续性

在恒定电场中, 导体内部电荷保持恒定, 即不随时间变化,故dQ/dt=0 恒定电流连续性方程的微分形式 如果导体的导电性能均匀, σ是常数 说明：导体内部任一闭合面S内包含的净电荷Q=0。 所以在均匀导体内部虽然有恒定电流, 但没有电荷, 恒定电荷只能分布在导体的表面上。导体内部的恒定电场是由表面上的电荷产生的。 在均匀导体内部

总结：在电源外的导体内, 恒定电场的基本方程为; 2、恒定电场的旋度 在导体内部电荷量保持恒定, 电场分布也为恒定 说明：此特性只在电源外的导体中满足。在电源内部, 不仅有电荷产生的电场, 还有其它局外电场, 因此不满足守恒定理。 总结：在电源外的导体内, 恒定电场的基本方程为; 微分形式 积分形式 媒质特性, 即欧姆定律的微分形式为

在载有恒定电流的均匀导体内部(即σ为常数), 可得 电位函数也满足拉普拉斯方程 在载有恒定电流的均匀导体内部(即σ为常数), 可得 三、恒定电场的边界条件 1. 两种导电媒质的边界 h 由 图 4-5 恒定电场不同媒质分界面

在交界面上取一扁矩形闭合路径 说明：分界面上电场强度的切向分量连续。 h 表明分界面上电流线和电力线发生曲折。

当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密度和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布。如两种金属媒质(通常认为金属的介电常数为ε0)的分界面上, 根据D1n-D2n=ρs, 则得  ρs是分界面上自由电荷面密度 (4-26) 可见, 只要σ1≠σ2, 分界面上必定有一层自由电荷密度。如果导电媒质不均匀, 即使在同一媒质中也会有体电荷的积聚。

2. 两种导电媒质的电导率σ1<<σ2 2. 两种导电媒质的电导率σ1<<σ2 当一种导电媒质为不良导体(σ1≠0, 但很小), 另一种导电媒质为良导体(σ2很大), 如同轴线的内外导体通常由电导率很高(107数量级)的铜或铝制成, 而填充在两导体间的材料不可能是理想的绝缘电介质, 总有很小的漏电导存在。例如, 聚乙烯的电导率为10-10数量级, 由式(4-26)得 说明：恒定电流由良导体穿过交界面进入不良导体时，电流线近似于良导体垂直

3. 第一种媒质为理想介质, 第二种媒质为导体 导体： 理想介质： 说明：E1不垂直导体表面, 那么导体表面不是等位面, 导体也不是等位体, 这是由于σ2有限, 导体中沿电流方向存在电场。 而在静电场中, 导体内电场强度为零, 介质中的场强总是垂直导体表面, 导体是等位体, 其表面是等位面。这一点, 恒定电场与静电场有根本的区别。然而σ2越大, E2t和E1t越小, θ1也越小, 直至σ2=∞时, E1就垂直导体表面, 导体表面为等位面。

§4.2 恒定电场与静电场的比拟 表 4-2 恒定电场与静电场比较

例如两导体电极间的电容为 (F) 两导体电极间的电导为 (S) 且

§4.3 恒定磁场的基本方程 一、真空中恒定磁场的旋度, 安培环路定律 1、安培环路定律 恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分等于路径 L 包围的电流强度的代数和的 倍。

如果电流流过闭合路径所包围的面 体电流面密度 二、磁场的散度, 磁通连续性原理

§4.4 恒定磁场的矢量磁位 一、矢量磁位 1、矢量磁位定义 毕奥—萨伐定理 称作为矢量磁位(或称磁矢位)

恒定电流分布在有限空间的条件下, 的散度是零 如果电流分布在表面S上, 则 如果电流分布在细导线回路中, 则得 2、矢量磁位性质 （1） 恒定电流分布在有限空间的条件下, 的散度是零

（2） 磁通量Ψ的单位是Wb, A的单位是Wb/m 3、磁偶极子 磁矩

§4.5 介质中的磁场 一、介质与磁场的相互影响 1.介质的磁化 介质中的分子 电流的磁矩在 外磁场的作用 下要取向排列 称为介质的磁化

§4.5 介质中的磁场 一、介质与磁场的相互影响 1.介质的磁化 介质中的分子 电流的磁矩在 外磁场的作用 下要取向排列 称为介质的磁化 §4.5 介质中的磁场 一、介质与磁场的相互影响 1.介质的磁化 介质中的分子 电流的磁矩在 外磁场的作用 下要取向排列 称为介质的磁化 顺磁介质的磁化现象

e 结论： 介质中的磁场=传导电流产生的外磁场+所有分子电流产生的磁场 2.磁化强度 磁化强度的定义：单位体积内，所有磁矩的矢量和。 是一个分子电流的磁矩

dv ′内分子电流在任一点处产生的磁矢位是 dv′ P(x,y,z) V′ 计算磁化物质的磁场 因此, 体积V ′内所有磁偶极子在其外部任一P点产生的磁矢位是 (4-52)

利用矢量恒等式： 和 式(4-52)可变为：

磁介质被磁化后，磁介质中出现束缚电流。 束缚电流体密度： 束缚电流面密度：

磁介质被磁化后，磁介质中出现束缚电流。 束缚电流体密度： 束缚电流面密度：

二、介质中的安培环路定律, 磁场强度 真空中： 磁介质中：

二、介质中的安培环路定律, 磁场强度 真空中： 磁介质中： 结论： 磁介质中的磁场应由传导电流和束缚电流共同产生

已知： 或 (A/m) 记 称 为磁场强度 结论：磁介质中安培环路定律的微分形式

由斯托克斯公式 结论：介质中安培环路定律的积分形式 物理意义：磁场强度 沿任意闭合路径的线积分等于 闭合路径所包围的传导电流的代数和, 与l的环绕方向 成右手螺旋关系的电流取正值, 反之取负值。

三、 和 的关系, 磁导率 磁介质可分为：抗磁介质、顺磁介质、铁磁介质 实验证明： :介质的磁化率 磁介质中的磁场强度： 令： 三、 和 的关系, 磁导率 磁介质可分为：抗磁介质、顺磁介质、铁磁介质 实验证明： :介质的磁化率 磁介质中的磁场强度： 令： 磁介质的物态方程 可得： 其中 称为相对磁导率。 材料的磁导率表示为：

抗磁质：其磁化率 为负，其相对磁导率略小于1，即 且 如金、银和铜等属于抗磁质 顺磁质：磁化率 为正，相对磁导率略大于1，即 且 如镁、锂和钨等属于顺磁质 铁磁质：其磁化率非常大，其相对磁导率远大于1，即 如铁、镍和钴等属于铁磁质

表4-3 几种材料在常温下的相对磁导率 材料性质 材料名称 抗磁物质 顺磁物质 高导磁物质 铅 铜 水 真空 1-1.78×10-5 1-0.94×10-5 1-0.88×10-5 1 顺磁物质 空气 铝 铂 液态氧 1+3.60×10-7 1+2.10×10-5 1+2.90×10-4 1+3.50×10-3 高导磁物质 纯铁（99.95%） 78坡莫合金 铁（99.91%） 冷轧钢（98.5%） +180000 +100000 +5000 +2000

磁介质中的安培环路定理 电介质中的高斯定理

四、标量磁位 在没有传导电流的区域中, 的旋度等于零, 在这种无传导电流的区域中： φm称为磁场的标量位, 简称标量磁位或磁标位 其中： 在没有传导电流的区域中, 的旋度等于零, 在这种无传导电流的区域中： φm称为磁场的标量位, 简称标量磁位或磁标位 负号是为了与静电场相对应而人为地引入的 其中： 在均匀介质中, 根据 , ,及 结论：

例 4.11 一半径为a(m)的圆形截面的无限长直铜线, 通过电流为I(A), 在铜线外套一个与之同轴的磁性材料制成的圆筒, 圆筒内、 外半径分别为c(m)和b(m), 相对磁导率 =2000。 试求: (1)圆筒内的磁场强度 和磁通密度; (2)通过圆筒中每单位长度 的总磁通量; 磁性介质 铜线 空气 I (3)圆筒中的磁化强度 ; b a (4)圆筒中的束缚电流密度; (5)圆筒壁外的磁场。 c 外套磁性材料的铜线

［解］ (1) 应用安培环路定律: ρ a l c 在磁性圆筒横截面上取一 半径为ρ的圆作为闭合路径l, 则 b

(2) 1 I b a c (3)

(4) 材料中束缚体电流密度:

(4) 材料中束缚体电流密度: 内外表面的束缚面电流密度是:

(5) 当ρ≤a时, a b c ρ a b c ρ 当a≤ρ≤c时,

当b ≤ρ 时, a b c ρ 解法1： 解法2: 磁性圆筒产生的磁场等效为 在真空中束缚电流产生的磁场。

磁性圆筒内的磁场就需要考虑筒内壁的束缚电流 说明： ρ＞b处的磁场和没有圆筒时的场相同, 这是由于磁性圆筒内、外表面束缚电流相互抵消的缘故 磁性圆筒内的磁场就需要考虑筒内壁的束缚电流

§4.6 恒定磁场的边界条件 一、 和 的边界条件 决定分界面两侧磁场变化 关系的方程称为边界条件 或 §4.6 恒定磁场的边界条件 一、 和 的边界条件 h 决定分界面两侧磁场变化 关系的方程称为边界条件 或 结论：在分界面上磁感应强度 的法向分量总是连续的 结论：分界面上磁场强度H的法向分量不连续。

h 若 则 结论： 在顺磁或抗磁介质分界面上，磁场方向改变很小 在铁磁介质与非铁磁介质界面上，非铁磁介质一侧的 都几乎与分界面垂直。 若：

二、 和φm的边界条件 在边界上：由 结论： 在分界面上切向分量连续。 在没有传导电流的分界面上  由

例 4.12 设无限长同轴线内导体半径是a(m), 外导体内半径是b(m), 外导体厚度忽略不计, 内外导体间填充磁导率为μ的均匀磁介质(μ＞μ0), 内外导体分别通有大小相等、方向相反的电流I, 见图4-21, 试用矢量磁位计算各区域的磁场。 ［解］ 1.同轴线无限长, 故磁场分布沿长度方向没有变化。 2.又为圆截面、材料均匀, 故磁场是轴对称场。 3.磁场分布仅是半径ρ的函数。采用圆柱坐标, 取内导体电流为 方向, 外导体电流为 方 向, 则矢量磁位 只有 方向的分量, 和 只有φ方向的分量, 并是以轴心为圆心的同圆。

a b ρ ρ o a b o a b 内导体中(ρ≤a), 满足泊松方程, 内外导体间 满足拉普拉斯方程。 图 4-21 同轴线及其磁场分布 的分布 o a b 的分布

根据式 得一维磁矢位方程 （4-75） （4-76） 方程（4-75）的解是

方程（4-76）的解是 根据边界条件确定常数： 因为 时，场量必须为有限值，故C1=0

因为 有限，导体表面无传导电流， 在 处得 最终得到内导体内部（ 处）： 内、外导体间 根据式（4-74），在 处

选择 处为参考, 得 故

§4.7 电 感 的 计 算 一、自感 1.自感现象 当线圈中电流变化时，它所激发的磁场通过线圈自身的磁通量也在变化，使线圈自身产生感应电动势的现象叫自感现象。该电动势称为自感电动势。

2.自感的定义 在线性媒质中，线圈的自感定义 为自感磁链与其激磁电流I之比， （亨利） 注意：L取决于线圈几何形状、 亨 利 尺寸以及媒质磁导率。 亨 利 L就是自感或自感系数 也称为自感磁链 该密绕线圈的全磁通为 N匝密绕线圈 Ψ称磁通匝链数, 或简称为磁链。

说明：当载流导体截面较大时，通常又将自感磁链分为内磁链i和外磁链o两部分之和。如图所示，闭合管a的磁通与载流导体电流I完全交链，构成外磁链o的一部分；而闭合管b则仅与载流导体的部分电流I交链，构成内磁通i。对于这种部分交链的情况，其匝数以载流I为基数，以I应计为分数，其匝比为I/I。于是，内磁链为 b a 内、外磁链区分的示意图 自感L为内自感Li与外自感Lo之和

如图，一圆柱形导体，半径为a,均匀通过电流I 则：穿过宽度为 ，沿轴向长度为1的矩形面积元的磁通是： I (1)内自感 a 如图，一圆柱形导体，半径为a,均匀通过电流I 则：穿过宽度为 ，沿轴向长度为1的矩形面积元的磁通是： I 1 其中ρ2/a2相当 所交链的匝数N, 故N=ρ2/a2。 显然在ρ=a处, 因为导体表面附近的磁感应线交链着全部电流I, 则N=1匝。 图 4-23 圆柱导体内的磁链

计算单匝线圈导线回路的内自感时, 通常回路尺寸比导线截面积尺寸大得多, 则导线内部的磁场可近似地认为与无限长直导线内部的磁场相同。设导线的半径为a, 磁导率为μ0, 则由例4.12应用安培环路定律算得导线内距轴线ρ处的磁通密度是 导线内部磁力线是以轴线为中心的同心圆, 在导线长度为l范围内,穿过ρ处厚度为dρ的矩形截面的磁通为(见图4-25)dψi=Bds=Bldρ, 由公式(4-78)得

故总磁链为 因而一段长度为l的圆柱形导体的内自感是 单位长度的内自感为 它与导体半径无关。

例 4.13 如图4-26所示的矩形截面环形螺线管共有N匝线圈, 绕在相对磁导率为μr的磁介质上, 线圈中通有电流I(A), 磁介质的截面尺寸如图4-26所示, 试求外自感。 ［解］ 所以 图 4-26 计算环形螺线管的自感

通过螺环一匝线圈的磁通量是 则穿过整个螺线管的磁链是 该环形螺线管的外自感是

二、互感 由一个回路中电流变化而在另一个回路中产生感应电动势的现象，叫做互感现象 这种感应电动势叫做互感电动势

二、互感 由一个回路中电流变化而在另一个回路中产生感应电动势的现象，叫做互感现象 这种感应电动势叫做互感电动势

回路 1 对回路 2 的互感 (或称互感系数) 第 2 回路对第 1 回路的 互感应为

回路 1 对回路 2 的互感 (或称互感系数) 第 2 回路对第 1 回路的 互感应为 图 4-28 两回路间的互感

根据定义, 计算互感系数M21可首先计算回路电流I1与第2回路相交链的磁链 则 同样可求得回路 2 对回路 1 的互感系数

［解］ 根据式(4-83), 假设细长直导线中通有电流I(A) 。先计算穿过三角形导线框中的磁通, 已由安培环路定律求得 例4.15 设一根无限长细直导线与一个直角三角形的导线框在同一平面内, 一边相互平行, 如图4-29 所示。 试计算直导线与三角形导线间的互感。 ［解］ 根据式(4-83), 假设细长直导线中通有电流I(A) 。先计算穿过三角形导线框中的磁通, 已由安培环路定律求得 则穿过三角形框的磁通是 式中 图 4-29 互感的计算

故细直导线与三角形导线间的互感是

§4.8 恒定磁场的能量和力 一、恒定磁场的能量 各外电源所作的功应等于恒定磁场的能量 能量守恒定律 §4.8 恒定磁场的能量和力 一、恒定磁场的能量 t=0时刻，两回路中均没有电流，随时间的增加，外电源做功 和 逐渐增加到最后的恒定电流值 和 ，同时，空间中的磁场也由零逐渐增加到最后的恒定值。 图 4-30 i2=0, 使i1→I1时, 外电源作的功 各外电源所作的功应等于恒定磁场的能量 能量守恒定律

分析：假设恒定磁场储能过程分两步完成： 首先保持 ，使 从零增加到 让 保持不变，使 从零增加到 1、首先保持 ，使 从零增加到 由 首先保持 ，使 从零增加到 让 保持不变，使 从零增加到 1、首先保持 ，使 从零增加到 使 从零增加到 ，外电源作的功： 由 ，外加电压不作功

2、让 保持不变，使 从零增加到 图 4-31 I1恒定, 使i2→I2时外电源作的功 让 保持不变，使 从零增加到 外电源所作的功为:

结论：磁场储能为 (4-91)

如果空间有N个电流回路, 则系统的磁场能量可由式(4-91)推广得到 二、能量密度

在各向同性、 线性媒质中为

三、磁场力, 霍尔效应 1、霍尔效应 运动的电荷（或电流） 在磁场中会受到作用力 1879年 霍尔发现在一个通有电流的导体板上，若垂直于板面施加一磁场，则板面两侧会出现微弱电势差(霍尔效应)

三、磁场力, 霍尔效应 1、霍尔效应 运动的电荷（或电流） 在磁场中会受到作用力 1879年 霍尔发现在一个通有电流的导体板上，若垂直于板面施加一磁场，则板面两侧会出现微弱电势差(霍尔效应)

实验结果: d 受力分析: b 洛伦兹力: – I l a + 横向电场力: 当达到动态平衡时： (方向向下) a + 横向电场力: (方向向上) 当达到动态平衡时： 根据霍尔效应制成的器件可以测量磁场强度，测量两个物体之间的距离等

由n个载流回路组成的系统，假定坐标x发生虚位移dx。 2、虚位移法计算磁场力： 虚位移法 由n个载流回路组成的系统，假定坐标x发生虚位移dx。 原理：外力做功=磁场力做功+磁场能量的变化 电源提供的能量 磁场力所作的功 磁场能量的增量 磁通量保持不变, 即电源不供给产生磁场系统的能量 当磁链不变时，各个回路中的感应电势为零，所以 磁场不作功。磁场力作的功必来自磁场能量的减少。

上式表明磁场力所做的功等于磁场能量的减少。 作用在载流导体上的磁场力在x方向的分量表示式是 上式表明磁场力所做的功等于磁场能量的减少。 (2)电流保持不变, 即电源供给系统能量 当各个回路的电流不变时，各回路的磁链要发生变化，在各回路中会产生感应电势，电源要作功。 这时, 磁场力所做的功等于磁场能量的增加, 而该二者都是由电源提供的。

例 4.17 两根半径为a, 距离为d的无限长平行细导线, a<<d, 通有大小相等、方向相反的电流I, 如图4-34所示。试求二导线的相互作用力。 ［解］ 穿过单位长度双导线构成平面的磁通量: 两导线间磁场作用力是 图 4-34 双导线的作用力

例 4.19 设一无限长直细导线与一矩形回路共面, 其尺寸及电流方向如图4-36所示, 其中电流单位为A, D、b、a单位均为m。 试计算直导线和矩形回路之间的力。 2 1 3 所以磁场对矩形回路的作用力是 此力为x向, 即使矩形回路离开 长直导线的方向上。 4

本节小结 自感： 互感： 磁场储能： 能量密度： 霍尔效应 虚位移法