静定结构位移计算 ——互等定理 主讲教师：戴萍
第五章 位移计算 主要内容 主要内容 刚体虚功原理 变形体虚功原理、结构位移计算一般公式 结构位移计算一般公式应用 图乘法 应用 互等定理
线性变形体系的互等定理 在超静定结构的内力分析中，常常用到弹性体系的四个互等定理，即功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理和反力与位移互等定理。其中最基本的是功的互等定理，另外三个定理则可由功的互等定理推导而得。 弹性体系 功的互等定理 位移互等定理 反力互等定理 反力与位移互等定理 推导
1）功的互等定理 设有两组外力FP1和FP2分别作用于同一线弹性结构上，如图所示，（a）、（b）分别称为结构的第一状态和第二状态。 1 2 Δ12 （b）状态Ⅱ Δ22 FP2 FP1 1 2 Δ11 （a）状态Ⅰ Δ21
这两组力按不同次序先后作用于同一结构上时所作的总功分别为： 在结构上先加 FP1后再加FP2 ， 结构变形情况如图（c）所示， 则外力所做总功为： Δ11 Δ21 Δ12 FP1 FP2 （c）先加FP1后加FP2
这两组力按不同次序先后作用于同一结构上时所作的总功分别为： 在结构上先加 FP2后再加FP1 ， 结构变形情况如图（d）所示， 则外力所做总功为： （d）先加FP2后加FP1 Δ22 Δ21 Δ11 FP1 FP2
在上述两种加载过程中，外力作用的先后次序虽然不同，但是最后的荷载和变形情况是一样的。因此，两种加载情况所做的总功应该相等，即外力所做总功与加载次序无关，故： 将两式代入上式得： 由此可得：
1）功的互等定理 功的互等定理： 第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二 状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。
2）位移互等定理 FP1=1 1 2 （a）状态Ⅰ 令功的互等定理中：FP1 = FP2 =1 则由功的互等定理可得： 1 2 （b）状态Ⅱ 由此可得： 9
2）位移互等定理 位移互等定理： 由第一个单位力引起的在第二个单位力处的位移，等于由第二 个单位力引起的在第一个单位力处的位移。
注意 在位移互等定理中，荷载可以是广义荷载（单位力矩、单位集中力），而位移则是相应的广义位移（角位移、线位移）。在一般情况下，定理中的两个广义位移的量纲可能是不相等的，但单位荷载作用下引起的位移在数值上是保持相等的。因此，位移互等定理应该是单位荷载作用下引起的位移的互等定理。
3）反力互等定理 反力互等定理，也是功的互等定理的一个特例。 2 1 r11 r21 Δ1=1 （a） Δ2=1 （b） 图（b）为支座2发生单位位移Δ2＝1时， 使支座1处所产生的反力r12， 支座2处所产生的反力r22。 以上反力的第一个下标表示它所在的位置，第二个下标表示它产生的原因。 12
3）反力互等定理 对上述两种状态应用功的互等定理，则得： 由此可得： 反力互等定理： 支座2的单位位移所引起的支座1的反力r12，等于由于支座1的单位位移所引起的支座2的反力r21 。
注意 该定理对结构上任何两支座都适用，但应注意同一支座的反力 和位移在作功的关系上应相对应，即力对应线位移；力偶对应角位移。 两者的乘积应具有功的量纲。
即反力偶r12等于竖向反力r21（数值上相等，量纲不同）。 例如图示超静定梁的“1”与“2”点： 1 2 r21 第一状态 1 2 r12 Δ2=1 第二状态 如上图所示，由反力互等定理可知： 即反力偶r12等于竖向反力r21（数值上相等，量纲不同）。 15
4） 反力位移互等定理 反力与位移之间也有互等定理，这是功的互等定理的一种特殊情况。 右图（a）所示， 设在截面2处作用一单位力时， 支座1处的反力矩为r12并设其指向如图（a）所示。 1 r12 2 （a）第一状态 FP2=1 右图（b）所示， 在支座1处沿的顺时针方向发生一单位转角时， 截面2处沿作用方向的位移为δ21。 1 θ1=1 2 δ21 （b）第二状态 16
4） 反力位移互等定理 对上述两种状态应用功的互等定理，得： 由此可得： 反力位移互等定理： 反力位移互等定理： 在单位荷载作用下，在结构中某一支座中所产生的反力，在数值上等于该支座发生与反力方向相一致的单位位移时在单位荷载作用处所引起的位移，但符号相反。
4） 反力位移互等定理 位移互等定理将在后面的力法中用到，反力互等定理将在后面的位移法中用到，反力位移互等定理应该在力法和位移法的联合运用中用到。
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