全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用. P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥 乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0

B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生， P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B) 例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率. 解：记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 1 2 3 运用加法公式得 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生， 即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B两两互斥 P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)

P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B) 对求和中的每一项 运用乘法公式得 代入数据计算得：P(B)=8/15 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.

全概率公式: 　 设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且P(Ai)>0， i =1,2,…,n, 另有一事件B, 它总是与A1, A2, … ,An之一同时发生，即 ， 则

在一些教科书中，常将全概率公式叙述为： 全概率公式: 则对任一事件B，有 称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组. 　 设S为随机试验的样本空间，A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i =1,2,…,n, 则对任一事件B，有 称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组.

“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和. 全概率公式的来由, 不难由上式看出: “全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和. 它的理论和实用意义在于: 在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.

我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式. 某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是 P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai) 每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.

P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3) 例 2 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7 .飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率. 设B={飞机被击落} Ai={飞机被i人击中}, i=1,2,3 求解如下: 依题意， P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1 则 B=A1B+A2B+A3B 由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)

为求P(Ai ) , 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3 可求得: 将数据代入计算得: P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14.

于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3) =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458 即飞机被击落的概率为0.458.

稍事休息

实际中还有下面一类问题，是 “已知结果求原因” 1 2 3 或者问: 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率. 1 2 3 1红4白 或者问: 该球取自哪号箱的可能性最大? 这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.

接下来我们介绍为解决这类问题而引出的 贝叶斯公式

有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 . ? 1红4白 2 3 1

一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率. 2 3 1红4白 ? 某人从任一箱中任意摸出 一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率. 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 求P(A1|B). 运用全概率公式 计算P(B) 将这里得到的公式一般化，就得到 贝叶斯公式

该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率. 贝叶斯公式： 　 设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n, 另有一事件B，它总是与A1,A2,…,An 之一同时发生，则 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.

贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因.

例 3 某一地区患有癌症的人占0. 005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0. 95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0 例 3 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大? 求解如下: 设 C={抽查的人患有癌症}， A={试验结果是阳性}， 则 表示“抽查的人不患癌症”. 已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04 求P(C|A).

由贝叶斯公式，可得 代入数据计算得: P(C｜A)= 0.1066 现在来分析一下结果的意义. 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？ 2. 检出阳性是否一定患有癌症?

1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？ 如果不做试验, 抽查一人, 他是患者的概率 P(C)=0.005 患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(C｜A)= 0.1066 从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍. 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.

2. 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(C｜A)=0.1066 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.

下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式

当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计. 贝叶斯公式 在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为 原因的验前概率和验后概率. 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。 P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识. 当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.

的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为 例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有 甲、乙、丙三人. 甲 丙 乙 在不了解案情细节(事件B) 之前，侦破人员根据过去 的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为 偏小 P(A1) P(A2) P(A3) 知道B 发生后 但在知道案情细 节后, 这个估计 就有了变化. P(A1 | B) P(A2 | B) P(A3 | B) 最大 比如原来认为作案可能性较小的某甲， 现在变成了重点嫌疑犯.

请思考下面的一个实际中的问题： 1981年3月30日，一个大学退学学生Hinckley企图对里根总统行刺．他打伤了里根，里根的新闻秘书，以及两个保安人员．在1982年审判他时，Hinckley以精神病为理由作为他无罪的辩护．在18个医师中作证的那位医师是Daniel R．Weinberger．他告诉法院当被诊断为精神分裂症的人给以CAT扫描(计算机辅助层析扫描)时，扫描显示30％的案例为脑萎缩，而只有2％正常人的扫描显示脑萎缩．

Hinckley的辩护律师试图拿Hinckley的CAT扫描作为证据．辩护人争辩说因为Hinckley的扫描展示了脑萎缩，因而他患有精神病的可能性更大些． 在美国精神分裂症的发病率大约为1.5％． 请对Hinckley是否患有精神病作出你的判断.

它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们. 这一讲我们介绍了 全概率公式 贝叶斯公式 它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们. 值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”. 可见贝叶斯公式的影响 .