第三节 逆矩阵 一、逆矩阵定义 二、逆矩阵的性质 三、伴随矩阵求逆 四、小结与思考 2019/5/9
一、逆矩阵定义（方阵） 定义 若方阵A、B满足等式AB=BA=I则称矩阵 2019/5/9 一、逆矩阵定义（方阵） 定义 若方阵A、B满足等式AB=BA=I则称矩阵 A（或B)可逆，并称B是A（或A是B ）的逆矩阵，记为A-1 =B（或B-1=A）,显然 A-1A=AA-1 =I。 2019/5/9
（3）A、B的地位对等，即A、B互为逆矩阵。 注意 （1）A、B、I必为同阶方阵； （2）不是方阵必不可逆； （3）A、B的地位对等，即A、B互为逆矩阵。 2019/5/9
2019/5/9 例 设 则 因此，不能断定 是否可逆。 2019/5/9
2019/5/9 例 设 则 故 可逆 2019/5/9
例 单位阵可逆，且 例 零矩阵不可逆 2019/5/9
二、逆矩阵的性质（用定义证明） 性质1 若A可逆，则A的逆阵惟一。 性质2 若A可逆，则A的逆阵也可逆。 且 2019/5/9 二、逆矩阵的性质（用定义证明） 性质1 若A可逆，则A的逆阵惟一。 性质2 若A可逆，则A的逆阵也可逆。 且 性质3 若A可逆，则A的转置也可逆。 且 2019/5/9
2019/5/9 性质4 若方阵A、B可逆，则AB也可逆。 且 性质4可推广（类似矩阵转置） 2019/5/9
性质5 若A可逆，则 性质6 若A可逆，则kA也可逆，且 注意 可逆阵的乘积、数量乘积都可逆； 但可逆阵的和差不一定可逆，即使可逆。 一般地 2019/5/9 性质5 若A可逆，则 性质6 若A可逆，则kA也可逆，且 注意 可逆阵的乘积、数量乘积都可逆； 但可逆阵的和差不一定可逆，即使可逆。 一般地 2019/5/9
2019/5/9 定理2.2 若AB=AC，且A可逆，则B=C。 满足消去律的条件 2019/5/9
2019/5/9 三、伴随矩阵求逆法 引例 2019/5/9
由矩阵乘法和相等定义，可得三个线性方程组 2019/5/9 解 设有方阵 使得 即 由矩阵乘法和相等定义，可得三个线性方程组 2019/5/9
2019/5/9 2019/5/9
2019/5/9 方程组（1）（2）（3）的系数行列式均为 2019/5/9
2019/5/9 由克莱姆法则，得第一个方程组的解 2019/5/9
2019/5/9 其中 为行列式 中，第一行各元 素的代数余子式。 2019/5/9
同理，第二个方程组的解为 同理，第三个方程组的解为 其中 分别为行列式 中， 第二三行各元素的代数余子式。 2019/5/9
2019/5/9 故得 2019/5/9
2019/5/9
2019/5/9 定义2.12——伴随矩阵 2019/5/9
2019/5/9 定理2.3 定理2.3——推论 其中 2019/5/9
2019/5/9 证明 2019/5/9
2019/5/9 2019/5/9
定理2.4 A可逆 . A不可逆 . 定理2.5 定义2.13 若 ,称A为非奇异矩阵（非退化）. 若 ,称A为奇异矩阵（退化）. 2019/5/9 定理2.4 A可逆 . 定理2.5 A不可逆 . 定义2.13 若 ,称A为非奇异矩阵（非退化）. 若 ,称A为奇异矩阵（退化）. 2019/5/9
例 判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。 2019/5/9 例 判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。 2019/5/9
解 （1）A不是方阵，故A不可逆。 2019/5/9 2019/5/9 go 14内容为： 1。三元线性方程组消元解法； 2。三元线性方程组的行列式简洁表达形式。 2019/5/9
2019/5/9 2019/5/9
2019/5/9 求 例 设 解 当 时,A不可逆. 当 时,A可逆.且 2019/5/9
2019/5/9 注意 此结论对一般的对角阵均成立。 2019/5/9
例 已知XA=B,求X,其中 解 故A可逆,且 从而 2019/5/9
若A、B为n阶方阵，AB=I，则A、B均可逆。且 2019/5/9 定理2.6 若A、B为n阶方阵，AB=I，则A、B均可逆。且 证明 2019/5/9
注意 伴随矩阵求逆法的计算量大， 适用于求较低阶矩阵的逆以及理论证明； 后面还要介绍矩阵的初等变换求逆法。 2019/5/9
注意：凡是涉及伴随矩阵的问题均应该考虑公式 的使用。 有关伴随矩阵的一些结论：（不要背） 注意：凡是涉及伴随矩阵的问题均应该考虑公式 的使用。 2019/5/9
四、小结与思考 逆矩阵的概念及运算性质. 逆矩阵 存在 逆矩阵的计算方法 2019/5/9
思考题 2019/5/9
思考题解答 答 2019/5/9