函数的连续性
在现实生活中有许多量都是连续变化的,例如气温的变化,植物的生长,金属丝加热时长度的变化等；还有一些量的变化是间断的或跳跃的，例如邮寄信件的邮费随邮件质量的增加而作阶梯式的增加等，这些现象反映在数学上就是函数的连续性问题.高等数学不仅关心变量的变化趋势，同时还关注变量的变化方式。
案例 电流的连续性 如导线中电流通常是连续变化的，但当电流 增加到一定的程度，会烧断保险丝，电流就 突然为0，这时连续性被破坏而出现间断。
案例 矩形波的连续性 无线电技术中会遇到如图所示的 电压波形（矩形波），显然电压在 -2l , -l , 0 , l , 2l 等处发生间断。
从函数图形上看，有呈现出“连绵不断”的样子，有跳跃式的等等。 函数的连续性，从直观上看似乎很清楚，但要给出科学的定义，必须从直观性到定量化，抓住事物连续性在数量上的本质特点。
}Δy 一. 函数连续性的定义 }Δy ° 图1中的函数曲线 (连续)而不间断. 即 而图2中的函数曲线却间断. 即 o 图1 o 图2 y y=ƒ(x) }Δy Δx o x 图1 而图2中的函数曲线却间断. 即 y y=ƒ(x) }Δy ° Δx o x 图2
}Δy 定义1 设函数ƒ(x)在 x0的某邻域内有定义,在 x0 处给 x一个增量Δ x, o x
从而有函数在一点连续的等价定义 定义2 设函数ƒ(x)在 x0 的某邻域内有定义, 若 则称函数ƒ(x)在 x0 处连续. 称 x0为连续点. 函数f (x)在点x0连续，必须满足下列三个条件： （1）函数f (x)在点x0处有定义； （2） 存在； （3）
例1 【出租车费】 设某城市出租车白天的收费y(单位:元) 与路程x（单位:km）之间的关系为： 在x=7处是连续的吗？ 问：
解 因为 =13.4 =13.4 所以 =13.4 在x=7处是连续的.
例2【冰融化所需要的热量】 设1g冰从-40oC升到 xoC所需要的热量 （单位：J（焦尔））为： 试问当 时，函数是否连续？
解 所以，函数 f(x) 在 x=0 处不连续。 这说明冰化成水时需要的热量会突然增加．
例3 【停车场收费】 一个停车场第一个小时（或不到一小时）收费3元，以后每小时（或不到整时）收费2元，每天最多收费10元．讨论此函数在th时的连续性以及此函数的间断点，并说明其实际意义．
解： 设停车场第t小时的收费为y
因为 所以 不存在，函数在t=2处不连续。 此函数在t=1，2，3，4处间断。 由于超过整时后，收费价格会突然增加，因此，在停车时，为节省费用，应尽量控制在整时之内。由于一天的停车费最高价格不超过10元，因此，超过3小时后，可以不急于取车。
二 初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内是连续的；一切初等函数在其定义区间内都是连续的。 二 初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内是连续的；一切初等函数在其定义区间内都是连续的。 由此可得，初等函数在其定义区间内某点处的极限值等于 该点处的函数值。 如
三 闭区间上连续函数的性质： o x2 x1 b a x y 从几何直观上看，闭区间[a，b]上的一条连续曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。如上图： 对于任意 ，这时我们说闭区间[a，b]上的连续函数f（x）在点x1处有最大值f（x1），在点x2处有最小值f（x2）。
如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f（x）在闭区间[a，b]上有最大值和最小值。 o x2 x1 b a x y 性质 最大值最小值定理： 如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f（x）在闭区间[a，b]上有最大值和最小值。