第四章 实数的完备性 4.1 关于实数完备性的基本定理
一 区间套定理 { } { } . b a £ L 定义 注意: , ) ( lim = - a b 2 一 区间套定理 定义 { } : ] , [ 具有如下性质 设闭区间列 n b a ; , 2 1 ], [ ] ) ( L = É + n b a , ) ( lim = - ¥ ® n a b 2 { } . , ] [ 简称区间套 为闭区间套 则称 n b a 定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即闭区间的端点满足不等式: 注意: . 1 2 b a n £ L
{ } { } { } 定理的证明 ， a 为递增有界数列 由区间套定义知 ， a x 有极限 依单调有界定理 . , 2 1 L = £ n 为递增有界数列 由区间套定义知 { } ， a n x 有极限 依单调有界定理 . , 2 1 L = £ ，n a n x 且有 { } 有 并按区间套的条件 也有极限 递减有界数列 同理 ) ( 2 ， b n , lim x = ¥ ® n a b . , 2 1 L = ³ ，n b n x 且 . , 2 1 L = £ ，n b a n x 从而有 . 是唯一的 的 下面证明满足题设条件 x , 2 1 ' L = £ n b a x 也满足 设
推论 注意: 证毕. . , 2 1 L = - £ n a b x 则 得 由区间套定义 ) ( ii , ) ( lim = - £ a ' L = - £ n a b x 则 得 由区间套定义 ) ( ii , ) ( lim ' = - £ ¥ ® n a b x 则 . ' x = 故有 证毕. 推论 注意: 区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立.
二 聚点定理 定义 注意: 聚点概念和下面两个定义等价: 对于点集 , 若点 的任何 邻域都含有 中异于 若存在各项互异的收敛数 ,则其极限 二 聚点定理 定义 设 为数轴上的点集, 为定点,(它可以属于 ,也可以不属于 若 的任何邻域内都含有 中无穷多个点,则称 为 的聚点. 注意: 聚点概念和下面两个定义等价: 对于点集 , 若点 的任何 邻域都含有 中异于 的点,即 ,则称 为 的聚点. 若存在各项互异的收敛数 ,则其极限 称为 的聚点.
定理 (Weierstrass聚点定理) 实轴上任一有界无限点集 至少有一个聚点. 定理的证明
证毕. 推论(致密性定理) 有界数列必含有收敛子列.
三 有限覆盖定理 定义 定理 (Heine-Borele 有限覆盖定理) 设 为数轴上的点集, 为开区间的集合,(即 的每一个 三 有限覆盖定理 定义 设 为数轴上的点集, 为开区间的集合,(即 的每一个 元素都是形如 的开区间).若 中任何一点都含在至少一个 开区间内,则称 为 的一个开覆盖,或简称 覆盖 . 若 中开区间的个数是无限(有限)的, 则称 为 的一个 无限(有限)开覆盖. 定理 (Heine-Borele 有限覆盖定理) 设 为闭区间 的一个(无限)开覆盖,则从 中可 选出有限个开区间来覆盖 .
定理的证明
四 小结 五 作业 P140: 3, 5, 9, 12, 13, (1) 区间套的概念; (2) 区间套定理; (3) 聚点的概念; 四 小结 (1) 区间套的概念; (2) 区间套定理; (3) 聚点的概念; (4) Weierstrass聚点定理; (5) 开覆盖的概念; (6) Heine-Borel有限覆盖定理; 五 作业 P140: 3, 5, 9, 12, 13,