3.3 n元向量的线性关系

一.线性组合和等价向量组 定义3.1 n 个数组成的有序数 称为n 元向量，其中 称为这n 元向量的第i个分量，常用 或 表示n 元向量。

定义3.2 两个n 元向量： 当他们各个分量对应相等时，即 则称 与 相等，记做 定义3.2 设n 元向量 与 ，k为数，则n 元向量 称为 与 的和， k与 的数量乘积。 通常将向量的加法、数乘运算称为向量的线性运算。

则称 是向量组 的线性组合，或称 可以由向量组 线性表示。 定义3.3 设一组向量 ，若存在一组数 ，使 则称 是向量组 的线性组合，或称 可以由向量组 线性表示。 (1).零向量 可以经任意向量组线性表示。 (2).任一n 元向量 可以经由n 元向量组 线性表示式： 向量 是矩阵A各列向量 的线性组合的两个充要条件： 线性方程组 相容。 矩阵 的秩与矩阵 相同。且线性表示式中系数可以由线性方程组的解给出。

例1 已知向量 试问 可否经向 量组 线性表示。 解 记 记

可以看出， 根据充要条件(2) ，可以得出 可以经由 线性表示。 进一步求解线性表示式： 的解：

定义3.4 若向量组 中每一个向量 都可以经由向量组 线 性表示，则称向量组 可以经 线性表示。两个可以互相线性表示的向量组等价。 等价的向量组有以下性质： (1). 自反性：每个向量组都与它自身等价； (2). 对称性：若向量组Ⅰ与向量组 Ⅱ等价，则 向量组Ⅱ也与向量组Ⅰ等价； (3). 传递性：若向量组Ⅰ与向量组 Ⅱ等价，且向 量组Ⅱ与向量组Ⅲ等价,则向量组Ⅰ与向量组Ⅲ 等价。

二.线性相关与线性无关 定义3.5 对于向量组 ，若存在全不为零的数 ，使 成立，称向量组 线性相关；当且仅当 定义3.5 对于向量组 ，若存在全不为零的数 ，使 成立，称向量组 线性相关；当且仅当 时，上面等式才成立，则称向量组线性无关或者线性独立。 由于当 时，等式必成立，因此，只要当 ，必有 ，就可以得向量组线性无关。

例2 设 分别讨论向量组 及向量组 是线性 相关还是线性无关。 解 设 即 解得 故 线性无关。 设 即

解得 令 得 有 所以， 线性相关。 几个重要结论： (1). 任意一个包含零向量的向量组必线性相关。 (2). 如果一个向量组中有一部分向量线性相关，则 整个向量组线性相关。 (3). 如果一个向量组线性无关，则它的任意一部分 向量组必线性无关。 (4). 当向量组仅含有一个向量时，若该向量是零向量， 称向量组线性相关；若该向量是非零向量，称它 线性无关。

定理3.3 向量组 线性相关的充要条件是矩阵 的秩小于向量的个数 向量组 线性无关的充要条件是 定理3.3 向量组 线性相关的充要条件是矩阵 的秩小于向量的个数 向量组 线性无关的充要条件是  

特别，当 时，A为n阶方阵，所以n元向量组线性相关的充要条件是 线性无关的充要条件是   特别，当 时，A为n阶方阵，所以n元向量组线性相关的充要条件是 线性无关的充要条件是

例3 设 分别讨论向量组 及向量 组 的线性相关性。 解 记： 变换 向量个数，故 线性无关。 ，故 线性相关。

例4 证明s个(s>n)n元向量必线性相关。 证明 设 构成矩阵 A是 矩阵，则有 即A的秩小于向量个数，得 线性相关 特别，n+1个n元向量必线性相关。 证毕。

三.几个重要定理 定理3.4 向量组 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量时其余向量的线性组合。  

定理3.5 设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 必是 的线性组合，且线性表达式唯一。 定理3.5 设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 必是 的线性组合，且线性表达式唯一。  

定理3.6 设向量组 可经向量组 线性表示，若 ，则向量组 线性相关。 定理3.6 设向量组 可经向量组 线性表示，若 ，则向量组 线性相关。  

推论1 设向量组 可经向量组 线性表示，若向量组 线性无关，则 。   推论1 设向量组 可经向量组 线性表示，若向量组 线性无关，则 。 （定理3.6的逆否命题） 推论2 任意两个等价的线性无关向量组，他们所含向量个数相等。 证明（可由等价的定义以及推论1证明。）

四.极大线性无关组和向量组的秩 定义3.6 设向量组 中的一部分向量组 ，若它满足条件： (1). 线性无关 定义3.6 设向量组 中的一部分向量组 ，若它满足条件： (1). 线性无关 (2). 再加入原向量组中的任意其他一个向量（如果 有的话）所形成的新的部分向量组都线性相关。 则称向量组 是向量组 的极 大线性无关组。 一个线性无关向量组的极大线性无关组就是它本身。 向量组中的任意向量都可以经该向量组的极大线性无关组表示，易得向量组与它的极大线性无关组等价。

例4 求向量组 的极大线性无关组。 解 记： 的秩等于向量个数， 线性无关。 的秩为2(小于向量个数) ,线性无关。 故向量组 是向量组 的一个极大线性 无关组（不唯一）。

定理3.7 一个向量组的任意两个极大线性无关组必等价，且所含的向量个数相等。 证明。 由于向量组与其极大线性无关组等价，且等价关系具有传递性，所以一个向量组的任意两个极大线性无关等价。 根据定理3.6的推论2知，任两个等价线性无关向量组所含向量个数相等，所以向量组的任意两个极大线性无关组所含向量个数相等。 证毕。 定义3.7 向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为该向量组的秩。

定理3.8 矩阵的秩与矩阵各列（行）向量构成的向量组的秩相等。 定理3.8 矩阵的秩与矩阵各列（行）向量构成的向量组的秩相等。  

例5 设A,B分别为 矩阵，求证： 证明：设 将 按列分块 设 由 得： 故

得向量组 可经向量组 线性表示。 极大线性无关组可经向量组 线性表示。 可经它的极大线性无关组线性表示。 的极大线性无关组可以经 的极大线性无关组表示。 根据定理3.6推论1，得 的极大线性无关组所含的向量个数小于、等于向量组 的极大线性无关组所含的向量个数。 再根据定理3.8得， 再根据定理3.8得， 证毕。 证毕。