教师: 习长新 e-mail: changxinxi@ 163.com 概率论与数理统计 教师: 习长新 e-mail: changxinxi@ 163.com

从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A发生的可能性大小的量 1.2 概率的定义及其运算 从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A发生的可能性大小的量 ? P（A）应具有何种性质？ * 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ * 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ * 向目标射击，命中目标的概率有多大？ ?

1.2.1.古典概型与概率 (p10)若某实验E满足： 1.有限性：样本空间S＝{e1, e 2 , … , e n }; 2.等可能性：（公认） P(e1)=P(e2)=…=P(en). 则称E为古典概型也叫等可能概型。

古典概型中的概率(P10): 设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N()记样本空间 中样本点总数，则有 P(A)具有如下性质(P7) (1) 0 P(A) 1； (2) P()＝1； P( )=0 (3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)

例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少? 解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩 ={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}

定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 1.3 频率与概率 ? 某人向目标射击， 以A表示事件“命中目标”， P（A）=？ 定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中 出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n.

历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005

实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 频率的性质 (1) 0 fn(A) 1； (2) fn(S)＝1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB＝ ，则 fn(AB)＝ fn(A) ＋fn(B). 实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)， 作为事件A的概率

1.3.2. 概率的公理化定义 注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义

1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数 (3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1  A2  … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. (1.1) 则称P(A)为事件A的概率。

2.概率的性质 有限可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互不相容的事件， 即AiAj＝  ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1  A2  …  An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An); (2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B) (3) 事件的差 A、B是两个事件，则 P(A-B)=P(A)-P(AB)

P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形； (3) 互补性：P(A)＝1－ P(A); (5) 可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)＝P(AB)＋P(AB ) .

解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报 某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率. 解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报

例1.3.2.在110这10个自然数中任取一数，求 （1）取到的数能被2或3整除的概率， （2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率， （3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。 解:设A—取到的数能被2整除; B--取到的数能被3整除 故

补充：古典概型的几类基本问题 排列 组合 抽球问题 分球入盒问题 分组问题 随机取数问题

二、古典概型的几类基本问题 复习：排列与组合的基本概念 乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有n1种方法,第二步有n2种方法， 则完成这件事共有n1n2种方法。 （也可推广到分若干步）

加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。 （也可推广到若干途径） 这两公式的思想贯穿着整个概率问题的求解。

有重复排列：从含有n个元素的集合中随机 抽取k 次，每次取一个，记录其结果 后放回，将记录结果排成一列， 共有nk种排列方式. n n n

无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次， 每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列， 共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.

组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个， 共有 种取法.

1、抽球问题 例1:设合中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A-----取到一红一白 答:取到一红一白的概率为3/5

一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是

在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。

2、分球入盒问题 例2：将3个球随机的放入3个盒子中去，问： （1）每盒恰有一球的概率是多少？ （2）空一盒的概率是多少？ 解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒

一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是： ? 某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天 的概率有多大？

3.分组问题 例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组

一般地，把n个球随机地分成m组(n>m),要求第 i 组恰 有ni个球(i=1,…m)，共有分法：

(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率 4 随机取数问题 例4 从1到200这200个自然数中任取一个, (1)求取到的数能被6整除的概率 (2)求取到的数能被8整除的概率 (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率 解:N(S)=200, N(1)=[200/6]=33, N(2)=[200/8]=25 N(3)=[200/24]=8 (1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25