我們將討論利用單一表示式或者由作用在樑上的負載，或內彎矩，來求出多重負載樑的彈性曲線方程式。 不連續函數 第12章 樑與軸的撓曲 467 *12.3 不連續函數 我們將討論利用單一表示式或者由作用在樑上的負載，或內彎矩，來求出多重負載樑的彈性曲線方程式。 不連續函數 馬克洛林函數 (Macaulay Functions) 可以用來描述分佈負載的情況。其一般式可寫成： (12-11) x 為樑上一點的座標位置，而 a 為樑上產生“不連續”的位置。
馬克洛林函數的積分也遵守一般函數的規則，即 第12章 樑與軸的撓曲 468 馬克洛林函數的積分也遵守一般函數的規則，即 (12-12)
第12章 樑與軸的撓曲 469 奇異函數 此種函數只用於描述作用在樑或軸上之集中力或力偶所施加的位置上。特別是，集中力可視為分佈負載的一個特例，而其負載強度為，為負載寬度，且 (12-13)
同理，考慮一逆時鐘為正的力偶M0，可視為 →0 的兩分佈負載，如圖12-16，因此其值可描述如下列式子： 第12章 樑與軸的撓曲 469 同理，考慮一逆時鐘為正的力偶M0，可視為 →0 的兩分佈負載，如圖12-16，因此其值可描述如下列式子： (12-14) 上述兩奇異函數並依循微積分的運算法則，產生了和那些馬克洛林函數不同的結果，指定為 (12-15)
第12章 樑與軸的撓曲 470
第12章 樑與軸的撓曲 471 下列之步驟提供一套使用不連續函數求解樑彈性曲線的方法，此法在解決包含數個負載之樑或軸的問題時特別有效，因為僅使用邊界條件就可計算出兩個積分常數，而相容條件自動滿足。 彈性曲線 繪出樑的彈性曲線並找出支撐處之邊界條件。 所有銷接及滾子支承處的位移為零，且在固定支承處的位移及斜率亦皆為零。 建立x軸，並令其向右延伸且使原點位在樑的左端。
471 第12章 樑與軸的撓曲 負載或彎矩函數 計算出支承處之支承反力x = 0，然後使用表12-2中的不連續函數將負載 w 或內彎矩 M 表示成x的函數。確認運用在此方程式中每一負載的正負符號。 注意分佈負載必須延伸至樑的右端方才有效。若情況並非如此，則如例題12-6中所示，利用重疊法。 斜率和彈性曲線 將 w 代入 EId 4 / dx 4 = w(x) 或是將 M 代入彎矩 - 曲率關係式 EId 2 / dx 2 = M，進而積分以獲得樑之斜率和撓度方程式。 利用邊界條件計算出兩個積分常數，並將此常數代入斜率及撓度方程式即得最後的解答。 當這些函數用來計算樑上任一點時，正斜率為逆時鐘，而正位移為向上。
第12章 樑與軸的撓曲 471 12-5
第12章 樑與軸的撓曲 472
第12章 樑與軸的撓曲 472
第12章 樑與軸的撓曲 300
第12章 樑與軸的撓曲 473 12-6
第12章 樑與軸的撓曲 473
第12章 樑與軸的撓曲 474
定理1：彈性曲線上任意兩點切線的夾角等於此兩點間 M / EI 圖下的面積。 475 *12.4 以力矩 - 面積法求斜率與位移 定理1 (12-16) (12-17) 定理1：彈性曲線上任意兩點切線的夾角等於此兩點間 M / EI 圖下的面積。 第12章 樑與軸的撓曲
第12章 樑與軸的撓曲 475
477 定理2 (12-18) (12-19) 定理2：彈性曲線上一點 (A) 的切線相對於另一點 (B) 切線的鉛直偏位量等於 M / EI 圖中介於此兩點 ( A 和 B ) 間面積之力矩，此力矩是對通過欲求得鉛直偏位量 ( t A/B)的點 (A)之鉛直軸計算而得。 第12章 樑與軸的撓曲
第12章 樑與軸的撓曲 477
M/EI圖 478 下列步驟提供一套使用兩種力矩 - 面積定理，求解樑 ( 或軸 ) 上某一點的斜率與位移之方法。 第12章 樑與軸的撓曲 478 下列步驟提供一套使用兩種力矩 - 面積定理，求解樑 ( 或軸 ) 上某一點的斜率與位移之方法。 M/EI圖 求出支撐反作用力，並畫出樑之 M /EI 圖。如果樑承載集中力，其 M /EI 圖將包含一系列的直線線段，而力矩 - 面積定理所用到的面積與其力矩相當容易計算。如果負荷包括一系列分佈負載，則 M /EI 圖將由拋物線或可能更高階的曲線所組成，建議使用封面內頁之表格求得各曲線下的面積與形心。
彈性曲線 478 誇張畫出樑彈性曲線的視圖，並注意固定端的斜率及位移為零，而插銷與滾珠支承之位移為零。 第12章 樑與軸的撓曲 478 彈性曲線 誇張畫出樑彈性曲線的視圖，並注意固定端的斜率及位移為零，而插銷與滾珠支承之位移為零。 如果彈性曲線的大概外形不易畫出，試用彎矩 (M /EI) 圖。留意當樑承受一正彎矩時，此樑向上彎曲，而負彎矩時樑向下彎曲，如圖12-2。此外，一個反曲點或曲率變化處發生在樑中彎矩 (M /EI) 等於零之處。 欲求出的未知位移及斜率應該在曲線上標示出來。 因力矩 - 面積定理僅應用於兩條切線之間，故必須注意那一條切線該從曲線上畫出如此其間的角度或偏位量才可計算出問題的答案。基於此點，未知斜率及位移的點與支承處之切線均須加以考慮，因為樑於支承處通常具有零位移和 / 或零斜率。
力矩 - 面積定理 478 利用定理 1 求得彈性曲線上任意兩切線間之角度及定理2 可決定切線偏位量。 利用定理 1 求得彈性曲線上任意兩切線間之角度及定理2 可決定切線偏位量。 解答的幾何符號可從彈性曲線上標示之角度或偏位量檢驗出。 正的 B/A 代表 B 處切線相對於 A 處切線為逆時鐘旋轉，而正 tB/A 表示彈性曲線上的點 A 位於從 B 處延伸之切線上方。 478 第12章 樑與軸的撓曲
第12章 樑與軸的撓曲 479 12-7
第12章 樑與軸的撓曲 479
第12章 樑與軸的撓曲 480 12-8
第12章 樑與軸的撓曲 480
第12章 樑與軸的撓曲 480
第12章 樑與軸的撓曲 481 12-9
第12章 樑與軸的撓曲 482 12-10
第12章 樑與軸的撓曲 482
第12章 樑與軸的撓曲 482
第12章 樑與軸的撓曲 483 12-11
第12章 樑與軸的撓曲 483
第12章 樑與軸的撓曲 483
第12章 樑與軸的撓曲 484 12-10
第12章 樑與軸的撓曲 484