臺北市數學科輔導團 指導：楊美玲校長 報告人：林旭霓老師 中年級小數教材分析 臺北市數學科輔導團 指導：楊美玲校長 報告人：林旭霓老師

中年級小數教材分析 中年級小數能力指標 小數的數概念～小數與整數、分數的關係；小數的數詞序 列與位值概念 小數的加減～一位小數的加減；二、三位小數的加減 小數的乘法 小數數感 百分數 教具 學生學習小數的困難 學力檢測的結果 小數教材分析 影音資料 參考資料

中年級小數能力指標(92綱要--目前） 階段能力指標 分年能力指標 階段一：123年級；階段二：45年級 N-1-10能認識一位小數，並作比較與加減計算。 (1-n-10能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較物體的長短。) 3-n-10能認識一位小數，並作比較與加減計算。 N-2-08能理解等值分數、約分、擴分的意義。 4-n-08能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。 (5-n-04能用約分、擴分處理等值分數的換算。) N-2-13能做分數與小數的互換，並標記在數線上。 4-n-08 4-n-10能用直式處理整數除以整數，商為三位小數的計算。 (5-n-11能將分數、小數標記在數線上。) N-2-10能認識多位小數，理解其比較，及用直式處理加、減與整數倍的計算，並解決生活中的問題 4-n-09能認識二、三位小數與百分位、千分位的位名，並作比較。 4-n-10 4-n-11能用直式處理二、三位小數加、減與整數倍的計算，並解決生活中的問題。 (5-n-08能認識多位小數，並作比較與加、減的計算，以及解決生活中的問題。) (N-2-12能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題) (5-n-09能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題。) 階段一：123年級；階段二：45年級

中年級小數能力指標（97綱要-100年實施）102年中年級 階段能力指標 分年細目能力指標 N-2-13 能認識一位與二位小數，並做比較、直式加減及整數倍的計算。 3-n-12 能認識一位小數，並做比較與加減計算。 4-n-11 能認識二位小數與百分位的位名，並做比較。 4-n-12 能用直式處理二位小數加、減與整數倍的計算，並解決生活中的問題。 N-2-14 能由長度測量的經驗，透過刻度尺的方式來認識數線，並標記整數。 3-n-09 能由長度測量的經驗來認識數線，標記整數值與一位小數，並在數線上做大小比較、加、減的操作。 N-2-15 能在數線上做整數與小數之比較與加、減的操作。 3-n-09 N-2-16 能在數線上標記小數，並透過等值分數，標記簡單的分數。 4-n-09 能認識等值分數，進行簡單易分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。 階段一：12年級；階段二：34年級；階段三：56年級

3-n-10 能認識一位小數，並做比較與加減計算。 說明： 在處理連續量的脈絡中，連結數與量是理解小數的一 種重要方法。 (例如：使用有公分與毫米之刻度尺、有10等分刻度 的1公升量杯)。小數的數量範圍不需要限制在1以內， 因為這與測量的情境不符。 新增位值單位為「十分位」，位名的由來是由於 1/10＝0.1的關係。 對於一位小數的讀法應注意，10個0.1合起來是1.0 ＝10/10＝1，而非「零點十」。學生應知道1毫米為 0.1公分，一瓶養樂多的容量(100毫升)為0.1公升。

3-n-10 能認識一位小數，並做比較與加減計算。 說明： 小數學習時應如同整數做數數的活動，以增進學童對小數 的量感，如0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1、1.1…等。 由於小數和測量情境常一起出現，應多學習「23.4公分」、 「5.7公升」、「12.1公斤」的用法。 應和3-n-09相連結，整合直尺測量經驗與數線上一位小數 之紀錄。 三年級學童已熟悉整數加減法與乘法直式計算，應學習一 位小數(整數兩位)的加減直式計算。重點在熟悉小數點的 意義，知道小數點區隔了整數和小數的部分，並理解在小 數加減直式計算中要對齊小數點。 小數加減問題應儘量和量的問題相結合，此為小數常見的 應用問題。

＊3-n-09能由長度測量的經驗來認識數線，標記整數值與一位小數，並在數線上做大小比較、加、減的操作。 說明： 學童在有了長度測量的經驗或1-n-03初期的數序經驗，可在三年級 正式引入數線。數線是統整所有數系及幾何的重要基礎，應讓學童 學習數線的使用。 數線剛引入時，只是像尺一樣的半線，左邊以0為起點，但右邊不 做限制。若現場學童對數線還不熟悉時，可以暫時用刻度尺的方式 去解釋，但要讓學童意識到數線與一般尺稍有不同，譬如可以把數 線想像成一把很長的尺。 但數學教學不必刻意要求每次都出現從刻度0開始的數線，當學生 理解數線的原理後，便可依教學之目的與方便，截取部分數線來教 學。 正式數線和簡易數線的差別是，正式數線要求距離的正確性，這樣 才能進行小數的十等分數線教學。數線概念最重要的概念是數與點 的對應，例如：數線上的「1」除了代表在數線上的位置是1，也 代表與原點的距離是1。 整數和小數的數線教學建議分開處理，先學習整數數線，小數部分 在小數的數數學習時再做教學。 本細目不要求學生自製數線，相關布題皆應先將數線繪製再呈現。

＊3-n-09能由長度測量的經驗來認識數線，標記整數值與一位小數，並在數線上做大小比較、加、減的操作。 說明： 日常生活中有許多數線的具體例子，例如：高速公路上在 連續兩里程碑之間有0.1至0.9的小標示牌等。 學生應能理解數線上，愈右邊的數愈大，愈左邊的數愈小。 教師也可藉由數數或長度的學習經驗，知道從數線上某數 開始，往右走7單位，相當於該數加7；往左走7單位，相 當於該數減7。但不用過度教學。 在此後不斷學習新的數量時，也要同時強調這些操作教學， 讓學童最後能將各種數匯聚到數線上，例如： 「小強的生日是1月14日，今天是1月10日，再過幾天是 小強的生日？」配合數線圖示讓學童練習列出算式14－ 10＝4。 「小娟全家人回爺爺家過年，他們從2月6日待到2月11日， 他們一共在爺爺家待了幾天？」配合數線圖示讓學生學習 列出算式11－6＝5，5＋1＝6。

4-n-08能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。 等值分數是一般分數加減的基礎，也可當做約分、擴分的前置 經驗（參見5-n-04）。本細目著重等值分數的概念理解，其計 算則應透過5-n-04來完成。 可先討論「如何將2個披薩，平分給4個小朋友？」，除了將每 個披薩各平分成4片的方法之外，教師也要引導學童理解，這問 題相當於「如何將1個披薩，平分給2個小朋友？」 於是可以得到 2/4個披薩 ＝1/2個披薩，簡記成 2/4＝1/2 另外學童應該從具體平分情境中，理解可用再細分的方式，得到1/4個披薩＝1*2/4*2＝2/8個披薩。這是擴分的前置經驗，比約分容易操作。 由於本細目僅強調「等值分數」概念的理解，因此在處理比較 問題時，只處理分母為2、4、5、8、10、100或1000的分數， 這些是比較常用的情形。 在這裡也引入10/1000＝1/100，與小數相連結

4-n-09 能認識二位小數與百分位的位名，並做比較。 說明： 新增位值單位為「百分位」，位名的由來是由於＝0.01的 關係。學童應理解十分位、百分位，如同整數時各個位值 間的關係(參見4-n-01)，如：10個0.01是0.1等，並瞭解 0.23＝0.1×2＋0.01×3＝0.01×23。 要教導學童「小數點以下2位」或「二位小數」的講法(這 相當於百分位)，因為小數的位名，除了教學外，很少使 用。 對於二位小數的讀法應注意，如0.23讀成「零點二三」， 而非「零點二十三」。 例：0.27 ＜ 0.5，或 0.3 ＞ 0.29(透過分數的轉換，也許 比較容易理解)。 小數的教學應與量做結合。例如：1公分＝0.01公尺， 100公尺＝0.1公里。

4-n-10 能用直式處理整數除以整數，商為三位小數的計算。 在4-n-06中已經知道整數除以整數都可以表為分數， 在4-n-08中知道許多分數可以表為小數，本細目則在 學習如何將分數，直接透過整數除以整數的計算，表 為小數。其商限定為最多三位小數。 應鼓勵學童熟悉分母為2、4、5、8、10、100之真 分數所對應的小數值。

4-n-11能用直式處理二、三位小數加、減與整數倍的計算，並解決生活中的問題。 本細目的重點，在於讓學童理解這與整數之四則直式 計算幾乎相同，其關鍵在小數點位置的處理。

小數的數概念 小數與整數、分數的關係 整數用來計數完整的個物；當一個物件不滿1個單位時， 才有分數或小數的表示 小數（很小的數）比單位1還小的數 Decimal（a tenth part）十分之一的部分 分數與小數的學習概念必須是緊密連貫在一起的。 當人們想將印度─阿拉伯記數系統由整數推廣至分數情境 時，才產生小數的問題。 十進制位值系統可以無限的延伸到兩個方向： 極小的數與極大的數，任何兩個相鄰位值之間，保持相同「十比一」的關係。 透過分數來瞭解小數。例如 0.01 是1/100的另一種記法，而 0.38 是 38 個單位小數「0.01」合成的結果 由印─阿記數系統的位值概念來瞭解小數，例如 0.38 是記錄 3 個「0.1」和 8 個「0.01」的合成結果。

小數的數概念 小數與整數、分數的關係 國小先引入整數及分數，帶學童能掌握分數的意義及 整數記法的位值概念後，再透過分數情境引入小數的 記法 為什麼數學上要規定「0.1＝1/10」？ 三、四年級的學童沒有自己發現 0.1 必須是1/10的另 一種記法的能力。因為三、四年級的學童無法掌握左 邊位置的位值是相鄰右邊位置位值十倍的等比例關係。 小數的記法和整數的記法都滿足逢十進一的位值概念。 小數的測量 公制系統

小數的數概念 小數與整數、分數的關係 萬 位 千 百 十 個 分 7 對一般人而言，小數被認為比像數字。 幫助學生理解分數和小數間的連結。 0.75＝3/4 幫助學生理解分數和小數間的連結。 使用熟悉的分數概念及模型來發展小數系統。1/101/1001/1000 比1小的數，以延伸分母以十為基底的系統來表示。 使用教具，幫助學童在分數和小數間做有意義的轉換。 萬 位 千 百 十 個 分 7 70000÷7000＝10 7000÷70000＝1/10 相鄰兩個位名間， 高階（左邊）是低階（右邊）的十倍 低階（右邊）是高階（左邊）的1/10倍

小數的數概念 小數與整數、分數的關係 分數問題情境分為三類： 連續量：1/3條繩子 離散量：1/3打鉛筆 單位分數的內容是單一個物（3個蘋果裝一盒，1/3盒蘋果） 單位分數的內容是多個個物（6個蘋果裝一盒，1/3盒蘋果）(三上) 單位分數的內容不是整數個個物（2個蘋果裝一盒，1/3盒蘋果）(五下) 全部為單位量：全部有6公升的汽油，全部的1/3 在進行小數活動前，察覺學童分數概念已經成熟，就 可以採取檢查的角度進行相關小數的活動；但是當發 現學童分數概念尚未成熟時，應該較仔細地進行相關 小數的活動。

小數的數概念 小數的數詞序列與位值概念 認識一位小數～三年級 三年級學童尚無法掌握印度─阿拉伯記數系統的位值 概念 引入小數數詞序列時，學童很可能類比整數數詞序列 的讀法，將零點九後面的數詞，唸成零點十，零點十 一，零點十二....。 以小數點為對稱中心，小數點左右兩邊的位名並沒有 對稱，小數點右邊少了「個分位」。 小數的個位不在最右邊的位置，沒有小數點，就找不 到個位的位置。 小數點並不是小數位名的對稱中心，小數點的功能只 是告訴我們個位在那裡，個位才是位名的對稱中心。

小數的數概念 小數的數詞序列與位值概念 一位小數（三下） 透過操作，知道一條橘色積木和十個白色積木一樣長，一個白色積木是一條橘色積木的1/10（1） 一個白色積木是0.1、再加一個0.1是0.2、再加一個0.1是0.3……一直到0.9(5‘05’‘～5’20’’) （2） 透過比對，十個白色積木和一條橘色積木一樣長，所以十個0.1合起來就是1(5’20’’ ～5’33’’) （3） 一條橘色積木再加一個白色積木，類比帶分數的記法就是1.1；二條橘色積木和三個白色積木，合起來和2.3條橘色積木一樣長，記作2.3(5’33’’ ～5’50’’) （4） 仿照整數的位名和位值的記錄方式2.3 ＝2個1 ＋ 3個0.1，所以在個位的地方記2，在十分位的地方記3，以建立一位小數的位值概念(5’50’’ ～6’05’’ ) （5） 影片（6‘06’‘～7’22’’）～8‘42’‘（6）

課本教材舉例（2節～二位小數） 認識兩位小數及命名 可以使用白色方瓦、橘色積木、百格板輔助 認識0.1和0.10的關係教學中，教師可連繫10/100和0.10及1/10和0.1的意義，並由圖像中，讓學生觀察

課本教材舉例（2節～二位小數）

課本教材舉例（2節～二位小數） 二位小數大小比較

課本教材舉例（2節～三位小數） 認識1/1000 三位小數數詞序列

課本教材舉例（2節～三位小數） 認識0.1、0.01、0.001 以位名、位值記錄 三位小數的化聚與位值 三位小數大小比較

課本教材舉例（2節～小數的應用） 長度～公尺、公分的化聚 長度～公里、公尺的化聚

小數的加減 一位小數的加減 （三下）小數是分數的另一種記法，沒有位值概念 小數的加法和減法計算，只是全數運算的簡單延伸， 都是在相同的位值上加和減數值。 學童可能的解題策略 換成分數（9’57’’～10‘14’‘） 合成分解（ 10‘14’‘ ～10’29’’） 換成同單位（10’29’’～10’48’’） 使用多單位（10’50’’～11’ 57’’）（7） 加強小數的位值概念並能「使用多單位策略」解題

小數的加減 二、三位小數的加減 （四下）學童能掌握小數的位值概念，能夠將小數視 為多個單位合成的結果 學童可能的解題策略 （11’58’’～12‘07’‘）（11） 影片（14’11’’～14‘34’‘）（12） 小數的直式加減問題，必須先將小數點對齊，才能夠 開始計算。 為什麼要先對齊小數點？ 相同的單位才能進行加減運算，因此被加（減）數與 加（減）數各個單位必須對齊（個位對齊個位，十位 對其十位，....），當個位對齊個位時，其它位置自 然也對齊了（當然，小數點也對齊了）。

小數的加減 二、三位小數的加減 脫離定位板後，學生記錄格式應符合： 正確記錄題目所給的條件 利用位值概念對齊數字的位置。 每個位值上的數字不能超過9 布題順序，先布沒有進（退）位的問題，再布一次進 （退）位的問題，最後布二次以上進（退）位的問題， 以方便學生逐漸理解。 當學生解題有困難時，仍需再用定位板來輔助。

教材舉例（1.5節～小數加法） 將小數視為多個單位合成的結果 脫離定位板計算（一次進位）

教材舉例（1.5節～小數減法） 小數減法（使用多個單位概念） 脫離定位板計算（一次退位）

教材舉例（1節～小數應用） 公升、毫升 和公斤、公克和公尺、公分

小數的乘法 小數乘以整數（小數的整數倍） 幫助學童觀察 300×3＝900，30×3＝90，3×3＝9， 希望學童能察覺位值變化的規則，類推得到 3×3000 ＝9000，0.3×3＝0.9，0.03×3＝0.09，最後能得到 ｍ位小數乘以ｎ位小數時答案是（ｍ＋ｎ）位小數的 算則。 國小階段的學童，無法理解上述解題的意義。 小數的乘法和除法運算，如果不考慮小數點的位置， 也如同全數的運算，產生相同的數字，但應注意運算 結果的合理性，估計小數點的位置何在。

小數的乘法 小數乘以整數（小數的整數倍） 學童可能的解題策略 幫助學童熟練「將被乘數視為多單位策略」解題 連加（15’43’’～15‘55’‘） 合成分解（15’56’’～16‘12’‘） 以最小單位將被乘數換為整數運算（16’13’’～16‘37’‘） 將被乘數視為多單位運算（16’40’’～17‘12’‘）（13） 影片（17’14’’～17’27’’）（17’31’’～19’23’’）（17）（18） 幫助學童熟練「將被乘數視為多單位策略」解題 學童在解決小數的加減乘除問題時，會因為所處的認 知發展層次不同，而有不同的解題策略，因此，對學 童不宜要求唯一的解題方式，教學時交師應配合學生 的認知發展，協助累積足夠的學習經驗後，再引入直 式算則

小數的乘法 小數乘以整數（小數的整數倍） 乘法直式紀錄須符合 (1) 記錄問題的原始條件； (2) 解題視窗內須利用位值概念簡化紀錄，例如：在十分位記錄 5 個 0.1 的合成結果時，不必在其他位置記 0； (3) 解題視窗內各數碼的位值必須以被乘數中的位值為基礎； (4) 一個位置記的數字不能超過 9。 請注意，由於被乘數與積數的單位量是相同的，而乘數與積數的單位量並不相同，因此，記錄乘數時，不須考慮其位置對齊的問題，例如乘數是 5 時，5 記在被乘數的個位或十分位下皆可。

教材舉例（4節～小數乘以整數） 一位小數乘以整數(1節) 二位小數乘以整數(2節)

教材舉例（4節～小數乘以整數） 三位小數乘以整數(1節)

教材舉例（1節～小數除以整數） 小數除以整數(1節) 小數除以整數(1節)

教材舉例（1節～小數乘以整數） 小數除以整數(1節) 小數除以整數(1節)

教材舉例（1.5節～整數除以整數，商為小數） 等分除 等分除（一維連續量）

教材舉例（1.5節～整數除以整數，商為小數） 等分除（三維連續量）

教材舉例（2節～分數、小數互換） 分數化為小數(1節) 小數化為分數(1節) 熟練分母為2、4、5、8的簡單分數化為小數

小數的量感 與分數連結 與數線連結 用分數教具表徵分數（65/100）： 5.13 這個分數少於或多於1/2？或2/3？或3/4？ 有哪些說法，可以用來表示這個分數？（6個1/10和5個1/100，或是65個1/100，650個1/1000也是一樣的說法） 65/100=6/10+5/100（將分數展開有助於將分數轉換成小數） 0.65=65/100 與數線連結 5.13 5.13=5+0.1+0.03=5*1+1*0.1+3*0.01+0*0.001 在數線上作數 右邊的數字都是其左邊相鄰數字的1/10 以教具表示時，會存在最小的部分嗎？ 沒有最小的長條或方塊？

百分數 百分數表示百分位的小數，是書寫分數和小數的第三種方法。 百分數只是以一個不同的方法紀錄小數或分數。 先確認其基本單位 以個位為單位：0.695是比6個1/10還要多一點的數 以1/10為單位： 0.695是6.95個1/10 以1/100為單位： 0.695是69.5個1/100百分數 以1/1000為單位： 0.695是695個1/1000 規則：將小數改成百分數時，把小數點向右移兩位不是概念的教 學

教具-電子書

教具-萬用揭示板 http://163.21.193.5/asp/edit/use.asp

教具-創意家資訊—應用教學軟體線上教學 http://122.147.134.180/id-teach/ 小數影像說明 http://122.147.134.180/id-teach/works/classes/Primary/Pmath_vr/1.html

學生學習小數的困難-1 很難去體會小數的意義。 讀數線值的困難點。 讀法錯誤 小數在數數時，尤其當進位時，會不知道該如何寫。 Ex：4.23 （應讀 ”四點二三” ，誤讀 ”四點二十三” ） 小數部分的讀法通常不帶位名，與整數慣常使 用位名的讀法不同 Ex： 4.02, 4.20 不知何時零該去掉？ 小數在數數時，尤其當進位時，會不知道該如何寫。 0.70.80.9 ？（0.10或0.01） 將10個0.01說成「零點零十」 透過教具操作與討論，建立10個0.01等於0.1的觀念 小數的個位、十分位、百分位與個位、十位、百位觀念上很容易 混淆。 0.1= 1/10的概念問題

學生學習小數的困難-1 無法體會小數點位置不同時,數值的大小也會改變。 0.11 > 0.02 比大小時，不當的讀法容易產生困擾 小數點的作用是在指定個位數的位置 比大小時，不當的讀法容易產生困擾 1.97讀成「一點九十七」，1.125讀成「一點一百二十五」 就發生1.97 ＜ 1.125的錯誤 不清楚小數點在區分整數部分與小數部分上的意義 3.89比5.1大，因為389>51 0.19>1.2，因為19>12 以整數比大小法則，分別處理整數部分與小數部分 4.63>4.8，因為4＝4，63>8 0.113>0.28 知道0.14>0.038，卻認為4.8<4.63 當整數相同時，以為小數部分越長越小（理由與位名有關） 6.34<6.2，因為6.34到百分位，被100等分

學生學習小數的困難-3 小數點的位置宜記在個位的右下方，但學生容易將小數點 位置記在個位與十分位中間。 學生易把小數點寫成「3。4」 Ex：將3.4 記為3‧4，正確應將小數點寫在個位的右下方小數點的形狀， 學生易把小數點寫成「3。4」 分數轉換成小數錯誤 3/5寫成3.5或5.3 1/8寫成0.8 直式計算時，位名沒有對齊 受到整數直式計算影響 強調小數的位名，同單位才可運算 2 -1.53

學力檢測的結果-1

學力檢測的結果-2 學生在整數乘以小數的答題表現較佳。 答對率未達80%： 數與量 小數加減計算 小數乘、除以整數 能將小數標記在數線上

學力檢測的結果-3 以「有三盆花放在一個平台上。第一盆花比第二盆花高 26.8公分，第一盆花比第三盆花高35.7公分。請問第二盆 小數 小數加減計算 以「有三盆花放在一個平台上。第一盆花比第二盆花高 26.8公分，第一盆花比第三盆花高35.7公分。請問第二盆 花比第三盆花高幾公分?」為例，答錯率為20.80%。 15.84%的學生在做小數減法計算時忘記退位 4.43%的學生選答「52.5」，分析其錯誤的可能原因是： 直接將26.8和35.7相加，得解52.5。

學力檢測的結果-4 以「8 ÷ 7，商算到小數第二位，餘數是多少？」為例，答錯率為22.28% 。 整數除以整數，商為小數 以「8 ÷ 7，商算到小數第二位，餘數是多少？」為例，答錯率為22.28% 。 21.92%的學生因為位值概念不清，餘數的小數點沒有和 被除數的原小數點對齊，導致錯誤。 11%的學生選答「0.2」 5.66%的學生選答「0.002」 5.27%的學生選答「2」

學力檢測的結果-5 下圖中，數線上的A點用小數表示是多少？  4.8  5.3  5.6 5.8 (97、98年度考題) 小數  將小數標記在數線上 下圖中，數線上的A點用小數表示是多少？  A 4 6  4.8  5.3  5.6 5.8 (97、98年度考題) 年度 標準 答案 選1的 百分比 選2的 選3的 選4的 其他＊的 百分比 98 3 13.48 12.37 67.49 6.47 0.19 97 12.58 11.75 68.31 7.18 0.18

影音資料 國家教育研究院籌備處影音資源  數學 國家教育研究院籌備處影音資源  數學 http://www.naer.edu.tw/audiovisual/u_audioList_ v1.asp?n=1&PageNo=1&id=245 數學教師知識庫 http://www.mtedu.tmue.edu.tw/showtopic.asp?T OPIC_ID=2652&Forum_ID=53&sdt=180&Move= True&Page=1 (35分) 小數 http://www.mtedu.tmue.edu.tw/narrative- c.asp?d=2004/11/29&Page=1&Move=True (44分)

影音資料 教學影片： 國家教育研究院籌備處 http://www.naer.edu.tw/ --> http://www.naer.edu.tw/ --> 國民中小學教師專業成長網 --> 課程內容 --> 進入各個教學影片

小數教材分析 http://203.71.239.23/naerResource/study/216/inde x.htm

參考資料 小數教材分析（國家教育研究院） 中小學數學科教材教法（五南，張英傑、周菊美） 國中小數學教師專業成長影集～小數篇（國立教育研 究院籌備處） 康軒版教科書 國家教育研究院~影音資源 數學教師知識庫~動態教學案例～國小教學案例系統 ～小數