4) 若A可逆，则 也可逆， 证明： 所以
注1：当 |A| ≠ 0 时，k为正 整数，λ，μ为整数，有 4 ) ( Aλ ) μ = Aλμ A为可逆矩阵，也称为非奇异矩阵，
四. 逆矩阵的应用 例1. 解矩阵方程 解：设 则上式变成: AXB = C
例2. 设 求（ E + B ）－1
解: 由 即 ( E + A )( E + B ) = 2E
例3. 设 A，B 均为 n 阶方矩 阵， 若 E－AB 可逆，则 E－BA 也可 逆，并求: 证明：A－ABA = A－ABA ( E－AB ) A= A( E－BA ) 所以
又因为 E = E－ BA + BA = [E －B ( E －AB )-1A] ( E － BA ) 所以 E－BA 可逆,且
五、几个常用的公式 1) AA* = A*A = |A|E 2) A* = |A|A-1 3) |A-1| = |A|-1 |λA| = λn|A| 5) (λA)-1 = λ-1A-1 例4 若 |A| ≠ 0, 试证（1） |A*| =|A|n-1;（2）(A*)-1= (A-1)* (3) (A*)T = (AT )*;（4）(A*)* = |A|n-2A;（5）(kA)* = kn-1A*。 证 （1） |A*| = ||A|A-1| = |A|n|A-1| = |A|n-1; (2) (A*)-1= (|A|A-1)-1 = |A-1|(A-1)-1 = (A-1)*; (3) (A*)T = ( |A|A-1)T = |AT|(A-1)T = |AT|(AT)-1 = (AT )*
(A*)* = |A*|(A*)-1 = |A|n-1(|A|A-1)-1 = |A|n-2A (5) (kA)* = |kA|(kA)-1 = kn|A|k-1A-1 = kn-1|A|A-1 = kn-1A*
例5 设矩阵 A、B 满足 A*BA = 2BA –8E, 其中 求B。 解 由于|A|≠0，所以A可逆，在 A*BA = 2BA –8E 的两边分别左乘A，右乘A-1得 |A|B = 2AB －8E 即 2AB + 2B ＝ 8E
从而有 AB + B ＝ 4E 故 B = 4 ( A + E )-1
作业: 1.解矩阵方程 2.设方阵A满足 证明 A 及 A + 2E 都可逆, 并求 A-1 及 ( A +2E )-1 3.设 AB = A + 2B ,求 B.