5.5 直线与圆的位置关系（3）

知识回顾 1、确定圆的条件是什么？ 圆心与半径 2、下图中△ABC与圆O的关系？ △ABC是圆O的内接三角形 圆O是△ABC的外接圆

定 义 A B C A B C 三角形的内切圆的定义： 和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆 定 义 三角形的内切圆的定义： 如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ A B C A B C 和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆 三角形叫圆的外切三角形

思考与探究 作圆，使它和已知三角形的各边都相切 已知： △ABC（如图） 求作：和△ABC的各边都相切的圆 A B C

探 索 探究：三角形内切圆的作法 思考下列问题： A M 1．如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？ O B N C 探 索 思考下列问题： 探究：三角形内切圆的作法 A M 1．如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？ O B N C 圆心0在∠ABC的平分线上。  2．如图2，如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？ O 图2 A B C 圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上。

3．如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？ 探 索 3．如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？ 探究：三角形内切圆的作法 圆心:三个内角的平分线交点 半径:过圆心作一边的垂线段 C F E I 4．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆？ A B D 有且只有一个

典型例题 例1:已知：△ABC 求作：⊙O,使它与△ABC的各边都相切 则⊙O就是所求的圆。 作法： 1、作∠ B, ∠ C的平分线BM和CN，交点为O； 2、过点O作OD BC，垂足为D； 3、以O为圆心，OD为半径作圆O。 N M D 则⊙O就是所求的圆。

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 归纳小结 1、定义： 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 A O C B 图2

归纳小结 2、性质: ①内心与顶点连线平分内角 ②三角形的内心到三边的距离相等 ③三角形的内心一定在三角形的内部 A O C B 图2

名称 确定方法 图形 性质 三角形三边中垂线的交点 外 心 (三角形 外接圆的 圆心) 内 心（三角形内切圆的圆心） 三角形三条 角平分线的   三角形三边中垂线的交点 外 心 (三角形 外接圆的 圆心) (1)OA=OB=OC (2)外心不一定在三角形的内部． （1）到三边的距离相等； （2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； （3）内心在三角形内部． 内 心（三角形内切圆的圆心） 三角形三条 角平分线的 交点

1、 如图1，△ABC是⊙O的 三角形。⊙ O是△ABC的 圆，点O叫△ABC的 ，它是三角形 ． 图1 内接 1、 如图1，△ABC是⊙O的 三角形。⊙ O是△ABC的 圆，点O叫△ABC的 ，它是三角形 _____ ____的交点。 外接 外心 三边中垂线 I D E F ． 图2 2、定义：和三角形各边都相切的圆叫做 ，内切圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做____________ 1 三角形的内切圆 内心 圆的外切三角形 3、如图2，△DEF是⊙I的 三角形， ⊙I是△DEF的 圆，点I是 △DEF的___ 心，它是________的交点。 外切 内切 内 角平分线

1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等 2、三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ） 3、等边三角形的内心和外心重合； （ ） 判断题： 1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等 2、三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ） 3、等边三角形的内心和外心重合； （ ） 4、三角形的内心一定在三角形的内部（ ） 错 错 对 对

典型例题 例2:在△ABC中，内切圆O与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∠B=60度， ∠C=70度，求∠EDF的度数 A F E

典型例题 = 180 °－60 °=120 ° 试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？ 请说明理由． 例3: 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数 A B C O 同理 ∠OCB= ∠OCA= 1 2 ∠ACB=35 ° 解（1）∵点O是△ABC的内心， ∠ABC= 25 ° ∴ ∠OBC= ∠OBA= ∴ ∠BOC=180 °- （∠ABC＋ ∠ACB） 1 2 = 180 °－60 °=120 ° （2）若∠A=80 °,则∠BOC= 度。 （3）若∠BOC=100 °，则∠A= 度。 试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？ 请说明理由．

练习： A A C B O 三角形内心性质的应用 O C B 2、已知三角形ABC的外心为O，且∠BOC=110°则∠A=______度。

典型例题 直角三角形的内切圆 例4:已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角,AC=3,BC=4. 求⊙O的半径r. A B C ● A B C ┏ O ● ┗ ┓ O D E F

直角三角形的内切圆 已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角,三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r. A B C ┏ O D ● ┗ ┏ ┓ O D E F

三角形的内切圆 已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c. 求内切圆⊙O的半径r. A B C O O D E F ┗ ┓ ●

三角形的内切圆 已知:如图,△ABC的面积S=4cm2,周长等于10cm. 求内切圆⊙O的半径r. A B C O O D E F ┗ ┓ ● A B C O ● ┗ ┓ O D E F

定 义 思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方 形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？ 定义：和多边形各边都相切的圆 叫做 ，这个 定 义 定义：和多边形各边都相切的圆 叫做 ，这个 多边形叫做 。 D E F G .O 多边形的内切 圆 圆的外切多边形 外切 如上图，四边形DEFG是⊙O的 四边形， ⊙O是四边形DEFG的 圆， 内切 思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方 形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？ (菱形，正方形一定有内切圆)

归纳总结 1、本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法 . 2、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出 三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的 内切圆、圆的外切多边形的概念。 3、学习 时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与 “外心”的区别， 4、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运 用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。