Ch8 随机变量的数字特征
§1 数学期望
一、数学期望的概念 引例1 分赌本问题(产生背景) A, B 两人赌技相同, 各出 赌金100元,并约定先胜三局者为 引例1 分赌本问题(产生背景) A, B 两人赌技相同, 各出 赌金100元,并约定先胜三局者为 胜, 取得全部 200 元.由于出现意 外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?
分析 假设继续赌两局,则结果有以下四种情况: A A A B B A B B A胜B负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 把已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)与上述结果 相结合, 即 A、B 赌完五局, 前三局: A 胜 2 局 B 胜 1 局 A A 后二局: A B B A B B A 胜 B 胜
故有, 在赌技相同的情况下, A, B 最终获胜的 可能性大小之比为 即A 应获得赌金的 而 B 只能获得赌金的 因此, A 能“期望”得到的数目应为 而B 能“期望”得到的数目, 则为
若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金. 则X 所取可能值为: 其概率分别为: 因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于 即为 X 的可能值与其概率之积的累加.
引例2 射击问题 设某射击手在同样的条 件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下 命中环数 k 引例2 射击问题 设某射击手在同样的条 件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下 命中环数 k 命中次数 频率 试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
解 平均射中环数 设射手命中的环数为随机变量 Y .
平均射中环数 频率随机波动 随机波动 “平均射中环数”的稳定值 随机波动 稳定值 “平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加
1. 离散型随机变量的数学期望
分赌本问题 A 期望所得的赌金即为 X 的数学期望 射击问题 “平均射中环数”应为随机变量Y 的数学期望
关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.
假设 随机变量 X 的算术平均值为 它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值. 当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等.
实例1 谁的技术比较好? 甲射手 乙射手 试问哪个射手技术较好?
解 故甲射手的技术比较好.
实例2 发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润. 解 则 设每张彩票中奖的数额为随机变量X,
每张彩票平均能得到奖金 每张彩票平均可赚 因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为
实例3 商店的销售策略
解
2.连续型随机变量数学期望的定义
实例4 顾客平均等待多长时间? 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计)服从指数分布,其概率密度为 试求顾客等待服务的平均时间? 解 因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务.
二、数学期望的性质 1. 设 C 是常数, 则有 证明 2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有 证明 例如
3. 设 X, Y 是两个随机变量, 则有 证明 4. 设 X, Y 是相互独立的随机变量, 则有 说明 连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随 机变量数学期望的性质类似.
实例5 解
三、随机变量函数的数学期望 1. 离散型随机变量函数的数学期望 设随机变量 X 的分布律为 解
则有 因此离散型随机变量函数的数学期望为 若 Y=g(X), 且 则有
2. 连续型随机变量函数的数学期望 若 X 是连续型的,它的分布密度为 f (x) , 则 3. 二维随机变量函数的数学期望
实例6 设 ( X , Y ) 的分布律为 解
由于
实例7
解