數學科98課綱 種子教師培訓課程 單元一： 高中數學98正式綱要與95暫行綱要之差異 數學科98課綱　種子教師培訓課程 主講人～徐正梅～ 單元一： 高中數學98正式綱要與95暫行綱要之差異 單元二：多項式教學示例　　　　　　 　　　一、　多項式的課程架構 　　　二、　多項式的概念與特色 　　　三、　教學示例 　　　　　　1. 求值 　　　　　　2. 插值多項式 　　　四、　孫子算法

「必修」數學綱要 課 程 目 標 普通高級中學必修科目「數學」課程 欲達成的目標如下： 課 程 目 標 　　普通高級中學必修科目「數學」課程 　　欲達成的目標如下： 一、培養學生具備以數學思考問題、分析 問題和解決問題的能力。 二、培養學生具備實際生活應用和學習相 關學科所需的數學知能。 三、培養學生欣賞數學內涵中以簡馭繁的 精神和結構嚴謹完美的特質。

核 心 能 力 一、演算能力：能熟練多項式、分式、根式、指 對數、三角的運算及估算。 二、抽象化能力：能將具體世界中的概念以數學 形式表徵。 核 心 能 力 一、演算能力：能熟練多項式、分式、根式、指 　　對數、三角的運算及估算。 二、抽象化能力：能將具體世界中的概念以數學 　　形式表徵。 三、推理能力：能認識證明，並進行推論。 四、連結能力：能整合數學內部知識並與具體世　　　 　　界連結。 五、解題能力：能解決數學形式與生活情境中的 　　數學問題。 六、溝通能力：能正確、流暢地利用口語或文字 　　表達解題想法。 七、使用計算工具的能力：能使用計算器來處理 　　繁瑣的計算與解決較複雜的問題。

一、多項式的課程架構 除 法 定 理 四則運算 餘 式 定 理 (核心：除法) 因 式 定 理 四則運算與應用 逼近 求值 應 用 多項式函數及其圖形 四則運算 (核心：除法) 應　　　用 除 法 定 理 餘 式 定 理 因 式 定 理 逼近 求值 (插值多項式) 已分解之多項式函數的圖形 一次因式檢驗法 勘根定理 代數基本定理 虛根成雙定理 一次、二次函數 單項式函數 多項式方程式 多項式不等式 (含簡易分式不等式)

二、多項式的概念與特色 （概念）： 多項式p(x)＝anxn＋…＋a1x＋a0 是由 　　“變量x與實係數ak”經過有限次的「加 　、乘」運算而得出的代數式。 〈特色〉： 　1. 求值簡便（只用到加、乘） 　2. 多項式函數y＝p (x)是“最簡單”的連續函數， 　常用來「逼近」一般的連續函數y＝f (x)。 　　　　　　f (x)  p (x)　( a＜x＜b ) 　因此借多項式的值p (x0)來估測f (x0)的值。 　　　　　　f (x0)  p (x0)　( a＜x0＜b )

三、教學示例～求值問題（含插值多項式） （例題1） 設p (x)＝3x4 – 14x3 + 19x2 – x – 3。試將p (x)表成 　p (x)＝a (x – 1)4 + b (x – 1)3 + c (x – 1)2 + d (x – 1) + e， 　(i) 求多項式的近似值 p ( 0.998 )（到小數第三位）。 　(ii) 將 p ( 1 + )表成a + b 的形式 。

p ( 0.998 )  7 ( – 0.002 ) + 4＝3.986 (2) 當x＝1 + 時，x – 1＝ ，故 例1 （解）反覆引用綜合除法 　p (x)＝3 (x – 1)4 – 2 (x – 1)3 – 5 (x – 1)2 + 7 (x – 1) + 4 (1) 當x＝0.998時，x – 1＝– 0.002，故 　　 p ( 0.998 )  7 ( – 0.002 ) + 4＝3.986 　　　 (2) 當x＝1 + 時，x – 1＝ ，故 　　 p ( 1 + ) 　　 ＝3 (　 )4 – 2 (　 )3 – 5 (　 )2 　 　+ 7 (　 ) + 4 　 ＝6 + 3 (綜合除法)

（註） (2) 有另一種解法。 　　(i) 當x＝1 + 時  ( x – 1 )2＝( )2 　　　　　　　　  x2 – 2x – 1＝0 　　　 即，取x＝1 + 時，多項式x2 – 2x – 1取值為0。 　　 (ii) 將p (x)除以x2 – 2x – 1得 　　　 　p (x)＝( x2 – 2x – 1 ) ( 3x2 – 8x + 6 ) + ( 3x + 3 ) 　　 故p ( 1 + )＝0 • ( 3x2 – 8x + 6 ) + 3 ( 1 + ) + 3 　　　　　　　　＝6 + 3

（例題2）插值多項式 試求滿足： 「p (1)＝10，p (2)＝5，p (3)＝6」之二次多項式p (x)。 　試求滿足： 　 「p (1)＝10，p (2)＝5，p (3)＝6」之二次多項式p (x)。 （即y＝p (x)的圖形過A ( 1, 10 )，B ( 2, 5 )，C ( 3, 6 )三點）

故p (x)＝3 ( x – 1 ) ( x – 2 ) – 5 ( x – 1 ) + 10 ── (A) 例2 （解法一）未定係數法 　反覆引用除法定理，可令 p (x)＝a ( x – 1 ) ( x – 2 ) + ( bx + k ) (餘式至多一次) 　　 　　＝a ( x – 1 ) ( x – 2 ) + b ( x – 1 ) + c 　由p (1)＝10  c＝10；　p (2)＝5  b＝– 5； 　　p (3)＝6  a＝3 　故p (x)＝3 ( x – 1 ) ( x – 2 ) – 5 ( x – 1 ) + 10 ── (A)   除式

例2（解法二）插值法 還有一種與中國孫子算法同源的著名解法。 例2（解法二）插值法 　　還有一種與中國孫子算法同源的著名解法。 （想法）(i) 先找出3個二次函數 P1 (x)、P2 (x)、P3 (x) 滿足 x 1 2 3 P1 (x) P2 (x) P3 (x) P1 (x)＝a ( x – 2 ) ( x – 3 )，由P1 (1)＝1 得出 a＝ ，故P1 (x)＝ 1 ( 1 – 2 ) ( 1 – 3 ) ( x – 2 ) ( x – 3 ) ( 1 – 2 ) ( 1 – 3 ) ( x – 1 ) ( x – 3 ) ( 2 – 1 ) ( 2 – 3 ) ( x – 1 ) ( x – 2 ) ( 3 – 1 ) ( 3 – 2 ) 同理，P2 (x)＝ ，P3 (x)＝

Lagrange　插值公式 　找出一個二次函數P (x)，在a，b，c三點 　取值為α，β，γ。

（想法）(i) 先找出3個二次函數 P1 (x)、P2 (x)、P3 (x) 使 x a b c P2 (x) P3 (x) P1 (x)＝k ( x – b ) ( x – c )，由P1 (a)＝1 得 k＝　　　　　　，故P1 (x)＝ ( x – b ) ( x – c ) ( a – b ) ( a – c ) 1 ( a – b ) ( a – c ) ( x – a ) ( x – c ) ( b – a ) ( b – c ) ( x – a ) ( x – b ) ( c – a ) ( c – b ) 同理，P2 (x)＝　　　　　　，P3 (x)＝

P (x)＝α‧P1 (x) +β‧P2 (x) +γ‧P3 (x) ＝α‧ +β‧ +γ‧ 則P (x) 就是所求 (ii) 其次取二次函數P (x) 為 　P (x)＝α‧P1 (x) +β‧P2 (x) +γ‧P3 (x) 　 　　　＝α‧　　　　 　 +β‧　　　　　 +γ‧ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 則P (x) 就是所求 ( x – b ) ( x – c ) ( a – b ) ( a – c ) ( x – a ) ( x – c ) ( b – a ) ( b – c ) ( x – a ) ( x – b ) ( c – a ) ( c – b )

Lagrange 插值公式 1. 圖形通過 ( a1 , b1 )、( a2 , b2 )、( a3 , b3 ) 三點的 二次插值多項式為 　二次插值多項式為 　 f (x) ＝b1‧　　　　 　　+ b2‧　　　　　　 + 　　　 b3‧ 2. 圖形通過 ( a1 , b1 )、( a2 , b2 )、( a3 , b3 )、( a4 , b4 ) 四點的 　三次插值多項式為 f (x)，則 　 f (x) ＝b1‧　　　　 　　　　　+ b2‧　　　　　　 　　　+ 　　　 b3‧　　　　 　　　　　+ b4‧　　　　　　 　　 。 ( x – a2 ) ( x – a3 ) ( a1 – a2 ) ( a1 – a3 ) ( x – a1 ) ( x – a3 ) ( a2 – a1 ) ( a2 – a3 ) ( x – a1 ) ( x – a2 ) ( a3 – a1 ) ( a3 – a2 ) ( x – a2 ) ( x – a3 ) ( x – a4 ) ( a1 – a2 ) ( a1 – a3 ) ( a1 – a4 ) ( x – a1 ) ( x – a3 ) ( x – a4 ) ( a2 – a1 ) ( a2 – a3 ) ( a2 – a4 ) ( x – a1 ) ( x – a2 ) ( x – a4 ) ( a3 – a1 ) ( a3 – a2 ) ( a3 – a4 ) ( x – a1 ) ( x – a2 ) ( x – a3 ) ( a4 – a1 ) ( a4 – a2 ) ( a4 – a3 )

四、孫子算法

謝謝大家，敬請指教！