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Chap 9 無窮級數 9.1 數列 9.2 級數和收斂 9.3 積分測試和p-級數 9.4 級數的比較 9.5 交錯級數
9.1 數列 9.2 級數和收斂 9.3 積分測試和p-級數 9.4 級數的比較 9.5 交錯級數 9.6 比例與根式測試 9.7 Taylor多項式和近似值 9.8 冪級數 9.9 以冪級數表示函數 9.10 Taylor和Maclaurin級數
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Section 9.1 數列 學習目標: • 依序排出數列 • 決定數列的斂散性 • 寫出一般項數列的公式
• 單調和有界數列的性質的應用以及決定數列的斂散性
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例題 依序排出數列 Solution:
4
定義數列的極限
5
定理 數列的極限
6
例題 求數列的極限 Solution:
7
定理 數列極限的性質
8
例題 決定數列的斂散性 Solution:
9
例題4 利用L’Hôpital’s原理決定數列的收斂
Solution:
10
定理 9.3 求數列極限的夾擠定理
11
例題 夾擠定理的應用 Solution:
12
定理 絕對值定理
13
觀察數列的規律
14
例題 求數列的第n項 Solution:
15
例題 求數列的第n項 Solution:
16
單調數列的定義:
17
例題 決定數列是否單調 Solution:
18
有界數列的定義:
19
定理 單調有界數列
20
例題 單調有界數列 Solution:
21
Section 9.2 級數與收斂 學習目標: •了解無窮級數收斂的定義 •利用無窮幾何級數(無窮等比級數)的性質
•利用一般項檢驗無窮級數的發散
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級數收斂和發散的定義:
24
例題 級數的收斂和發散 Solution:
25
例題 改寫為望遠鏡級數 Solution:
26
幾何級數
27
定理 9.6 幾何級數的收斂和發散 證明:
28
例題 幾何級數的收斂和發散 Solution:
29
例題 循環小數化為分數 Solution:
30
定理 無窮級數的性質
31
定理 9.8 收歛級數一般項的極限 證明:
32
定理 利用一般項檢驗發散
33
例題 利用一般項檢驗發散 Solution:
34
Section 9.3 積分測試和p-級數 學習目標: • 利用積分測試判斷無窮級數是否收歛 • 利用p-級數和調和級數的性質
35
定理 積分測試 證明:
36
例題 積分測試的應用 Solution:
37
例題 積分測試的應用 Solution:
38
p-級數與調和級數
39
定理 p-級數的收斂和發散 證明:
40
例題 p-級數的收斂和發散 Solution:
41
例題 測試級數的斂散性 Solution:
42
Section 級數的比較 學習目標: • 利用(直接)互比測試決定級數的斂散性 • 利用極限互比測試決定級數的斂散性
43
定理 (直接)互比測試
44
例題 (直接)互比測試的應用 Solution:
45
例題 (直接)互比測試的應用 Solution:
46
定理 極限互比測試 證明:
47
例題 極限互比測試的應用 Solution:
48
例題 極限互比測試的應用 Solution:
49
例題 極限互比測試的應用 Solution:
50
Section 9.5 交錯級數 學習目標: • 利用交錯級數測試來決定一個無窮級數是否收歛 • 利用交錯級數餘式來求交錯級數和的近似值
• 收歛，條件收斂和絕對收斂 • 重排無窮級數可能得到不同的和
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定理 交錯級數測試 證明:
52
例題 利用交錯級數測試 Solution:
53
例題 無法引用交錯級數測試的情形 Solution:
54
定理 交錯級數的餘項 證明:
55
例題 求交錯級數的近似值 Solution:
57
定理 絕對收斂 證明:
58
絕對和條件收斂的定義
59
例題 絕對和條件收斂 Solution:
60
Section 9.6 比例與根式測試 學習目標: • 利用比例測試決定一個級數是否收歛 • 利用根式測試決定一個級數是否收歛
• 複習本章所學的各種測試
61
定理 比例測試 證明:
62
例題 利用比例測試 Solution:
63
例題 利用比例測試 Solution:
64
例題 比例測試失敗 Solution:
65
定理 根式測試
66
例題 利用根式測試 Solution:
67
測試斂散性的引導法則
68
Section 9.7 Talor多項式和近似值 學習目標: • 求基本函數的多項式近似並與原基本函數比較
• 求基本函數的Talor和Maclaurin多項式近似 • 求Talor多項式的餘項
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例題1 Solution:
70
例題2 Solution:
71
n次Talor多項次和n次Maclaurin多項式的定義:
72
例題 求 ln x 的Talor多項式 Solution:
73
例題5 求cos x的Maclaurin多項式
Solution:
74
例題7 以Maclaurin多項式求近似值 Solution:
75
Talor多項式的餘項
76
定理 Talor定理
77
例題 決定近似值的準確度 Solution:
78
例題 要求準確度的近似值 Solution:
79
Section 9.8 冪級數 學習目標: • 了解冪級數的定義 • 求冪級數的收斂區間和收歛半徑 • 決定冪級數在收斂區間的端點是否收歛
• 冪級數的微分和積分
80
冪級數的定義:
81
收歛半徑和收斂區間
82
定理9.20
83
例題 求收斂半徑 Solution:
84
例題 求收斂半徑 Solution:
85
例題 求收斂半徑 Solution:
86
在端點的斂散性 (Endpoint Convergence)
87
例題 求收斂區間 Solution:
88
例題 求收斂區間 Solution:
89
定理 以冪級數定義的函數的性質
90
例題8 Solution:
91
例題8 Solution:
92
Section 9.9 以冪級數表示函數 學習目標: • 將一個函數表成幾何冪級數 • 利用級數的運算求冪級數
94
例題1 求以0為中心的幾何冪級數 Solution:
95
例題2 求以1為中心的幾何冪級數 Solution:
96
冪級數的運算
97
例題 兩個冪級數的和 Solution:
98
例題 積分求冪級數 Solution:
99
例題 積分求冪級數 Solution:
100
Section 9.10 Talor和Maclaurin級數
學習目標: • 求函數的Talor或Maclaurin級數 • 求二項級數 • 利用已知Talor級數求其他的Taloir級數
101
定理 收歛冪級數的形式 證明:
102
Talor和Maclaurin的定義
103
例題 寫下冪級數 Solution:
104
定理 Talor級數的斂散性 證明:
105
例題 一個收斂的Maclaurin級數 Solution:
106
求Talor級數的引導法則
107
例題 合成函數的Maclaurin級數 Solution:
108
例題 二項級數 Solution:
109
例題 求二項級數 Solution:
110
例題 從基本表求冪級數 Solution:
111
例題 的冪級數 Solution:
112
例題 定積分的冪級數近似法 Solution:
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