第 4 章 質點與波動

波耳模型尚有其他困難。比方說，它只能圓滿解釋氫原子模型。至於其他更複雜的原子， 其光譜有著被稱為「精細結構（fine structure）」、較氫原子光譜複雜甚多的細微變化。關於這些實驗結果，波耳模型則無能為力。

波耳和索莫非（Arnold Sommerfeld）在稍後提出了一個含有一系列離心率不同的橢圓電 子軌道的原子模型，藉由以量子化條件來調控這些橢圓軌道的形狀，以及引入相對論來 修正計算結果，成功的解釋精細結構。兩人並以此發展出波耳-索莫非量子化關係式 （Bohr-Sommerfeld quantization），此一結果至今依然在部份統計力學（statistical mechanics）的領域大行其道。

物質波的實驗 圖 4-2 Bohr 軌道中之n=3 及 n=6 的駐波

然而，隨後，又有實驗結果指出，在電子數更多的原子 中，又有更複雜的「超精細結構（hyperfine structure）」使得其光譜顯現出其他變 化。這一次，波耳再也無法修正其模型以符合之。

然而，波耳對於原子光譜的大膽假設，已經在物理學界掀起漣漪。以能量躍遷，而非古 典的電荷加速度運動，來說明電磁輻射來源，這樣的變革性假設引起了許多物理學家的 注意，並試圖以這個觀念出發，推演出其他的結果。

1923年，德布羅依（de Broglie） 為了尋找一個能圓滿解釋波耳模型、並將其推廣至適用於所有原子的理論，提出了「物 質波（matter wave）」概念。該概念的核心為「波粒二象性（wave–particle duality）」，即是說，任何物質都具有波的性質，無法定義出其確切位置。以公式表達 此學說，即為： λ=h/p λ是某物體的「物質波」波長，h是蒲朗克常數，p是物體的動量。

利用物質波的觀念，可進一步解釋波耳先前關於角動量的假定：原子中電子的角動量必 須是蒲朗克常數h的整數倍。推導過程如下： 考慮圓周運動的情況，則電子角動量與動量的關係為： L = n(h/2π) = rp r是電子與原子核的距離，亦即原子半徑。 代入德布羅依的物質波公式 λ = h/p： nh/2π = r．h/λ 整理可得：

2πr = nλ 此式左側是圓周長，右側則是電子物質波波長的整數倍。這條公式的含意即是： 電子的物質波必須在其軌道上形成駐波，宛若某種「共鳴」。此一結果之大膽、創新，在當時 極具震撼力。

行進波的一些性質 圖 4-1

1927年Davisson和Germer以電子進行Bragg方法當作物質波的實驗 (如圖4-3所示)。在此實驗中，物質波 (電子線) 的波長λ與散射角θ僅在滿足下式 (4-28) 時，才有其甚強的反射波 。證實了電子確實能表現出波才有的繞射效應。德布羅依因此以物質波理論獲得1929年諾貝爾物理學獎。

物質波

物質波(matter wave) 物質波又稱德布羅意波(de Broglie wave)，是1923年由法國物理學家 路易‧德布羅意(Louis Victor de Broglie)提出，是指所有粒子都存在波動的特性，例如電子經過雙狹縫會干涉。 而物質存在粒子與波動的特性，就是所謂的波動-粒子二相性(wave-particle duality)。

物質波(matter wave) 粒子性與波動性是兩個截然不同的行為，粒子性符合牛頓運動定律所描述的粒子，例如古典物理中所認知的電子、原子、棒球等等，而波動通常是一種藉由介質(群體粒子的行為)來傳遞能量的行為，例如聲波、水波;但有些波動則不需要介質傳遞能量，例如光波。

物質波(matter wave) 最先提出二相性的看法是因為對光的研究。於1704年牛頓(Isaac Newton)在光學這本著作中，認為光是由一群非常微小的粒子所組成，但直到楊氏雙狹縫干涉實驗以及馬克士威的波動方程式之提出，人們才從實驗與理論上奠定了光的波動性，並推翻了牛頓的微粒說。

物質波(matter wave) 由於光子的能量是E=hν=hc/λ，其中h為普朗克常數、 ν為光的頻率、c為真空中的光速，但另一方面古典電磁理論又說E=Pc ，其中P為電磁波的動量，故可得到光子的動量是P=h/λ，德布羅意遂將此觀念推廣到所有的物質粒子，假設其物質波之波長跟動量成反比，即 λ=h/P。

物質波(matter wave) 但是在1905年愛因斯坦由光電效應的實驗結果提出了光是由一顆一顆的光量子(light quantum，後來被稱為光子photon)所組成之概念，所以光同時俱有粒子或是波動的特性，而當實驗中光若顯現粒子性的時候波動性則不明顯，反之亦然。

物質波(matter wave) 由於光子的能量是E=hν=hc/λ 其中h為普朗克常數、 ν為光的頻率、c為真空中的光速 但另一方面古典電磁理論又說E=Pc ，其中P為電磁波的動量，故可得到光子的動量是P=h/λ，德布羅意遂將此觀念推廣到所有的物質粒子，假設其物質波之波長跟動量成反比，即 λ=h/P。

物質波(matter wave) 物質波概念的實驗證明首先由戴維森(C. Davisson)與革末(L. Germer)以及湯姆森(G.P. Thomson)所分別完成。 此實驗證明了電子的波動性並在2002年被Physics World雜誌讀者選為最美麗的物理實驗。1999年，大分子如C60 (直徑約 0.7 nm)也觀察到波的特性。

物質波(matter wave) 每0.1秒從上端射出一顆經過50kV加速的電子，速度大約是0.4倍光速，經過一個中間是1微米的金屬細絲的平行板，電子只能走左邊或右邊這兩條路徑，最後抵達下面的屏幕記錄下來 Double-slit experiment with single electrons

物質波(matter wave) 屏幕累積20分鐘(記錄了12000顆電子)如圖2(d)，已經可以看出明顯的干涉條紋，這是非常令人興奮的結果，因為每次只發射一顆電子落到屏幕上，跟第二顆電子完全沒有關係，但是統計了12000顆電子之後，卻有亮暗紋的產生，代表每一顆電子會落在屏幕的機率分布是確定的(波函數的絕對值平方就是電子出現的機率)，但每一顆電子落在屏幕的位置卻是無法事先預測[3] 對此實驗結果，可以解釋在屏幕上的機率分佈是同一顆電子經過左狹縫跟右狹縫路徑干涉的結果，但是我們卻不知道這顆電子會落在屏幕的哪個位置，只能算出電子落在屏幕的機率分佈。而這個波動的特性，就是電子的物質波。

物質波(matter wave) 理論上，我們也可以計算現實生活中的物質波，例如投手王建民將一顆150克的棒球以時速144公里/小時丟出，物質波的波長約為1.1 x 10-34公尺，遠小於可以量測的極限，所以在日常生活中觀察不到這個現象。

p=mv, E=mc2

測不準原理 圖 4-6 電子束經狹縫所產生的繞射

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