第三模块 函数的微分学 第一节 导数的概念 一、瞬时速度 曲线的切线斜率 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、导数的物理意义 五、导函数 第三模块　函数的微分学 第一节　导数的概念 一、瞬时速度 曲线的切线斜率 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、导数的物理意义 五、导函数 六、可导与连续的关系

一、瞬时速度 曲线的切线斜率 1.变速直线运动的瞬时速度 如果物体作直线运动， 在直线上选取坐标系， 一、瞬时速度 曲线的切线斜率 1.变速直线运动的瞬时速度 如果物体作直线运动， 在直线上选取坐标系， 该物体所处的位置坐标 s 是时间 t 的函数，记为 s = s(t)， 则从时刻 t0 到 t0 + t 的时间间隔内它的平均速度为

但在变速运动中，它不仅与 t0 有关， 这个比值是常量， 在匀速运动中， 而且与 t 也有关， 当 t 与在 t0 时刻的速度相近似. 很小时， 平均速度 的极限存在， 如果当 t 趋于 0 时， 叫做物体在 t0 时刻的瞬时速度，简称速度， 则将这个极限值记作 v (t0)， 即

2.曲线切线的斜率 点 P 是曲线 L 上的动点， 定义 设点 P0 是曲线 L 上的一个定点， 当点 P 沿曲线 L 趋向于点 P0 时， 如果割线 PP0 的极限位置 P0 T 存在， 则称直线 P0 T 为曲线 L 在点 P0 处的切线. y O x L 设曲线方程为 y = f (x). y = f (x) 在点 P0(x0, y0) 处的附近取一点 P(x0 + x , y0 + y ) . T P y P0 N x 那么割线 P0 P 的斜率为   x0 x0+x

如果当点 P 沿曲线趋向于点 P0 时，割线 P0P 的极限位置存在， 此刻 x  0，  ， 割线斜率 tan  趋向切线 P0 T 的斜率 tan ， 即 T P0 P x0 x0+x y O x  N  L x y y = f (x) 切线定义

二、导数的定义 定义 设函数 y = f (x) 在点 x0 的一个邻域内有定义. 　　　　在 x0 处给 x 以增量 x (x0 + x 仍在上述邻域内)， 函数 y 相应地有增量 y = f (x0 + x ) - f (x0) ，

　　则称此极限值为函数y = f (x)在点 x0 处的导数. 即 此时也称函数 f (x) 在点 x0 处可导. 如果上述极限不存在，则称 f (x) 在 x0 处不可导.

例 1 求函数 f (x) = x2 在 x0 = 1 处的导数，即 f (1). 解 第一步求 y ： 　 y = f (1+ x) - f (1) = (1+ x)2 - 12 = 2x +(x)2 . 第二步求 ： 第三步求极限： 所以， f (1) = 2.

三、导数的几何意义 函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义 就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 ，f (x0)) 处的切线的斜率, 即 tan  = f (x0). y O x y = f (x) P  x0

由此可知曲线 y = f (x)上点 P0 处的切线方程为 y - y0 = f ( x0)(x - x0) . 法线方程为 其中 y0 = f ( x0).

　　例 2　求曲线 y = x2 在点 (1, 1) 处的切线和法线方程. 　　解　从例 1 知 (x2) |x=1 = 2 , 即点 (1, 1) 处的切线斜率为 2 ， 所以, 切线方程为 y – 1 = 2(x - 1). y = 2 x - 1. 即 法线方程为 即

四、导数的物理意义 对于不同的物理量有着不同的物理意义. 　　对于不同的物理量有着不同的物理意义. 例如变速直线运动路程 s = s(t) 的导数，就是速度，即 s(t0) = v(t0). 我们也常说路程函数 s(t) 对时间的导数就是速度.

五、导函数 例 3 求函数 y = x2 在任意点 x0  ( ,  )处的导数. 解 求法与例 1 一样. 第一步求 y： y = f (x0 + x) - f (x0) = (x0 + x)2 - x02 = 2x0x + (x) 2. 第二步求 ：

第三步取极限： 即 　　有了上式，求具体某一点，如 x0 = 1 处导数，就很容易了，只要将 x0 = 1 代入即得

　　例 3 表明，给定了 x0 就对应有函数 f (x) = x2的导数值, 这样就形成了一个新的函数， 叫做函数 f (x) = x2 的导函数，它的表达式就是 (x2) = 2x . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　它的计算公式是： 一般地，函数 f (x) 的导函数记作 f (x)，

类似例 3，我们可以得 xn (n为整数) 的导函数， (xn)= nxn-1 . 当 n 为任意实数  时，上式仍成立，即 (x ) = x -1 .

例 4　求 f (x) = sin x 的导函数 ( x  ( ， )). 解 即 (sin x) = cos x. 类似可得 (cos x) = - sin x.

例 5　求 f (x) = ln x (x (0,  ) ) 的导函数. 解 即 类似可得

例 6　求 f (x) = ex (x (-  ,  ) ) 的导函数 . 解 即 (ex) = ex. 类似可得 (ax) = ax lna .

　　例 7　问曲线 y = ln x 上何处的切线平行直线 y = x + 1？ 解 设点 ( x0 , y0 ) 处的切线平行直线 y = x + 1， 根据导数的几何意义及导函数与导数的关系，可知 所以曲线在点 (1, 0 ) 处的切线平行直线 y = x + 1. 即 x0 = 1，代入 y = lnx 中，得 y0 = 0，

存在，则称此极限值为 f (x) 在点 x0 处的左导数，记作 定义 如果 同样， 则称此极限值为 f (x) 在点 x0 处的右导数，记作 f +(x0) . 　　显然，f (x) 在 x0 处可导的充要条件是 f -(x0) 及 f  +(x0) 存在且相等 . 　　定义　如果函数 f (x) 在区间 I 上每一点可导，则称 f (x) 在区间 I 上可导. 如果 I 是闭区间[a, b]，则端点处可导是指 f +(a)、 f -(b) 存在 .

六、可导与连续的关系 定理 如果函数 y = f (x) 在点 x0 处可导, 则 f (x) 在点 x0 处连续，其逆不真. 证 其中 y = f (x0 + x) - f (x0)， 所以 即函数 f (x) 在点 x0 处连续. 但其逆不真，即函数 f ( x ) 在点 x0 处连续， 而函数 f ( x ) 在点 x0 处不一定可导.

　　例 8 讨论函数 y = | x | 在点 x0 = 0 处的连续性与可导性. 解　 y = f (0 + x ) - f (0) = | 0 + x | - | 0 | = | x |，

即 f ( x ) = | x | 在 x0 = 0 处连续， 存在， 因为 在 x0 = 0 处左、右导数不相等，所以在 x = 0 处函数 y = | x | 不可导.

例 9 讨论函数 在 x = 1 处的连续性与可导性. 解 先求在 x = 1 时的 y . 当 x < 0 时， 例 9　讨论函数 ≤ 在 x = 1 处的连续性与可导性. 解　先求在 x = 1 时的 y . 当 x < 0 时， y = f (1 + x) - f (1) = (1 + x)2 + (1 + x) - 2 = 3x + (x)2，

当 x > 0 时， y = f (1+ x) - f (1) = 2(1+ x)3 - 2 = 6x + 6(x)2 + 2(x)3 ， = 6 + 6x + 2(x)2 .

容易算出 从而知 又 因此 所以函数在 x = 1 处连续，但不可导.

七、偏导数的概念 １．偏导数的定义 定义 则增量 称为函数 z 对 x 的偏增量， 记为 xz ， 即 比值 的极限存在， 如果当 时，

为函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处 对 x 的偏导数， 则称此极限值 记作 即

同样， z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处对 y 的偏导数定义为 记作 或 其中 称为函数 z 对 y 的偏增量.

如果 f (x , y) 在区域 D 内每一点 (x , y) 处对 x 的偏导数都存在， 此函 数称为函数 z = f ( x , y ) 对自变量 x 的偏导函数， 那么这个偏导数是 x , y 的函数， 记作 可以定义函数 z = f (x , y) 对自变量 y 的偏导 函数， 类似地， 记作 在不致混淆的情况下， 偏导函数也称偏导数.