Copyright © Cengage Learning. All rights reserved. 12.3 速度與加速度 Velocity and Acceleration Copyright © Cengage Learning. All rights reserved.
目的 用向量值函數來描述速度與加速度 用向量值函數來分析投影動作
Velocity and Acceleration 速度與加速度 Velocity and Acceleration
速度與加速度 當一個物體沿著一平面曲線移動，質心的x和y座標都是時間t的函數 我們會用x = x (t) 和y = y(t)來描述這個關係，而不是用 f 跟 g這兩個函數來表示 所以目標向量為r(t) = x(t)i + y(t)j，而不是r(t) = f(t)i +g(t)j。
速度與加速度 要找到由 t 來表示速度與加速度的向量，想像一個在 r(t) = x(t)i + y(t)j上的點Q(x(t + t), y(t + t)) ，在曲線C上 趨近於P(x(t), y(t)) 。
速度與加速度 當 t 0, 向量 的分量 r 隨著時間運動的軌跡 r = r(t + t) – r(t) 如果這個極限存在，他會被定義為P點的速度向量或切線向量
速度與加速度 向量r‘(t) 的大小為 而對r‘(t)再求一次極限，就可以得到加速度為r‘’(t) 。
速度與加速度 速度與加速度的定義: 如果ｘ,ｙ是以t為參數的不相同的可微函數 ，且r定義如下 則速度，加速度，以及速率的關係如下
例題1-找出速度與加速度 計算一個物體沿著平面曲線C的速度，速率以及加速度 解法: 速度: 速率:
例題1-解法 cont’d 則加速度向量為
拋物曲線 Projectile Motion
拋物曲線 你現在已經把一個拋物曲線拆成很多個分量，我們現在假設重力是某物體發射後唯一對拋物線有作用的力，那麼我們可以把發射到落地的情況繪製能下圖
拋物曲線 如果拋射物質量m，則引力造成的重力為 F = – mgj 而其中重力加速度g=32尺/秒，或9.81公尺/每秒 藉由牛頓第二定律，加速度a = a(t), 也證明了F = ma 所以，加速度為ma = – mgj 消除m可得a = –gj
例題五-拋物線方程式的微分 一個質量為m的物體從初始位置r0 發射的初始速度為v0 找出它的軌跡方程式 解法: 對a(t) = –gj 積分兩次 v(t) = a(t) dt = –gj dt = –gtj + C1 r(t) = v(t) dt = (–gtj + C1)dt = gt2j + C1t + C2
例題五-解 把初始條件帶入v(0) = v0， r(0) = r0 去解出常數C1 和C2 可以得到C1 = v0 C2 = r0 cont’d 把初始條件帶入v(0) = v0， r(0) = r0 去解出常數C1 和C2 可以得到C1 = v0 C2 = r0 所以拋物線的軌跡方程式為 r(t) = gt2j + tv0 + r0.
拋物曲線 在許多拋物問題中，初始值r0 和 v0 並不是每次都可以知道的 有時會給你其他的條件 例如: 最高點高度 初始速度 發射角度θ Figure 12.18
拋物曲線 如果給定高度，則r0 = hj，因為速率是初始速度的大小 像v0 = ||v0|| 則你可以列出以下方程式 v0 = xi + yj = (||v0|| cos θ)i + (||v0|| sin θ)j = v0cos θi + v0sin θj.
拋物曲線 所以拋物線軌跡方程式可以被寫成 = gt2j + tv0cos θi + tv0sin θj + hj = (v0cos θ)ti +
拋物曲線 理論12.3 拋物線的軌跡方程式 忽略空氣阻力，一個物體在高度h的地方被發射，初始速度為v0、角度為θ、重力加速度為g，則向量方程式為
例題6-棒球的路徑 一個棒球在離地面三尺高的位置被打擊，與水平面夾角度為45度以及初始速度為100尺/每秒 計算出棒球離地的最高高度，他會撞擊到10尺高的距離本壘包300呎的籬笆嗎? Figure 12.19
例題六-解 根據題意得知 h = 3, v0 = 100, θ = 45° 而g=32尺/每秒
例題六-解 cont’d 最高點發生在 而最高點發生時的時間為 所以最高高度為
例題六-解 當球再300尺的時候 計算這方程式可以得到 在此時球的高度為 = 303 – 288 = 15 feet. cont’d 當球再300尺的時候 計算這方程式可以得到 在此時球的高度為 = 303 – 288 = 15 feet. 因此，棒球會飛越10尺高的籬笆，造成一全壘打