2．1　合情推理与演绎推理  2．1.1　合情推理

学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理． 2．了解合情推理在数学发现中的作用．

课前自主学案  2．1.1　合情推理 课堂互动讲练 知能优化训练

课前自主学案 温故夯基 2n－1 10n－1

知新益能 1．归纳推理 由某类事物的________具有的某些特征，推出该类事物的________都具有这些特征的推理，或者由____事实概括出________的推理，称为________(简称归纳)．简言之，归纳推理是由__________、由__________的推理． 部分对象 全部对象 个别 一般结论 归纳推理 部分到整体 个别到一般

2．类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称____)．简言之，类比推理是由__________的推理． 3．合情推理 归纳推理和类比推理都是根据______事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行____、____，然后提出____的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“________”的推理． 类比 特殊到特殊 已有的 归纳 类比 猜想 合乎情理

问题探究 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？ 提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．

根据数列前几项的特征，归纳出其通项公式或求和公式． 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3…) 课堂互动讲练 考点突破 数列中的归纳推理 根据数列前几项的特征，归纳出其通项公式或求和公式． 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3…) (1)求a2，a3，a4，a5； (2)归纳猜想通项公式an. 例1

【解】 (1)当n＝1时，知a1＝1， 由an＋1＝2an＋1得a2＝3， a3＝7，a4＝15，a5＝31 【解】 (1)当n＝1时，知a1＝1， 由an＋1＝2an＋1得a2＝3， a3＝7，a4＝15，a5＝31. (2)由a1＝1＝21－1， a2＝3＝22－1， a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1， a5＝31＝25－1， 可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N*)

【思维总结】　猜想通项公式时，首先从整体形式上分析：整数型、分数型、根式型等，再利用两相邻项之间相减、相除、加减某常数、平方等运算寻找规律．

几何中的归纳推理 根据特殊几何图形的位置关系或者度量关系，归纳出所有图形的这种关系．

例2 如图所示，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，将圆最多分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．

(1)在圆内画5条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？ (2)猜想：在圆内画n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？ 【思路点拨】 每增加一条线段，与前面的每条线段最多产生1个交点，而新增加的第n条线段最多与前面的n－1条线段产生n－1个交点，则这n－1个点把第n条线段分为n段．每段把所在区域一分为二，共增加了n块区域且这n－1个点把这些点所在的线段一分为二，又增加了n－1条线段，这样就有：区域增加了n块，线段增加了n＋(n－1)＝2n－1条．

【解】 设在圆内画n条线段，彼此最多分割成的线段为f(n)条，将圆最多分割成g(n)部分． (1)当n＝5时，f(5)＝f(4)＋4＋5＝16＋4＋5＝25，g(5)＝g(4)＋5＝11＋5＝16. (2)猜想：在圆内画n(n≥2)条线段，彼此最多分割成f(n)＝n2条线段． ∵g(1)＝2， g(2)＝g(1)＋2， g(3)＝g(2)＋3， g(4)＝g(3)＋4， ……

【思维总结】 此题中，每增加一条直线，比原来增加几个交点、增加几部分，这种递推关系是解题的关键． 变式训练2 在平面内观察： 凸四边形有2条对角线， 凸五边形有5条对角线， 凸六边形有9条对角线， …

由此猜想凸n(n≥4且n∈N*)边形有几条对角线？

类比推理 类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．

例3 如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．

【解】 如图所示，在四面体P—ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.

【思维总结】　四面体(三棱锥)很多性质都可以由三角形的性质类比得出．

方法感悟 方法技巧 1．归纳推理具有从特殊到一般，由具体到抽象的认知功能．在数列问题中，常用归纳推理猜测求解数列的通项公式，其具体步骤是： (1)通过条件求得数列中的前几项； (2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式并加以证明．

2．在几何图形中，随着点、线、面等几何元素的变化，探究相应的线段、区域交点的变化情况常用归纳推理的方法解决，分析时要注意规律的寻找． 3．类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．常用的类比有：

平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形 面 体积 二面角 四面体

失误防范 1．归纳推理、类比推理的结论不一定可靠，要经证明后方可确知． 2．由同样的特殊事物归纳出的一般性的结论不一定是唯一，如同数列的通项公式不唯一．

知能优化训练

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