第四章 常用概率分布 韩国君 教授

第一节 正态分布 Normal Distribution

正态分布(normal distribution) 定义 若连续型随机变量x的概率分布密度函数为 其中μ为平均数，σ2为方差，则称随机变量x服从正态分布， 记为x～N(μ,σ2)。相应的概率分布函数为

正态分布 正态分布密度曲线是单峰、对称的悬钟形曲线，对称轴为x=μ； f(x) 在 x =μ 处达 到 极 大 ， 极大值 ；

正态分布 正态分布有两个参数，即平均数μ和标准差σ

正态分布 分布密度曲线与横轴所夹的面积为1，

标准正态分布(standard normal distribution) 随机变量u服从标准正态分布，记作u～N(0，1)

标准正态分布 对于任何一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量x，都可以通过标准化变换 u=(x-μ)／σ u称为标准正态变量或标准正态离差(standard normal deviate)

三、正态分布的概率计算 设u服从标准正态分布，则 u 在[u1,u2 ）何内取值的概率为： ＝Φ(u2)－Φ(u1) 而Φ(u1)与Φ(u2) 可由附表1查得。

标准正态分布 正态分布的对称性可推出下列关系式， 再借助附表1 ， 便能很方便地计算有关概率： P(0≤u＜u1)＝Φ(u1)-0.5 P(u1≤u＜u2)＝Φ(u2)-Φ(u1)

计算 已知u～N(0，1)，试求： (1) P(u＜-1.64)＝? (2) P (u≥2.58)=? (3) P (｜u｜≥2.56)=?

计算 查附表1得： (1) P(u＜-1.64)=0.05050 (2) P (u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940 =2Φ(-2.56)=2×0.005234 =0.010468 (4) P (0.34≤u＜1.53) =Φ(1.53)-Φ(0.34) =0.93669-0.6331=0.30389

关于标准正态分布，以 下几种概率应当熟记： P（-1≤u＜1）=0.6826 P（-2≤u＜2）=0.9545 P（-3≤u＜3）=0.9973 P（-1.96≤u＜1.96）=0.95 P (-2.58≤u＜2.58)=0.99

计算 u变量在上述区间以外取值的概率分别为： P(｜u｜≥1)=2Φ(-1)=1- P(-1≤u＜1) =1-0.6826=0.3174 =1-0.9545=0.0455 P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027 P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05 P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01

由表4—2可见，实际频率与理论概率相当接近，说明126头基础母羊体重资料的频率分布接近正态分布，从而可推断基础母羊体重这一随机变量很可能是服从正态分布的

双侧概率和单侧概率 随机变量x落在平均数μ加减不同倍数标准差σ区间之外的概率称为双侧概率(两尾概率)，记作α。对应于双侧概率可以求得随机变量x小于μ-kσ或大于μ+kσ的概率，称为单侧概率(一尾概率),记作α/2。例如，x落在(μ-1.96σ,μ+1.96σ)之外的双侧概率为0.05，而单侧概率为0.025。 P(x<μ-1.96σ)=P(x>μ+1.96σ)=0.025

x落在(μ-2.58σ,μ+2.58σ)之外的双侧概率为0.01，而单侧概率 P(x<μ-2.58σ)=P(x>μ+2.58σ)=0.005

卡方分布 Chi-square Distribution 第二节 卡方分布 Chi-square Distribution

定义 如果随机变量zi(i = 1, ..., n)为相互独立，都服从标准正态分布，则定义： , i = 1, ..., n 变量2服从自由度等于n卡方分布（chi – square distribution）。

卡方分布曲线 图4-1 不同自由度下的2分布 图4-2 2分布的上侧和下侧分位数示意图

卡方分布特征 卡方分布于区间[0，+)，并且呈反J形的偏斜分布。 卡方分布的偏斜度随自由度的降低而增大，当自由度等于1时，曲线以纵轴为渐近线。 随自由度的增大，卡方分丰曲线渐趋左右对称，当df > 30时，卡方分布已接近正态分布。

第三节 t分布

定义 如果z~N(0,1), 2服从自由度等于n的卡方分布, 则 为自由度为n的t分布 t分布的形状与正态分布相似

t 分布 不同自由度下的t分布 t分布双侧分位数示意图

t 分布密度曲线特点 t分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条t分布密度曲线。 与标准正态分布曲线相比，t分布曲线顶部略低，两尾部稍高而平。df越小这种趋势越明显。df越大，t分布越趋近于标准正态分布。当n >30时，t分布与标准正态分布的区别很小；n >100时，t分布基本与标准正态分布相同；n→∞时，t 分布与标准正态分布完全一致。

第四节 F分布

定义

F分布图 (2,6)(6,10)(10,20)

F分布有以下特征 F分布的平均数等于1，取值区间为[0，+)。 F分布曲线的形状仅决定于df1和df2。当df1=1或2时，F分布曲线呈严重倾斜的反向J形，当df13时，转为左偏曲线。

第五节 样本平均数的抽样分布

定义 样本变异性(sampling variability)：简单随机样本平均数间存在差别。或抽样误差(sampling error) 样本分布(sampling distribution)：指样本的概率分布。

样本平均数的分布 从N个总体中随机抽取样本含量为n的样本，共抽m次，求样本平均数的分布(sample distribution for the mean)。 计算每个样本的平均数 列出每次抽样的平均数，并列出每个平均数的频率 直观观察

例题1 一个骰子掷两次算一次抽样，求所有样本的样本平均数和方差 1 2 3 4 5 6 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

例题 2 平均数 频率 相对频率 1.0 1 0.028 1.5 2 0.056 2.0 3 0.083 2.5 4 0.111 3.0 5 0.139 3.5 6 0.167 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 总和 36 1.000

样本平均数的分布 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

定理 情况1. 如果总体服从正态分布，平均数为，方差为2，样本含量为n，则样本为： 正态分布 平均数等于 方差等于 2/n，SQRT（ 2/n ）称为平均数的标准差(standard error of the mean), 或简称标准误

定理 情况2：当总本不是服从正态分布，平均数为，方差为2，样本含量为n，则样本为： 近似服从正态分布，随样本越大，近似越好。与总体分布的形状有关。一般地，样本数30或者30以上，近似会比较好（中心极限定理, Central Limit Theorem, CLT）。 平均数等于 方差等于 2/n，SQRT（ 2/n ）为平均数的标准误(standard error of the mean)或标准误

总体 平均数的期望

样本平均数的方差