第 6 章 统计量及其抽样分布 作者：中国人民大学统计学院 贾俊平 PowerPoint 统计学.

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1 第 6 章 统计量及其抽样分布 作者：中国人民大学统计学院 贾俊平 PowerPoint 统计学

2 第 6 章 统计量及其抽样分布 6.1 统计量 6.2 关于分布的几个概念 6.3 由正态分布导出的几个重要分布
第 6 章 统计量及其抽样分布 6.1 统计量 6.2 关于分布的几个概念 6.3 由正态分布导出的几个重要分布 6.4 样本均值的分布与中心极限定理 6.5 样本比例的抽样分布 6.6 两个样本平均值之差的分布 6.7 关于样本方差的分布

3 学习目标 了解统计量及其分布的几个概念 了解由正态分布导出的几个重要分布 理解样本均值的分布与中心极限定理
掌握单样本比例和样本方差的抽样分布

4 6.1 统计量 统计量的概念 常用统计量 次序统计量 充分统计量

5 统计量 (statistic) 设X1,X2,…,Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数T(X1,X2,…,Xn)，不依赖于任何未知参数，则称函数T(X1,X2,…,Xn)是一个统计量 样本均值、样本比例、样本方差等都是统计量 统计量是样本的一个函数 统计量是统计推断的基础

6 次序统计量 一组样本观测值X1,X2,…,Xn由小到大的排序 X（1）≤X（2）≤…≤ X（i）≤…≤ X（n）
中位数、分位数、四分位数等都是次序统计量

7 6.2 关于分布的几个概念 抽样分布 渐进分布 随机模拟获得的近似分布

8 抽样分布 (sampling distribution)
样本统计量的概率分布，是一种理论分布 在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可 能取值形成的相对频数分布 随机变量是 样本统计量 样本均值, 样本比例，样本方差等 结果来自容量相同的所有可能样本 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推 断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据

9 6.3 由正态分布导出的几个重要分布 2分布 t 分布 F 分布

10 2 分布

11 2分布 (2 distribution) 由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海尔墨 特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson) 分别于1875 年和1900年推导出来 设 ，则 令 ，则 Y 服从自由度为1的2分布，即 当总体 ，从中抽取容量为n的样本，则

12 2分布 (性质和特点) 分布的变量值始终为正 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不 对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋 于对称
期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由 度) 可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量 ，U~2(n1)，V~2(n2),则U+V这一随机变量服 从自由度为n1+n2的2分布

13 c2分布 (图示) c 2 不同容量样本的抽样分布 n=1 n=4 n=10 n=20
The sampling distribution is a function of the sample sizes upon which the sample variances are based. Hint: Recall the formula for variance! s2 = S(x -`x)2/(n-1) 65

14 t 分布

15 t 分布 高塞特(W.S.Gosset)于1908年在一篇以“Student”(学生)为笔名的论文中首次提出
一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布 As a result of this class, you will be able to ...

16 t 分布图示 t x z t (df = 13) t (df = 5) 不同自由度的t分布 t 分布与标准正态分布的比较 标准正态分布
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17 F 分布

18 F分布 (F distribution) 由统计学家费希尔(R.A.Fisher) 提出的，以其姓氏 的第一个字母来命名
设若U为服从自由度为n1的2分布，即U~2(n1)，V 为服从自由度为n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相 互独立，则称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为

19 F分布 (图示)  不同自由度的F分布 F （1,10) (5,10) (10,10)
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20 6.4 样本均值的分布与中心极限定理

21 样本均值的抽样分布 在重复选取容量为n的样本时，由样本均 值的所有可能取值形成的相对频数分布 一种理论概率分布 推断总体均值的理论基础

22 样本均值的抽样分布 与中心极限定理 当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的数学期望为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)  = 50  =10 X 总体分布 n = 4 抽样分布 x n =16

23 中心极限定理 (central limit theorem)
从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布 当样本容量足够大时(n  30) ，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布 一个任意分布的总体 x

24 中心极限定理 (central limit theorem)
x 的分布趋于正态分布的过程

25 6.5 样本比例的抽样分布

26 比例 (proportion) 总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位 总数之比 总体比例可表示为 样本比例可表示为
不同性别的人与全部人数之比 合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比 总体比例可表示为 样本比例可表示为

27 样本比例的抽样分布 在重复选取容量为n的样本时，由样本比 例的所有可能取值形成的相对频数分布 一种理论概率分布
当样本容量很大时，样本比例的抽样分布 可用正态分布近似 推断总体比例的理论基础

28 样本比例的抽样分布 (数学期望与方差) 样本比例的数学期望 样本比例的方差 重复抽样 不重复抽样

29 6.6 两个样本均值之差的抽样分布

30 两个样本均值之差的抽样分布 两个总体都为正态分布，即 ， 两个样本均值之差 的抽样分布服从正态分 布，其分布的数学期望为两个总体均值之差
两个总体都为正态分布，即 ， 两个样本均值之差 的抽样分布服从正态分 布，其分布的数学期望为两个总体均值之差 方差为各自的方差之和

31 6.7 关于样本方差的分布 样本方差的分布 两个样本方差比的分布

32 样本方差的分布 在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布 对于来自正态总体的简单随机样本，则比值
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33 两个样本方差比的分布 两个总体都为正态分布，即X1~N(μ1 ,σ12)，X2~N(μ2 ,σ22 )
从两个总体中分别抽取容量为n1和n2的独立样本 两个样本方差比的抽样分布，服从分子自由度为(n1-1)，分母自由度为(n2-1) 的F分布，即 As a result of this class, you will be able to ...

34 本章小结 统计量及其分布 由正态分布导出的几个重要分布 样本均值的分布与中心极限定理 样本比例的抽样分布 两个样本平均值之差的分布
关于样本方差的分布

35 结 束 THANKS