[引例] 正弦交流电的日常应用 （b）等效电路图 L + _ R r （a）接线原理图 开关 电容器 镇流器 启辉器 日光灯管

2.1 正弦量与正弦电路 2.1.1 正弦量的时域表示法 （1）正弦量 2.1.1 正弦量的时域表示法 （1）正弦量 随时间按正弦（余弦）函数规律变化的交流电压（电流），称为正弦电压（电流），简称正弦量。由正弦电源供电的电路称为正弦交流电路或简称正弦电路。其时域表达式为： 初相角：决定正弦量起始位置 角频率：决定正弦量变化快慢 幅值：决定正弦量的大小 幅值、角频率、初相角称为正弦量的三要素

t i O T T/2 Im I1 t1 wt  注意： ①只有选定各处电流、电压的参考方向后，才能正确写出解析式进行分析； ②波形在时间轴上方为正，在时间轴下方为负。

i O T （rad/s） （2）正弦量的三要素 （a）周期、频率和角频率 周期 T：正弦量变化一周所需的时间 （s） 频率 f ：正弦量每秒内完成的周期数 (Hz) 角频率 w： （rad/s） * 无线通信频率： 30kHz--30GHz * 电网频率：我国50 Hz ，美国 、日本60 Hz * 高频炉频率：200--300 kHz * 中频炉频率：500--8000 Hz

幅值必须大写 下标加m 均方根值 有效值必须大写 （b）幅值与有效值 正弦量的瞬时值 i 在整个变化过程中所取得的最大值，称为幅值,所以瞬时值 i 满足 幅值必须大写 下标加m 同理，电压和电动势的幅值分别为 有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。 均方根值 所以 注意： ①工程上提到的电流电压都是指它们的有效值 ②电气设备铭牌上的额定值都是指它们的有效值 有效值必须大写 同理

（a）相位、初相和相位差 上式正弦量的时域表达式中 称为正弦量的相位角，简称相位 反映正弦量变化的进程 正弦量在t=0时刻的相位角，称为初相位，即： 反映正弦量的初始变化状态 初相的取值范围为 两同频率的正弦量之间的初相位之差，叫做相位差。 如： 则相位之差

同频率相位之间的关系： 同 相 位 相 位 领 先 领先于

落后于 相 位 落 后 提示三相交流电路：三种电压初相位各差120  t

（a）接线原理 [例2.1] u/V -0.04 t/s i/mA t/ms -8 T 0.02 0.08 （a）电压波形图 0.1 0.2 0.02 0.08 （a）接线原理 （a）电压波形图 i/mA t/ms -8 0.1 0.2 0.4 0.5 8 （b）电流波形图

解：图（a）中交流电压的幅值为 周期 角频率 初始零值点 所以初相 因此，图（a）中的交流电压的时域表达式为 图（a）中交流电压的幅值 周期 初始零值点 角频率 初相 因此，图（a）中的交流电压的时域表达式为

2.1.2 正弦量的相量表示法 （1） 复数概述 在工程中为了计算方便，常采用数学中的复数来表示同频率的正弦电压（电流），并将它们称为相量。 （a） 复数的表示方法 ① 复数的代数形式 其中，a 为复数 A 的实部，b 为虚部， 为虚数因子 注：若两个相量相等，则两相量的实部和实部分别相等，虚部和虚部分别相等。 在直角坐标系中，以实部为横轴，用 +1 表示，以虚部为纵轴，用 +j 表示，则实部和虚部构成的平面叫复平面，如下图所示，可知：

+1 +j O A a b 由图可看出，存在如下关系： 复数的模 复数的辐角 ② 复数的三角形式 ③ 复数的指数形式 ④ 复数的极坐标形式

（b） 复数的基本运算 ① 复数的加、减运算 复数的加、减运算采用代数形式，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减 ② 复数的乘、除运算 复数的加减运算采用极坐标形式（指数形式），模相乘除，辐角相加减

+j 是模为 1 ，辐角为 的复数，复数 A 乘以 +j 得 ③ 旋转算子 根据欧拉公式 当 时 +j 是模为 1 ，辐角为 的复数，复数 A 乘以 +j 得 相当于把复数 A 所对应的向量逆时针旋转 ，同样，任一复数 乘以 –j ， 其模不变，辐角顺时针旋转 。因此，将 称为 旋转算子。 +1 +j O 右图表示了复数 分别乘以j、-j、-1后，在复平面上所对应的各相量

[例2.3] 已知两个复数 ① 将两复数转化成极坐标形式 ② 求两复数的和、差、乘、积 解： ① （在第二象限） （在第四象限） ②

（2） 正弦量的相量表示法 （a）相量 用复数的模表示正弦相量的幅值，用复数的辐角表示正弦相量的初相 如正弦电流 可表示成 上式中 称为电流 i 的幅值相量，为了与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量，相量符号是在大写字母上加上黑点“·” 在实际中，我们往往采用电流（电压）的有效值相量，这样电流相量 即可反映大小（模），也能反映相位（辐角）。

（b）相量图 相量和复数一样可以在复平面上用有向线段来表示，线段的长度表示相量的模，线段与正实轴的夹角等于相量的辐角，这种表示相量的图形称为相量图。 O +1 +j 60° 150° -120° 如图，可以清楚的看出 与 共线且反向，所以正弦电流 与 反相， i1 i3 i2 分别与 和 垂直，因此正弦 电流 分别与 和 相位正交 i1 i3 注：只有同频率的各个正弦量才能在同一个相量图上。

2.2 正弦交流电路分析 i 2.2.1 电阻、电感、电容元件及其交流伏安特性 （1）电阻元件 R ＋ － R ＋ － 2.2.1 电阻、电感、电容元件及其交流伏安特性 （1）电阻元件 R ＋ － i R ＋ － （a）电阻元件上电压与电流关系 当电阻两端电压 u 和通过的电流 i 关联参考方向时,根据欧姆定律得： 或 设 （a）时域电路图 （b）相量电路图 则 用相量表示为： 或 （欧姆定律的相量形式） 可见电流与电压同频率、同相位

u i p （b）电阻元件的功率 ① 瞬时功率 p 当电阻原件上的电压 u 和电流 i 取关联参考方向时 由于 所以 p u i UI ωt 瞬时功率用小写！ 当电阻原件上的电压 u 和电流 i 取关联参考方向时 由于 所以 p u i UI ωt u i p O 2UI 结论：1. p 随时间变化； 2. p≥0；属于耗能元件。

① 平均功率 P 即瞬时功率在一周期内的平均值，工程上实际使用的是平均功率 也可写为 平均功率是电阻元件实际消耗的功率，也称为有功功率，习惯上简称功率。 如灯泡上标注的“220V,40W”,就表示其消耗的平均功率为40W 。

（2）电感元件 （a）符号与实物：

u i eL + - （b）电感元件及其主要参数（L i） L （a）线圈 （b）等效电路 电感器（电感线圈）的主要电磁特性就是储存磁场能量，并将电能与磁能进行互相转化。

对于上图（a）所示的线圈，当有电流 i 通过时,线圈周围就产生磁场，磁场的磁通用 表示，单位韦伯（Wb），磁通和电流符合右手螺旋法则。对于 N 匝线圈，则总磁通与线圈中的电流 i 成正比，即： 上式中的 L 称为线圈的电感值，又称线圈的自感系数，简称自感或电感，单位亨【利】（H）， 其中 L 为常数的电感元件称为线性电感元件，否则为非线性电感元件，本书一般指线性电感元件，其中 L 只取决于其本身的几何形状、匝数、附近介质的导磁特性，与 i 和 均无关。 额定电流也是电感元件的一个主要参数，若工作电流超过额定电流，则会因发热而发生变化，甚至烧毁。

（b）电感元件上电压与电流的关系 当电感线圈中的电流 i 发生变化时，它周围的磁场也发生变化，这种变化的磁场中产生感应电压 u（自感电压），若 i 与 u 取关联参考方向，根据法拉第电磁感应定律和楞次定律，有： 设 则 电压 u 在相位上超前电流 i 用相量表示为 或 上式为电感元件上的相量形式的伏安特性，其中 ,反映了电感对正弦电流的阻碍作用，称为感抗，单位欧[Ω]，j为 旋转算子

eL - u i + o - + p 下图（a）、（b）、（c）所示为电感元件电路、电压、与电流波形关系及相量关系. L 储能 放能 波形图 （a）电路图 （d）功率波形 （c）相量图

（c）电感元件的功率与储能 当电流和电压取关联参考方向时，电感元件的瞬时功率为： 由波形图可知：①、当 p>0 时，电感线圈从电源中获得能量，并以磁场的形式储存在线圈中（充电）；当 p<0 时，电感线圈将储存的能量返还给电路（放电）。②、电压、电流变化一个周期，瞬时功率变化两个周期，充放电个两次。 在一个周期内平均功率为： 上式表明，一个理想的电感元件在电路中不消耗功率，而是起着存储和释放磁场能量的作用，它不是耗能元件，而是储能元件。 电感元件虽然不耗能，但它与电源之间的能量交换始终在进行，这种电能和磁场能之间交换的程度可用无功功率来衡量。即： 为和有功功率相区别，无功功率的单位定义为乏[尔](var)。

（3）电容元件 （a）符号与实物：

（b）电容元件及其主要参数 电容器由两块金属极板和介质构成，其中带正（负）电，称为正（负）极板，电路中的电容元件是实际电容器的理想化模型，它忽略了漏电流和介质损耗。其符号如下左图所示。 + Us +q E C 在外电源作用下，电容器两极板分别存贮等量的异性电荷形成电场 能够存储电荷和电场能量的器件 电容器的储能本领用电容量 C 表示： 单位法拉[F] 常用单位还有微法、皮法，其中： 注：电容量C是一个常数，与U、q均无关，只取决于极板面积、形状、 极板间距和电介质。本书一般均指线性电容。

工作电压也是电容元件的一个参数。通常电容器上都标有额定工作电压（耐压），它是电容长期工作所能承受的最大电压，一般耐压是击穿电压的一半，电容器工作时不得超过其额定电压，否则易造成容器被击穿而损坏。 （c）电容元件上电压与电流的关系 电荷在电容器所在支路上的定向移动就形成电流，并且电压变化越快，单位时间内通过导体横截面的电荷量越多，电流越大。当电流和电压取关联参考方向时，根据定义有： 上式表明：任一时刻电容上的电流与该时刻电容极板上的电压的变化成正比，所以当电压不变时，其电流为零，因此，电容元件对于直流相当于开路。 当电压为正弦交流电压时，设

用相量表示为： 或 上式为电容元件上的相量形式的伏安特性，其中 反映了电容对正弦电流的阻碍作用，称为容抗，单位欧[Ω]，j为 旋转算子。 上式表明：当电容的电压为正弦量时，电容电流也是同频率的正弦量，但电流的相位超前电压的相位 ，且电容元件对低频电流阻碍作用大，对高频电流阻碍作用小，当 f 或w 为0时，电容元件相当于开路。 为了便于比较，将电压设为参考正弦量，即 则电流为 下图（a）、（b）、（c）所示为电容元件电路、电压、与电流波形图及相量关系.

i u o + - p 充电 放电 + - （b）电流电压 波形图 （a）电路图 （c）相量图 （d）功率波形

（d）电容元件的功率与储能 当电压和电流取关联参考方向时，电容元件的瞬时功率为： 由波形图可知：①、当 p>0 时，电容从电源中获得能量，并以电场的形式储存在电容极板间（充电）；当 p<0 时，电容将储存的能量返还给电路（放电）。②、电压、电流变化一个周期，瞬时功率变化两个周期，充放电个两次。 在一个周期内平均功率为： 上式表明，一个理想的电容元件在电路中不消耗功率，而是起着存储和释放电场能量的作用，它也是一个储能元件。 电容元件虽然不耗能，但它与电源之间的能量交换始终在进行，这种电能和电场之间交换的程度可用无功功率来衡量。即： 为和有功功率相区别，无功功率的单位定义为乏[尔](var)。并且取负值

N0 2.2.2 阻抗的概念与正弦交流电路的分析 （1）阻抗与相量形式的欧姆定律 ＋ － Z 2.2.2 阻抗的概念与正弦交流电路的分析 （1）阻抗与相量形式的欧姆定律 ＋ － N0 ＋ － Z （b）等效阻抗 （a）无源二端网络 设端口电压和电流为同频率正弦量，且取 与 为关联参考方向。定义端口电压相量与电流相量的比值为复阻抗（阻抗），即： (相量形式的欧姆定律)

与电阻 R 不同，阻抗 Z 是一个复数，单位为欧，但它不是用来表示正弦量的复数，而只是一个复数计算量，因此阻抗 Z 不是相量。 设 则阻抗为 其中， ，称为阻抗模， ，称为阻抗角 根据阻抗的定义，电阻元件 R，电感元件 L，电容元件 C 的（复）阻抗分别为： XL XC 其中 称为感抗， 称为容抗

（2）相量形式的基尔霍夫定律 （a）相量形式的基尔霍夫电流定律（KCL） 正弦交流电路中，各支路电流都是与正弦交流电源同频率的正弦量，其相量形式的 KCL 为： 上式中电流前的正、负号由其参考方向决定。 （b）相量形式的基尔霍夫电压定律（KVL） 正弦交流电路中，各段电压都是与正弦交流电源同频率的正弦量，其相量形式的 KVL 为： 上式中电压前的正、负号由其参考方向和回路的绕向决定。

（3）RLC串联电路的相量关系与阻抗（电压和电流同频率） + _ 设 根据KVL可得，u 瞬时值表达式 （a）时域电路

设 R jXL -jXC + _ 根据相量形式KVL可得 上式中 （b）相量电路 分别称为电抗、感抗、容抗，单位均为欧

其实，RLC 串联电路的阻抗 Z 还可以表达成： 其中，阻抗模 阻抗角 同时 其实， 三者之间的关系可用一个直角三角形（阻抗三角形）来表示，如下图（a）所示。假设 ，电压相量也构成一个直角三角形（电压三角形），如下图（b）所示。

RLC 串联电路的性质由电路参数R、L、C决定 当 时， 电压超前电流，电路呈感性 当 时， 电压滞后电流，电路呈容性 当 时， （a）阻抗三角形 （b）电压三角形 RLC 串联电路的性质由电路参数R、L、C决定 当 时， 电压超前电流，电路呈感性 当 时， 电压滞后电流，电路呈容性 当 时， 电压电流同相位，电路呈阻性

r （4）阻抗的串联与并联 阻抗的串联或并联等效阻抗的技术公式与电阻串联、并联电路等效电阻的计算公式是相似的，也有对应的分压、分流关系。 （a）电路图 L R r V V1 V2 [例2.8] （b）相量图 解：设 根据电路图有

联立上面两个方程得 由 可得 以 为参考量，做出示意相量图如（b）所示

+ _ 2.2.3 正弦交流电路的功率 （1）二端网络的有功功率、视在功率与功率因数 R L C 设端口的输入电流 电压 它们取关联参考方向 2.2.3 正弦交流电路的功率 （1）二端网络的有功功率、视在功率与功率因数 R L C + _ 设端口的输入电流 电压 它们取关联参考方向 则，瞬时功率为： 因为储能元件L、C不消耗能量，因此，一个周期内二端网络的平均功率即为电阻消耗的功率，为 由电压三角形可知 （a）含RLC串联电路 的无源二端网络 所以

在工程技术中，把电路端口电压的有效值 U 与电流的有效值 I的乘积称为二端网络的视在功率。用字母 S 表示，即 有功功率 P 与视在功率 S 的比值为二端网络的功率因数，用 表示 称为电路的视在功率因数角，它等于电路端口电压与电流的相位角，也等于无源二端网络的阻抗角。 （2）二端网络的无功功率及功率三角形 电路中的储能元件电感和电容，它们虽然不消耗能量，但电感和电容之间存在着能量的交换，这种能量交换用无功功率 Q 表示。 有功功率 P、视在功率 S、无功功率 Q 三者之间可用一个直角三角形联系起来，此直角三角形称为功率三角形，如下图所示：

Q 的单位为乏（var）,由于 ，所以无功功率Q可能为正（电感性电路），也可能为负（电容性电路），也可能为零（电阻性电路）。 由图可知三者的关系为： 功率三角形 Q 的单位为乏（var）,由于 ，所以无功功率Q可能为正（电感性电路），也可能为负（电容性电路），也可能为零（电阻性电路）。 当无源二端网络内部有多个电感和电容元件时，电路总的无功功率 Q 等于各个储能元件无功功率之和，即：

当Q>0,即 时，表示电路中电容元件“产生”的无功功率 不足以抵消电感元件“消耗”的无功功率 ，还需要从电源取用无功功率补充。此时， 电路呈感性。 以 RLC 串联电路为例，可以看出，阻抗、电压和功率三角形是相似三角形，并有如下关系式：

（3）提高功率因数的意义与方法 （a）提高功率因数的意义 由公式 可知，实际输出的有功功率 P 与负载的功率因数有关，所以提高功率因数可以充分利用设备的容量； 当负载的有功功率 P 和端电压 U 一定时，输电线中的电流与功率因数的关系为： ，所以功率因数越大，线路中的电流越小，输电线路中电阻消耗的功率越小。 （b）提高功率因数的方法 通常是在负载两端并联适当大小的补偿电容 C 设感性负载 的额定功率为 ，无功功率为 ,功率因数为 ，其功率三角形如图（b）中的 OAB。 并联电容 C 后，功率因数为 ，电路中的无功功率 电路的功率三角形变为图（b）中的 ，从图中可以看出，并联电容后，负载 上的电压 U 和有功功率 均保持不变。

+ _ （a）电路图 （b）功率三角形 （c）相量图 补偿电容 C 可按下列公式计算 因为 又 所以

2.2.4 电路的谐振特性分析 不含独立源的 RLC 二端网络，当两端的正弦电压和流入的正弦电流同相时，称该网络处于“谐振”状态，而相应的电路就称为谐振电路（谐振网络）。 （1）串联谐振的条件及谐振频率 + _ （b）谐振时相量图 （a）谐振电路 电路的阻抗为

如果端口电压与电流同相，则电路出现谐振。此时，网络的阻抗角 ，即阻抗Z的虚部为零，所以谐振条件为： 此时，串联谐振的角频率 和（电）频率 分别为 上式表明，串联电路谐振频率完全由电路参数 L 和 C 所确定，因此 又称为电路的固有频率。 此时可以看出，使 RLC 串联电路处于谐振状态的途径有两种：一是调节激励电源的频率 ，使其等于电路的固有频率 ；二是改变电路参数 L 或 C，使电路的固有频率 等于电源频率 。

（2）串联谐振电路的特点 ① 串联谐振时，电路的阻抗呈阻性 （此时最小) 当U 一定时，电流 （此时最大）,且 同相位 谐振时感抗等于容抗，为 式中， 称为电路的特性阻抗，单位为欧 ②串联谐振时，电感与电容上电压的有效值相等，相位相反。相量图如上页（b）所示。此时： 式中， 称为谐振电路的品质因数 显然，当 时，电感或电容上的电压就会大于外加电压，所以串联谐振也称为电压谐振。不过在电子技术中一般采用串联谐振，而在电力系统中则避免产生谐振。

由图可以看出品质因数 Q 越大，电流谐振曲线越尖陡，电路对输入信号的选择性越好；Q 值越小，其谐振曲线越平坦，电路选择性越差。 （3）串联谐振电路的选频特性 （a）串联谐振电路的谐振曲线 （a）串联谐振电路的谐振曲线 （b）串联谐振电路通频带 由图可以看出品质因数 Q 越大，电流谐振曲线越尖陡，电路对输入信号的选择性越好；Q 值越小，其谐振曲线越平坦，电路选择性越差。

（b）串联谐振电路的通频带 表明：通频带宽度与品质因数Q成反比，Q值越大，通频带越窄，谐振电路选择性越好；反之，Q值越小，通频带越宽，电路的选择性越差。 （4）并联谐振 对于高内阻的信号源，可采用具有内阻的电感线圈与电容器并联组成的并联谐振电路。并联谐振电路的谐振频率为： 并联谐振电路谐振时，电路的总电流 与端电压 同相，电路的阻抗 呈阻性，且阻抗最大，为 ；电感支路的电流 与电容支路的电流 大小近似相等，相位近似相反；电流 或 是总电流 的Q被，所以并联谐振又称为电流谐振。

2.3 三相正弦交流电路 B + – Y uB A X uA C Z uC 2.3.1 三相交流电源 （1）对称三相电源的产生 2.3.1 三相交流电源 （1）对称三相电源的产生 三相电路是由三个幅值相同、频率相同、相位彼此相差 的正弦交流电源所组成的供电系统，符合上述条件的三个正弦电压（电流）称为对称三相正弦电压（电流）。 B + – Y uB A X uA C Z uC （b）三相电源 设对称三相电压 的参考方向都是由各自始端指向末端，并取相电压为参考正弦量，则对称三相正弦电压可表示为：

相量表示为 其波形图如下图所示：  t u （a）三相电压波形 （b）三相电压相量图

可以看出，对称三相正弦电压的瞬时值之和及相量之和恒等于零，即： 三相电源中，各相电压经过同一值（如最大值）的先后顺序称为三相电源的相序，在上图（a）中，可以看出：三相电压达到峰值的顺序是 ，其相序为 ,这样的相序称为正序或者顺序。反之，称为负序或逆序。 以后无特别说明，三相电源的顺序均为正序，为了便于区分，通常在三相发电机或配电装置的三相母线上包以黄、绿、红三种颜色加以区别，以此区分U、V、W 三相。 （2）三相电源的星形（Y 形）联结

+ – 如左图所示为三相电源的Y形联结，它是将三相绕组的三个末端U2，V2，W2连成一点N，该点称为中性点（零点），该点的引出导线为中性线（零线），从三相绕组的三个始端U1，V1，W1引出的三根线称为相线（火线）。有中性线的三相电路叫做三相四线制电路，没有中性线的三相电路叫做三相三线制电路。 三相电源 Y 形联结 相与中性线之间的电压叫做相电压，分别用 表示，其相量形式为 ,有效值用 表示；相线与相线之间的电压叫做线电压，分别用 表示，其相量形式为 ,其有效值用 表示，如图，根据 KVL 得：

将相电压 设为参考量，即设 则 根据相量法则，可导出各线电压为

30o 可见，对称三相电源作 Y 形联结时，三个线电压 也是对称的，且线电压和相电压满足： 即：线电压 的相位超前相电压 的相位 ，同样 超前 相位 ， 超前 相位 。这种关系对于负载的Y形联结也是成立的。

2.3.2 三相负载的连接 （1）三相负载星形（Y形）联结 三相负载的Y形联结，它是将三相负载 的一端接在一起，并将此公共点 （三相负载的中性点）与电源中性点 N 相连，将三相负载的另一端分别接在三相电源的三个相线上，如下图所示。 + –

每相负载上的电压称为负载的相电压，用 表示，它们的参考方向如图所示，如果忽略输电线上的压降，则负载相电压与电源相电压对应相等，即： 每相负载上的电流称为负载的相电流，用 表示，它们的参考方向如图所示，与各相电源相连导线上的电流称为线电流，分别用 ,它们的参考方向如图所示 可以看出，线电流与对应的相电流相等，即 , 且

中性线电流为 当三相负载对称时，即 ，各相（线）电流 也三相对称，中性线电流 ，此时三相四线制就变成三相三线制电路，且 当三相负载不对称时，各相电流不为零，中性线电流 也不为零，此时中性线不可以省去，否则负载很可能被烧毁，此时中性线上也不允许装熔断器，以免造成三相负载上的电压不平衡。

（2）三相负载三角形（ △ 形）联结 三相负载依次接在三相电源的三根相线上，就是 △ 形联结。 + – 由于各相负载都接在电源的线电压上，所以可知： 根据相量形式欧姆定律可求出各相负载的相电流，即：

根据相量形式基尔霍夫电流定律可求出各线电流，即： 如果三角形联结的三相负载是对称的，即 则负载相电流和线电流也对称。 以线电压 为参考量，划出各线电压、相电流、线电流的相量图，有图可以看出：相电流、线电流都是三相对称的，且线电流在相位上比相应的相电流滞后 ，同时线电流和相电流满足：

30o 对称负载三角形联结时电压与电流的相量图

2.3.3 三相电路的功率 在三相电路中，三相负载总的有功功率P等于每相负载上的有功功率之和，即 当三相负载对称时，每项的有功功率是相等的，记单项有功功率为 ，则三相总的有功功率为： 式中， 为相电压与相电流的有效值， 是对应相电压与相电流的相位差，即负载的阻抗角。 当三相对称负载时Y形联结时， ,当三相对称负载是△形联结时， ,显然无论是Y形还是△形联结，都有

同时对于三相对称负载的无功功率 Q 和视在功率 S，有：