对于有向图, 有三种不同的连通概念。现给出下面的定义: 定义5.15：设u和v是有向图G的两个顶点,若从u到v存在一条有向路,则称v是从u可达的,或称从u可达v。 定义5.16：设有向图G,若G中任何两顶点是互相可达的,则称G为强连通图。若G中任何两顶点至少有一个顶点从另一个顶点可达, 则称G为单向连通图,或称连通有向图。若G中弧的方向不考虑时,任何两顶点之间有一条路,则称G为弱连通图或简称连通图。

例如图(a)是强连通的,(b)是单向连通的,而(c)是弱连通的。 对V作划分,将V划分为非空子集V1, V2,…,Vω,使得两个顶点u和v属于同一子集V当且仅当u和v是互相可达的。 每个顶点子集Vi导出的子图G(Vi)是强连通的,记为Gi,称为 G的一个强连通分支。G中有ω个强连通分支:G1,G2,…,Gω。

图(a)不是强连通图,在顶点集V ={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7, v8}上将V划分为3个子集,V1={v1,v7,v8}, V2={v2,v3,v5,v6}, V3={v4},对应得到3个强连通分支:G(V1),G(V2),G(V3),如图 (b)所示。

注意有向图的强连通分支与图的连通分支有一个很大的区别: 有向图的每一条弧不一定属于一个强连通分支,而每个顶点恰属于一个强连通分支。但图的每一条边恰属于一个连通分支

例如图(a)和图(b)都是完全二分图：K3,3和K2,3。 四、二分图 现在给出二分图的概念。 定义5.21：若图G的顶点集V能划分为两个子集V1和V2, 并且每条边的一个端点在V1中,另一端点在V2中,则称G为二分图,记为G(V1,V2)。V划分为V1和V2,称为G的一个二划分, 记为(V1,V2)。若简单图G具有二划分(V1,V2),并且V1中每个顶点与V2中每个顶点恰有一边相连,称G为完全二分图。若|V1|=m,|V2|=n,则这样的完全二分图记为Km,n。 例如图(a)和图(b)都是完全二分图：K3,3和K2,3。 上图也是二分图，它可以作这样的二划分： V1={x1,x2,x3,x4}, V2={y1,y2,y3,y4,y5}, 也可以作这样的二划分： V'1={x1,x2,x3,y4,y5}, V'2={y1,y2,y3,x4}, 都符合二分图的要求：每条边的一个端点在V1(V'1)中，另一端点在V2(V'2)中。

上图不是二分图。 那么怎样的图才是二分图？二分图有怎样的特征？ 利用回路概念, 可以给出二分图的特征。 定理5.7：G是二分图当且仅当G中没有奇回路。

证明：(1)若G是二分图则G中没有奇回路 设G是具有二划分(V1,V2)的二分图,若G没有回路则已成立(没有回路当然就不会有奇回路。 若G有回路，设G中有一条回路C:(v0,v1,…,vm,v0)。不失一般性,设v0V1,

(2)若G中没有奇回路则G是二分图 设G是连通图,否则对G的每个分支进行证明。又设G是一个不包含奇回路的图。 下面关键是构造G的二划分V1和V2。 然后证明(V1,V2)是G的一个二划分。

5.3欧拉图 一、欧拉图与半欧拉图 定义5.22：若图G中具有一条包含G中所有边的闭链,则称它为欧拉闭链,简称为欧拉链,称G为欧拉图。若图G中具有一条包含G中所有边的开链,则称它为欧拉开链,称G为半欧拉图。 显然,欧拉图除孤立点以外是连通的,而孤立点的有无并不影响对欧拉图的讨论,因此以后总假设欧拉图是连通的。

定理5.8：设G是连通图, 则G是欧拉图当且仅当G的所有顶点都是偶顶点。 设G 有欧拉链(v0,e1,v1,e2,…,ei,vi,ei+1, …,ek,vk),v0=vk,其中顶点可以重复出现,边不可重复出现。 在序列中,对任一点vi,每当出现一个vi,它关联两条边,故度数增加2， 而vi可以重复出现,因此经过vi次数的2倍就是与vi相邻边的总数，即为vi的度数，所以d(vi)为偶数。 由vi的任意性知G中所有顶点为偶顶点。

(2)若图G是连通的,且G中所有顶点为偶顶点，证明G是欧拉图 对边数采用归纳法： 1)e=1,一条边的图，要求G中所有顶点度数为偶数，则只能是自环。 是欧拉图,成立。 2)假设em结论成立。

从C上任意一点出发，沿C中边行走，到达H的一个分支H1的公共点u1，然后在H1中沿欧拉闭链回到u1，继续沿C中边行走到达与H的另一分支H2的公共点u2，在H2中沿欧拉闭链回到u2，如此一直下去，直到回到起始点，即为一条经过G中所有边一次且仅一次的闭链。所以G是欧拉图。 ①若H连通，则由归纳假设知H为欧拉图，即有欧拉闭链C1， 设回路C=(v0,e1,v1,e2,…,vk-1,ek ,v0)（顶点不同） ②若H不连通，有l个分支，则每个分支顶点度数为偶数，当然每个分支的边数小于m, 由归纳假设知每个分支都有欧拉闭链Hi， 又因为G是连通的，故相对于H来讲,在G中，这些分支是通过C连接的，这样就得到了G的欧拉闭链:

7桥问题： 因为d(A)=3,是奇顶点，所以不是欧拉图 定理5.9：设G是连通图,则G是半欧拉图当且仅当G中有而且只有两个奇顶点。 证明：证法类同定理5.8。 由此定理可知，对于7桥问题，由于d(A)=d(D)=d(C)=3, d(D)=5,所以也不是半欧拉图。 一个图如果是欧拉图，则一定不是半欧拉图。 一个图如果是半欧拉图，则一定不是欧拉图。

例如上图中，d(a)=d(B)=d(E)=4, d(C)=d(D)=3,是半欧拉图。 其欧拉开链是：C,B,A,C,E,A,D,B,E,D

定理5.10：设G是连通图, 则G是欧拉图当且仅当G是若干条边不相重的回路之并 证明略。

二、哈密顿图与半哈密顿图 哈密顿爵士在1859年提出如下问题: 一位旅行者沿着顶点标有城市名称的正十二面体的棱线行走,找一条通过每个顶点(即城市)恰好一次的回路, 如图(a)所示。在图(b)的正十二面体图中找一条包含该图中所有顶点的回路, 图中粗线所构成的回路就是这个问题的回答。

定义5.24：若图G具有一条包含G中所有顶点的回路, 则称该回路为哈密顿回路,称G为哈密顿图。若图G具有一条包含G中所有顶点的路, 则称该路为哈密顿路,称G为半哈密顿图。 显然哈密顿回路和哈密顿路通过图中每个顶点一次而且仅一次,例如图(b)是哈密顿图。 哈密顿图的充分必要条件至今仍是图论中尚未解决的主要问题之一。只能分别给出哈密顿图的充分条件和必要条件。

定理5.13：若G是哈密顿图,则对于顶点集V的每一个非空真子集S,均成立(G-S)≤|S|,其中|S|表示S中顶点数,G-S 表示G中删去顶点子集S后得到的图。 如下图： (G-S)=1，|S|=2 另外，该定理是讲，若G是哈密顿图,则对于顶点集V的每一个非空真子集S,均成立(G-S)≤|S|, 也就是说，如果在一个图中，存在某个S,使得(G-S)>|S|,则图一定不是哈密顿图。

删去b,h,i,得新图G-{b,h,i}， (G-S)=4>3=|S|，所以不是哈密顿图

但必须要说明的是满足定理条件的不一定是哈密顿图。 如下图是满足定理条件的，但不是哈密顿图。

该图称为彼得森图。 证明：因为G是哈密顿图，所以必有一条G的一个哈密顿回路C(经过G中所有顶点)。 对V的任一非空真子集S,有(C-S)≤|S| Why? 用归纳法证明。 G-S的分支数只会比C-S少， 所以(G-S)≤(C-S)≤|S|。 利用哈密顿图的必要条件可以用来判定某些图不是哈密顿图, 但不便于应用。因为要检查G的顶点集V的所有子集。

作业P114 25,26，29，30，33,34