第三章 线性电路的暂态分析

： 本章要求 本章基本要求 1、理解电路的暂态与稳态以及电路时间常数的物理意义； 2、掌握一阶线性电路的零输入响应、零状态响应和全相应的 分析方法和工程上经常使用的三要素分析计算法。

第3章 电路的暂态分析 3.1 暂态过程的产生和初始值的确定 3.1.1. 产生暂态过程的条件和换路 电阻电路 t = 0 K + I E 3.1 暂态过程的产生和初始值的确定 3.1.1. 产生暂态过程的条件和换路 无过渡过 程 I 电阻电路 t = 0 E R + _ K 电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，不存在过渡过程。

电容为储能元件，它储存的能量为电场能量 ，其大小为： 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路存在过渡过程。

电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其大小为： 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程。

结论: 有储能元件（L、C）的电路在电路状态发生变化时（如：电路接入电源、从电源断开、电路参数改变等）存在过渡过程； 电路中的 u、i在过渡过程期间，从“旧稳态”进入“新稳态”，此时u、i 都处于暂时的不稳定状态，所以过渡过程又称为电路的暂态过程。 直流电路、交流电路都存在过渡过程。我们讲课的重点是直流电路的过渡过程。 过渡过程是一种自然现象， 对它的研究很重要。过渡过程的存在有利有弊。有利的方面，如电子技术中常用它来产生各种波形；不利的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能出现过压或过流，致使设备损坏，必须采取防范措施。

3.1.2 换路定律 换路: 电路状态的改变。如： 1 . 电路接通、断开电源 2 . 电路中电源的升高或降低 3 . 电路中元件参数的改变 ………….. 换路定律: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能跃变。 --- 换路前的终了时刻 --换路后的初始时刻 设：t=0 时换路

uc ） （ 1 Cu Wc = 则： 换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能跃变的原因解释如下： 自然界物体所具有的能量不能跃变，能量的积累或 释放需要一定的时间。所以 ） （ 2 1 Cu Wc = 电容C存储的电场能量 uc WC 不能跃变 不能跃变 电感L储存的磁埸能量

iL WL 不能跃变 不能跃变 K R E + _ C i uC 从电路关系分析 K 闭合后，列回路电压方程： 若电压突变，则电容电流为无穷大 所以电容电压不能突变

3.1.3 初始值的确定 初始值（起始值）：电路中 u、i 在 t=0+ 时 的大小。 求解要点： 1. 2. 根据电路的基本定律和换路后的等效电路，确定其它电量的初始值。 例1:已知:图示电路 R=1kΩ， L=1H ， U=20 V，开关闭合前，电路已稳定，设 t=0时开关闭合，求电感电流和电压的初始值。

U t=0 uL uR 解: 根据换路定理 不能突变 发生了突变

3.2 一阶电路的零输入响应 一阶电路的概念: 根据电路定律写电压、电流的微分方程，若微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路（一阶电路中一般仅含一个储能元件。） 如： 电压方程 K R E + _ C 一阶电路的零输入响应： 电路在无外加激励，而仅有储能元件的初始状态 所引起的响应 称为零输入响应。

R u i = 3.2.1 RC电路的零输入响应 零输入响应: 无电源激励, 输入信号为零, 仅由电容元件的初始储能所产生的电路的响应。 R + - S R U 2 1 – 实质：RC 电路的放电过程 电容电压 uC 的变化规律(t  0) . R u i = 称一阶电路的微分方程

则电容电压 uC 的变化规律为 电路中的电流 电阻R 上的电压

t O 变化曲线 时间常数用 时间常数  决定电路暂态过程变化的快慢

3.2.2 RL电路的零输入响应 R t = 0 – + U 2 i L S 1 若在t = 0时将开关S由1合到2的位置，如右图。这时电路中外加激励为零，电路的响应是由电感的初始储能引起的，故常称为电路RL的零输入响应。 根据KVL定律可得 代入上式可得 一阶常系数线性齐次微分方程

电感上电流的变化规律为 电感上电压的变化规律为 电阻上电压的变化规律为

u 1. RC 电路的零状态响应 i R S _ + + + U C _ _ u (0 - ) = 0 ? t 3.3 一阶电路的零状态响应 3.3 一阶电路的零状态响应 1. RC 电路的零状态响应 i R 储能元件的初 始能量为零， S _ + 仅由电源激励所产 生的电路的响应。 u ? t + R + 根据KVL定律可得： U C _ _ u (0 - ) = 0 C 代入上式可得 上式为一阶常系数线性非齐次微分方程，解方程可得

电容上电压变化为： 电容上电流变化为： 电阻上的电压为：

从图中可以知道，电容器上的电压随指数形式上升，最大值为E。 当开关接通的瞬间电容器上的充电电流最大，随着电容器上的电压的升高，其充电电流随指数形式下降，这就是电容器充、放电过程。

2．RL电路的零状态响应 一阶非齐次微分方程 则 经整理后得

从图中可以看出电感上的电压随时间的延长指数形式而下降，而电阻的电压却随时间的延长而上升。这说明电路中的电动势最终成为电阻上的电压。 等到电路稳定以后，电感成了一根导线，此时的电流为最大。

3.4 一阶电路的全响应 3.4.1．RC电路的全响应 全响应 电源激励、储能元件的初始 能量均不为零时，电路中的响应 u u u u 3.4 一阶电路的全响应 3.4.1．RC电路的全响应 全响应 电源激励、储能元件的初始 : i R R S S _ _ 能量均不为零时，电路中的响应 + + u u t=0 + + R R + + u u 设t=0时s闭合，则换路定律方程为： U U C C _ _ _ _ C u u (0 (0 - - ) = ) = U U C C

暂态 稳态 3.4.2．RL电路的全响应 对于RL电路的全响应的讨论，与RC电路完全相同，请读者自己思考，在此不再赘述。 3.5 一阶电路的三要素法 暂态 稳态 式中 代表一阶电路中任一电压或电流函数。

在全响应电路中应用三要素可求得电容电感上的电压为：

其中三要素为: 初始值 ---- 稳态值 ---- 时间常数----  利用求三要素的方法求解过渡过程，称为三要素法。只要是一阶电路，就可以用三要素法。 三要素法求解过渡过程要点： 1、分别求初始值、稳态值、时间常数； 2、将以上结果代入过渡过程通用表达式；

例题：电路如右图所示，已知电源电压E=12V，R1=4 Ω，R2=8 Ω，S闭合前电路已达稳定状态，且C未被充电，在t=0时，S接通试求各支路中的电压、电流初始值。 uc(0-)=0,再根据换路定律可得 uc(0-)=uc(0+)=0 然后再求相关初始值

例题；下图电路已处于稳定状态，已知E=24V，R1=4Ω，R2=6Ω，L=0.4H, t=0开关闭合，试求：电感上的电压和电流的初始值， 解：先求 S闭合前稳定状态 下的 再求独立初始值，根据换路 定律可得： 说明当t=0时闭合即为短路，所以才有下式

解：第一步，作t=(0-)的等效电路，如图（b）所示：这时L相当于短路，C相当于开路。 例题：电路如下图所示，已知E=18V，R1=1Ω，R2=3 Ω，L=0.5H，C=4.7μƒ，S在t=0时闭合，设S闭合前电路进入稳定状态，求： 解：第一步，作t=(0-)的等效电路，如图（b）所示：这时L相当于短路，C相当于开路。 (a) 第二步：根据t=0-的等效电路算出换路前的电感上的电流和电容上的电压。

第三步：作t=0+时等效电路，这时L相当于6A电流源，C相当 于12V电压源。

本章结束 2011、08、12