A经有限次初等变换化为B,称A与B等价,记作A→B. §3 矩阵的初等变换 一、初等行（列）变换 A经有限次初等变换化为B,称A与B等价,记作A→B. 性质：①反身性：A→A; ② 对称性：若A→B, 则B→A; ③ 传递性：若A→B, B→C ，则A→C. 定理2 A=[aij]m×n →B. 0≤r≤min(m,n), B= 第r行 称B为A的等价标准型. m×n 第r列

§3 矩阵的初等变换（续1） 二、初等矩阵 初等矩阵——单位阵施行1次初等变换所得矩阵. 1）E =E[i,j] 初等矩阵均为 非奇异矩阵. §3 矩阵的初等变换（续1） 二、初等矩阵 初等矩阵——单位阵施行1次初等变换所得矩阵. ri rj i 1）E =E[i,j] (ci cj) j 初等矩阵均为 非奇异矩阵. i j ri×k 2）E =E[i(k)] (k≠0) i (ci×k) i ri+krj i =E[i,j(k)] 3）E (cj+kci) j i j

§3 矩阵的初等变换（续2） 二、初等矩阵 定理3 用1个m（n）阶初等矩阵左（右）乘Am×n， §3 矩阵的初等变换（续2） 二、初等矩阵 定理3 用1个m（n）阶初等矩阵左（右）乘Am×n， 相当于对Am×n施行1次相应的初等行（列）变换. 推论1：与（非）奇异矩阵等价的仍为（非）奇异矩阵. 证:设A为非奇异矩阵,A→B,则有B=P1P2...PkAPk+1...Pl P1,P2,...,Pl均为初等矩阵，∴均为非奇异矩阵. |B|=|P1| |P2|...|Pk| |A| |Pk| ...|Pl| ≠0. ∴ B亦为非奇异矩阵 推论2：非奇异矩阵必与单位阵等价. 证:设A为n 阶非奇异矩阵：|A| ≠0,B为A的等价标准型， ∴|B| ≠0，只有 B=En,即A→En.

§4 逆矩阵 定义：若A,B 为n阶方阵，满足：AB=BA=E,则称 A可逆, B为 A的逆矩阵. 记作:A-1=B (B-1=A). §4 逆矩阵 定义：若A,B 为n阶方阵，满足：AB=BA=E,则称 A可逆, B为 A的逆矩阵. 记作:A-1=B (B-1=A). 逆矩阵的唯一性： 设B、C均为 A的逆矩阵，则 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C. 定理4 n阶方阵A可逆的充要条件为:|A|≠0. 证:必要性. 设A可逆，则|AB|=|E|=1，∴|A|.|B|=1, ∴|A| ≠0. 充分性. ∵|A| ≠0，又由定理1， A*A=AA*=|A|E,得 ∴ A可逆.且 推论1 ：若n阶方阵A,B满足：AB=E，则A-1=B ，B-1=A. 证: |A|.|B|= |AB|=|E|=1, ∴|A| ≠0,A可逆. B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1. 推论2 ： |A-1|=1/|A|;

§4 逆矩阵（续1） 推论3：初等矩阵均可逆. E[i,j]= 且其逆矩阵亦为初等矩阵. {E[i,j]}-1= E[i,j]； §4 逆矩阵（续1） i 推论3：初等矩阵均可逆. E[i,j]= j 且其逆矩阵亦为初等矩阵. i j {E[i,j]}-1= E[i,j]； {E[i(k)]}-1= E[i(1/k)]； E[i(k)]= i {E[i,j(k)]}-1= E[i,j(-k)]}. (k≠0) i 定理5 任何可逆阵均可表为 初等矩阵的乘积. i 证：设A可逆,则A与E等价， ∴E→A,存在初等矩阵Pi(i=1,2,...,l), 使　P1P2...PkEPk+1...Pl=A.故得证. E[i,j(k)]= j i j

§4 逆矩阵（续2） 运算律 设A,B,C均可逆，则 1)(A-1)-1=A; 2)(kA)-1=1/kA-1(k≠0); §4 逆矩阵（续2） 运算律 设A,B,C均可逆，则 1)(A-1)-1=A; 2)(kA)-1=1/kA-1(k≠0); 3)(AT)-1=(A-1)T; 4)(AB)-1=B-1A-1;(ABC)-1=C-1B-1A-1. 求逆矩阵方法： 1)观察法：若AB=E ，则A-1=B (B-1=A). 2)伴随阵法： 3) 初等变换法: [A|E] →[E|A-1](行变换) ； [A|B] →[E|A-1B](行变换); 证:A=P1P2...Pk, A-1 B =P-1k...P-11 E, B 又E=A-1A=P-1k...P-11A

§4 分块矩阵 A11 A12 Aij__子块 A21 A22 分块矩阵的运算 (1)加法：Amn,Bmn采取相同分块 (2)数乘矩阵： 则

§4 分块矩阵(续1) (3)乘法： Aml的列划分与Bln的行划分一致，设 则 §4 分块矩阵(续1) (3)乘法： Aml的列划分与Bln的行划分一致，设 k1列 k2列 kr列 k1行 B1j B2j Brj k2行 Ai1 Ai2 ... Air kr行 则 其中Cij=Ai1B1j+Ai2B2j+...+AirBrj

§4 分块矩阵(续2) A1 B1 例1 求AB,其中 A2 B2 A1B1= A2B2= ∴AB=

§4 分块矩阵(续３) (4)分块对角矩阵:A= (Ai为ni阶方阵) 性质：1）设 2）|A|=|A1|.|A2|...|As| §4 分块矩阵(续３) (4)分块对角矩阵:A= (Ai为ni阶方阵) 性质：1）设 2）|A|=|A1|.|A2|...|As| 3）A可逆的充要条件 为：|Ai|≠0（i=1,2,...s) 且 Ai ,Bi均为ni阶方阵,则

§4 分块矩阵(续4) 例2 求A的逆矩阵. 解： A1 A2 (5)分块矩阵的转置： 例3 设A,B均为可逆方阵,则 T T T T