匀变速直线运动 ——追击与相遇 2014年5月

时间关系、位移关系、速度关系。明确速度相等（临界点）时会出现相距最大或最小。 一、认识追及与相遇问题 追及与相遇问题一般是指在同一个问题中有两个运动的物体，这里我们只讨论同向的匀加速、匀速、匀减速类的追击相遇问题。一般问题中会让我们判断能否追上，或经多久追上；有些问题让我们求追击过程中的最大距离，或最小距离。解决这类问题的关键在于抓住三个关系： 时间关系、位移关系、速度关系。明确速度相等（临界点）时会出现相距最大或最小。

1、速度小者（如匀加速）追速度大者（如匀速） A B 匀加速 匀速 VA<VB ①一定能追上。追上时，位移关系：后者与前者的位移差值等于两物体初始距离。 ②极值问题：当VA=VB时，两者有最大距离。 思考匀速追匀减速？

解题技巧：1）求最大或最小距离应从速度关系着手找时间进而求解；2） 求追上时的时间或速度应从位移关系着手找时间进而求解。 例1：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面赶过汽车，试求： 1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车 相距最远？此时距离是多少？ 2）什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？ 分析：匀加速追匀速，一定能追上。但该问题中，汽车开始的速度比自行车小，所以两者距离越来越大；当汽车速度加到大于自行车速度之后，距离就会缩小，直到追上。当中距离最大是出现在两者速度相等时刻。 解题技巧：1）求最大或最小距离应从速度关系着手找时间进而求解；2） 求追上时的时间或速度应从位移关系着手找时间进而求解。

请同学们画出v-t图像，你们发现了什么？ v′= at′= 3×4=12 m/s 例：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面赶过汽车，试求： 1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车 相距最远？此时距离是多少？ 2）什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？ 解： 1）两者速度相等时，两车相距最远。求最值找速度关系 v汽=at=v自 （速度着手找时间） ∴ t= v自/a=6/3=2s △s= v自t－ at2/2=6×2 － 3 ×22 /2=6m 2）汽车追上自行车时，二车位移相等（位移关系） 则 vt′=at′2/2 （从位移着手找时间） 6×t′= at′2/2， t′=4 s 请同学们画出v-t图像，你们发现了什么？ v′= at′= 3×4=12 m/s

v′ t=v自/a= 6 / 3=2 s 用图象求解 v/（ms-1） t/s t′ t 1）自行车和汽车的v － t 图象 如图 t/s t′ t V汽 V自 1）自行车和汽车的v － t 图象 如图 由于图线与横坐标轴所包围的面积表示位移的大小，所以由图上可以看出 在相遇之前，在t时刻两车速度相等时， 自行车的位移（矩形面积）与汽车位移（三角形面积）之差（即斜线部分）达最大，所以 t=v自/a= 6 / 3=2 s 2）由图可看出，在t时刻以后，由v自线与v汽线组成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车的位移相等（即相遇）。所以由图得相遇时， t′=2t=4 s v′ = 2v自=12 m/s

数学分析法： （1）根据题目可知，经时间t，两者位移差值为： 因二次项系数小于零，则当 时 有最大值 （2）当 时相遇 解得t=4s ，v=at=12 m/s

练一练：甲车以10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4 m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动，甲车经过乙车旁边时开始以0 练一练：甲车以10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4 m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动，甲车经过乙车旁边时开始以0.5 m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求： (1)乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离； (2)乙车追上甲车所用的时间。   解： (1)依题意有，辆车速度相等时，相距最大 带入数据得 (2)根据题意，设t2时间追上 解得

正确解法：先判断追上之前减速运动的物体速度是否已经为0，再列式子进行求解。 如何判断？ 根据位移关系 （2）当甲速度减为0时运动的位移为 所需时间为 乙运动的位移为 接下来甲静止，乙继续运动5s直至追上甲

2：速度大者（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动），速度相等时有最小距离 A B 匀速 匀减速 VA>VB ①若VA=VB时，A仍在后面，则永追不上。此时有最小距离 思考：匀速追赶匀加速？ ②若VA=VB时，AB在同一位置，则恰好追上。是避免碰撞的临界条件。 ③若A、B在同一位置时，VA>VB。变成B追A，有第二次相遇。

例2、车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相距s0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。 v=6m/s a=1m/s2 解析：依题意，人与车运动的时间相等，设为t, 当人追上车时，两者之间的位移关系为： s车+s0= s人 即： at2／2 + s0= v人t 由此方程求解t，若有解，则可追上；若无解，则不能追上。 代入数据并整理得：t2－12t+50=0 △=b2－4ac=122－4×50×1=－56＜0 所以，人追不上车。

在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的速度时，人车间的距离逐渐增大。因此，当人车速度相等时，两者间距离最小。 V车=at=V人 及 at=6 t=6s 在这段时间里，人、车的位移分别为： s人=v人t=6×6=36m s车=at2/2=1×62/2=18m △s=s0+s车－s人=25+18－36=7m 求最小距离，从速度着手找时间，进而求出最值

相当于人相对车做初速度为6m/s，加速度为 的匀减速直线运动，要判断能否追上就转化为当人相对车的速度为0时，人相对车的位移与25m进行比较。 用相对运动法求解： 以车为参考系,则车静止不动 人相对车的初速度为： 人相对车的加速度为： 相当于人相对车做初速度为6m/s，加速度为 的匀减速直线运动，要判断能否追上就转化为当人相对车的速度为0时，人相对车的位移与25m进行比较。 所以，人追不上车 最小的距离为

匀减速 匀速 VB>VA 解：设经过时间t两车相撞，则有： 练一练：A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车在后，其速度vB＝30 m/s，因大雾能见度低，B车在距A车x0＝85 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，aB＝2.5 m/s2，若B车刹车时A车仍按原速率行驶，问两车是否会相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？ B A 匀速 匀减速 VB>VA 解：设经过时间t两车相撞，则有： vBt－aBt2／2＝x0＋vAt， 即30t－2.5t2／2＝85＋10t， 整理得t2 －16t＋68＝0 由Δ＝162－4×68<0可知t无实数解，即两车不会相撞 速度相等时两车相距最近，可得： vA＝vB－aBt1，t1＝8 s。（速度关系找时间） 此过程中xB＝ vBt－aBt2／2 ＝160 m xA＝vAt1＝80 m， 两车的最近距离Δx＝x0＋xA－xB＝5 m。

小结 1. 追及过程中同速极距，当两物体在追击过程速度变为相同时两物体间的距离存在极值，在追及过程两物体间的距离会出现先减小后变大或先变大后变小，当两物体速度相同时两物体间的距离存在极值 2.追击过程中辅助分析，复杂运动过程最好画出运动过程图，帮我们找到各个物理量之间的关系，有时还要结合v-t图像，从图像中找出反映追击相遇问题中的量要素：位移和时间，从图像与时间轴围成的面积反映出位移关系，从时间轴反映出时间关系。

【解题方法】解决追及、相遇问题的常用方法 (1)物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键， (2)相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系. (3)数学分析法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相碰；若Δ＜0，说明追不上或不能相碰. (4)图象法：将两者的速度—时间图象在同一个坐标系中画出，然后利用图象求解.

练一练、甲、乙两物体相距s，在同一直线上同方向做匀减速运动，速度减为零后就保持静止不动。甲物体在前，初速度为v1，加速度大小为a1。乙物体在后，初速度为v2，加速度大小为a2且知v1<v2，但两物体一直没有相遇，求甲、乙两物体在运动过程中相距的最小距离为多少？ 分析：根据前面的结论，最小距离为两车速度相等时，但是这里是减速，所以还要考虑在速度减为零之前两者是否能够达到速度相等 解：若是 说明甲物体先停止运动或甲、乙同时停止运动。这个过程乙的速度一直大于甲的速度，只有两物体都静止运动时才相距最近

若是 说明乙物体先停止运动，那么两物体 在运动过程中总存在速度相等的时刻，此时两物体相距最近，设达到速度相等的时间为t，有 得： 在t时间内，甲的位移 在t时间内，乙的位移

二、追及相遇问题与图像相结合 ABC 例1：甲、乙两物体同时从一点向同一方向做直线运动，各自速度随时间变化的情况如图所示，由图可知( ) 例1：甲、乙两物体同时从一点向同一方向做直线运动，各自速度随时间变化的情况如图所示，由图可知( ) A.甲做匀速直线运动，乙 做初速为0的匀加速直线运动 B.开始时甲比乙快，20s后乙比甲快 C.40s末甲、乙两物体相遇 D.20s末甲、乙两物体相遇 ABC

甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t = 0时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的v-t图象中（如图）直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s的运动情况。关于两车之间的位移关系，下列说法正确的是( ) ABC A．在0～10 s内两车逐渐远离 B．在10～20 s内两车逐渐靠近 C．在5～15 s内两车的位移相等 D．在t=10 s时两车在公路上相遇

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