1.3.1 自变量趋向无穷大时函数的极限 播放 1.3 函数的极限(110)
1.3.1 自变量趋向无穷大时函数的极限 播放 1.3 函数的极限(110)
通过上面演示实验的观察: 问题： 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 1.3 函数的极限(110)
1. 函数极限的定义： 1.3 函数的极限(110)
2. 另外两种情形： 1.3 函数的极限(110)
3. 几何解释(动画)： 1.3 函数的极限(110)
例 1 证 1.3 函数的极限(110)
1.3.2 自变量趋向有限值时函数的极限 1.3 函数的极限(110)
1. 函数极限的定义： 1.3 函数的极限(110)
注意： 2.几何解释: 1.3 函数的极限(110)
例 2 证 例 3 证 1.3 函数的极限(110)
例 4 证 函数在点x=1处没有定义. 1.3 函数的极限(110)
例 5 证 1.3 函数的极限(110)
3.单侧极限: 例如, 1.3 函数的极限(110)
左极限 右极限 注意： 1.3 函数的极限(110)
例 6 证 左右极限存在但不相等, 1.3 函数的极限(110)
1.3.3 函数极限的性质与运算法则 1. 唯一性 证 1.3 函数的极限(110)
1.3 函数的极限(110)
2. 局部有界性 证 1.3 函数的极限(110)
1.3 函数的极限(110)
3. 不等式性质 定理(保序性) 推论 1.3 函数的极限(110)
定理(保号性) 推论 1.3 函数的极限(110)
4. 子列收敛性 (函数极限与数列极限的关系) 定义 定理 4 证 1.3 函数的极限(110)
1.3 函数的极限(110)
函数极限与数列极限的关系（Heine 定理） 例如, 函数极限与数列极限的关系（Heine 定理） 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在且相等。 1.3 函数的极限(110)
例 7 证 1.3 函数的极限(110)
二者不相等, 1.3 函数的极限(110)
5. 极限运算法则 定理 5 证 由无穷小运算法则,得 1.3 函数的极限(110)
1.3 函数的极限(110)
有界， 推论1 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 1.3 函数的极限(110)
6. 求极限方法举例 例 8 解 1.3 函数的极限(110)
小结： 1.3 函数的极限(110)
例 9 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 1.3 函数的极限(110)
例 10 解 (消去零因子法) 1.3 函数的极限(110)
例 11 解 (无穷小项分离法) 1.3 函数的极限(110)
无穷小项分离法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 小结： 无穷小项分离法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 1.3 函数的极限(110)
例 12 解 1.3 函数的极限(110)
例 13 解 左右极限存在且相等, 1.3 函数的极限(110)
7. 求函数极限的夹逼准则 准则 I和准则 I’统称为夹逼准则. 注 意 1.3 函数的极限(110)
1.3.4 两个重要极限 1、 1.3 函数的极限(110)
1.3 函数的极限(110)
例 14 解 1.3 函数的极限(110)
2、 （1） 证明 1.3 函数的极限(110)
（2） 证明 1.3 函数的极限(110)
综上可得： 1.3 函数的极限(110)
例 15 证明 证 1.3 函数的极限(110)
例 16 解 例 17 解 1.3 函数的极限(110)
1.3.5 无穷小的比较 1、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 1.3 函数的极限(110)
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 注意： 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 1.3 函数的极限(110)
无界， 1.3 函数的极限(110)
证 1.3 函数的极限(110)
2、无穷小 极限为零的变量称为无穷小. 1.3 函数的极限(110)
例如, 注意： 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 1.3 函数的极限(110)
3、无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 充分性 1.3 函数的极限(110)
4、无穷小的运算性质: 意义： 1.将一般极限问题转化为无穷小问题; 性质1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证 1.3 函数的极限(110)
注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 1.3 函数的极限(110)
性质 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 1.3 函数的极限(110)
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 1.3 函数的极限(110)
5、无穷小与无穷大的关系 定理7 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;非零无穷小的倒数为无穷大. 证 1.3 函数的极限(110)
意义：关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 1.3 函数的极限(110)
6、无穷小的比较 例如, 观察各极限 不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 1.3 函数的极限(110)
1.3 函数的极限(110)
例 18 解 例 19 解 1.3 函数的极限(110)
常用等价无穷小： 函数的近似表达式: 例如, 1.3 函数的极限(110)
等价无穷小替换 定理 8 (等价无穷小替换定理) 证 1.3 函数的极限(110)
例 20 解 注意: 千万不能滥用等价无穷小代换！ （对于代数和中各无穷小项不能分别替换!） 1.3 函数的极限(110)
例 21 错 解 解 1.3 函数的极限(110)
例 22 解 1.3 函数的极限(110)
1.3.6 小结与思考题1，2 函数极限的统一定义 (见下表) 1.3 函数的极限(110)
过 程 时 刻 从此时刻以后 过 程 时 刻 从此时刻以后 1.3 函数的极限(110)
思考题 1.3 函数的极限(110)
思考题解答 左极限存在, 右极限存在, 不存在. 1.3 函数的极限(110)
课堂练习题 一、填空题: 1.3 函数的极限(110)
课堂练习题答案 1.3 函数的极限(110)
1.3.6 小结与思考题3 1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法; a. 多项式与分式函数代入法求极限; 1.3.6 小结与思考题3 1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法; a. 多项式与分式函数代入法求极限; b. 消去零因子法求极限; c. 无穷小项分离法求极限; d. 利用无穷小运算性质求极限; e. 利用左右极限求分段函数极限. 1.3 函数的极限(110)
思考题 在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？ 1.3 函数的极限(110)
思考题解答 没有极限． 假设 有极限， 有极限， 由极限运算法则可知： 必有极限， 与已知矛盾， 故假设错误． 1.3 函数的极限(110)
课堂练习题 一、填空题: 1.3 函数的极限(110)
二、求下列各极限: 1.3 函数的极限(110)
课堂练习题答案 1.3 函数的极限(110)
1.3.6 小结与思考题4 1. 两个准则 夹逼准则; 单调有界准则 . 2. 两个重要极限 1.3 函数的极限(110)
思考题 求极限 1.3 函数的极限(110)
思考题解答 1.3 函数的极限(110)
课堂练习题 一、填空题: 1.3 函数的极限(110)
二、求下列各极限: 1.3 函数的极限(110)
1.3 函数的极限(110)
课堂练习题答案 1.3 函数的极限(110)
1.3.6 小结与思考题5 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意: 1.3.6 小结与思考题5 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意: （1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大. 1.3 函数的极限(110)
思考题 1.3 函数的极限(110)
思考题解答 不能保证. 例 有 1.3 函数的极限(110)
课堂练习题 一、填空题: 1.3 函数的极限(110)
课堂练习题答案 1.3 函数的极限(110)
3. 无穷小的比较: 4. 等价无穷小的替换: 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 3. 无穷小的比较: 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶. 4. 等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件. 1.3 函数的极限(110)
思考题 任何两个无穷小量都可以比较吗？ 1.3 函数的极限(110)
思考题解答 未必． 例当 时 都是无穷小量 但 不存在且不为无穷大 故当 时 1.3 函数的极限(110)
课堂练习题 1.3 函数的极限(110)
1.3 函数的极限(110)
课堂练习题答案 1.3 函数的极限(110)
1.3 函数的极限(110)