第七章: 二元关系 第一节：有序对与笛卡儿积 第二节：二元关系 第三节：关系的运算 第四节：关系的性质

第七章: 二元关系 主要内容 有序对与笛卡儿积 二元关系的定义与表示法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系

引言 关系是数学中最重要的概念之一 在计算机科学中有广泛应用 父子关系、师生关系 等于、大于、小于关系 直线的平行、垂直关系 数据结构 算法分析 程序设计 数据库管理—关系数据库

第七章: 二元关系 第一节：有序对与笛卡儿积 第二节：二元关系 第三节：关系的运算 第四节：关系的性质

7.1 有序对与笛卡儿积 有序对（序偶）：有两个元素x，y(允许x=y)按给定顺序排列组成的二元组合 例：平面直角坐标系中的一个点的坐标 ＜1,3＞和＜3,1＞是表示平面上两个不同的点 <x，y> = <u，v>当且仅当x=u ，y=v 如果xy，那么＜x，y＞＜y ，x＞

7.1 有序对与笛卡儿积 其他定义： <x，y> = {{x}，{x，y}} 定理：如果<x，y> = {{x}，{x，y}} ，那么<x，y> = <u，v>当且仅当x=u ，y=v 证明：充分条件易证。证明必要条件如下： <x，y> = <u，v>推出 {{x}，{x，y}} = {{u}，{u,v}} 。所以 ∩{{x}，{x，y}}= ∩{{u}，{u,v}} ， 推出x=u。另外∪{{x}，{x，y}}= ∪{{x}，{x,v}}可以推出y=v

7.1 有序对与笛卡儿积 例：已知<x+2,4>=<5,2x+y>，求x,y 解：根据有序对等式定义，只需求解方程式

7.1 有序对与笛卡儿积 笛卡尔积A×B：集合A中元素为第一元素，集合B中元素为第二元素的有序对集 A×B={<x，y>xA  yB} 例：设集合A={a，b，c}，B ={0，1}，求A×B，B×A，(A×B)∩(B×A) A×B={<a，0>，<a，1>，<b，0>，<b，1> ，<c，0>，<c，1>} A×B={<0，a>，<1，a>，<0，b>，<1，b>，<0，c>，<1，c>} (A×B)∩(B×A)=

7.1 有序对与笛卡儿积 例：设集合A={1，2}求P(A)A 解： P(A)={，{1}，{2}，{1，2}} P(A)×A ={<，1>，<，2>，<{1}，1>，<{1}，2>，<{2}，1>，<{2}，2>， <{1，2}，1>，<{1，2}，2>}

7.1 有序对与笛卡儿积 说明： 如A，B均是有限集，A=m,B=n，则必有AB=mn 一般说AB与BA不相等，即集合的笛卡尔积运算，不成立交换律

7.1 有序对与笛卡儿积 笛卡儿积的性质： 对于任意集合A，A=，A= 一般不满足交换律，当A，B，AB时AB  BA 一般不满足结合律，即当A，B，C均非空时(AB)CA(BC)

7.1 有序对与笛卡儿积 笛卡儿积的性质（续）： （1）A(B∪C)=(AB) ∪(AC) 对任意三个集合A，B，C有 （5）A C  B D  A×BC×D

7.1 有序对与笛卡儿积 证明： A(B∪C)=(AB) ∪(AC)  xA  yB∪C 证明： <x，y> A(B∪C)  xA  yB∪C  xA  (yB  yC)  (xA  yB)  (xA  yC)  <x，y> AB  <x，y> AC  <x，y>(AB) ∪(AC)

7.1 有序对与笛卡儿积 例：设A，B，C，D是任意集合，判断下列命题是否正确？ A-(BC)={1}-{<1,2>}={1} ABAC  BC 不正确。取A，BC，AB=AC= A-(BC)=(A-B)  (A-C) 不正确。取A=B={1}，C={2}， A-(BC)={1}-{<1,2>}={1} 而(A-B)  (A-C)={1}=

7.1 有序对与笛卡儿积 例：设A，B，C，D是任意集合，判断下列命题是否正确？ A=B，C=D  ACBD 正确。 存在集合A使得A  AA 正确。取A=时，AAA

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7.2 二元关系 关系是指事物之间（个体之间）的相互联系 二元关系R：满足下列条件之一的集合 集合非空，且他的元素都是有序对 集合为空集 定义：A，B是集合，A×B的子集叫做从A到B的一个二元关系 例：A={0，1}，B={1，2，3} R1={<0,2>}，R2={<0,1>} R3=

7.2 二元关系 几类特殊关系： 全域关系EA＝A×A 恒等关系IA＝{<x，x>|x∈A} 空关系

7.2 二元关系 例： A={0,1,2} EA={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>, <1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<2,2>} 恒等关系IA ={<0,0>,<1,1>,<2,2>}

7.2 二元关系 例：包含关系 例： A={2，3，4，5，6} A是一个集合,定义P(A)上的一个关系 R ={<u，v>uP(A)，vP(A)，且uv} A={a，b}，P(A)={ ，{a}，{b}，A} R={<，{a}>，<，{b}>，<，>，<，A>，<{a}，{a}>，<{a}，A>，<{b}，{b}>，<{b}，A>，<A，A>} 例： A={2，3，4，5，6} R={<a，b>a是b的倍数} R={<2，2> ，<3，3>，<4，2>，<4，4>，<5，5>，<6，2>，<6，3>，<6，6>}

7.2 二元关系 关系表示方法 枚举法（直观法、列举法） 谓词公式表示法（暗含法） 关系矩阵表示法 关系图表示法 xRy表示特定的序偶〈x，y〉 R 谓词公式表示法（暗含法） 关系矩阵表示法 关系图表示法

7.2 二元关系 关系表示方法 枚举法（直观法、列举法） 谓词公式表示法（暗含法） 关系矩阵表示法 关系图表示法 xRy表示特定的序偶〈x，y〉 R 谓词公式表示法（暗含法） 关系矩阵表示法 关系图表示法

7.2 二元关系 关系矩阵表示法 设集合A={a1,…,am},B={b1…bn},R是A到B的关系,则R的关系矩阵是一个mn阶的矩阵 MR=(rij)mn 其中rij =1,当<ai,bj>R =0,当<ai,bj>R 如果R是A上的关系时,则其关系矩阵是一个方阵

7.2 二元关系 1 0 1 0 0 1 0 1 0 例：A={a,b,c,d},B={x,y,z},A=4B=3, R={<a,x>,<a,z>,<b,y>,<c,z>,<d,y>} 则MR是43的矩阵 1 0 1 MR = 0 1 0 0 0 1 0 1 0 其中r13=1表示<a,z>R,而r23=0,表示<b,z>R

7.2 二元关系 关系表示方法 枚举法（直观法、列举法） 谓词公式表示法（暗含法） 关系矩阵表示法 关系图表示法 xRy表示特定的序偶〈x，y〉 R 谓词公式表示法（暗含法） 关系矩阵表示法 关系图表示法

7.2 二元关系 关系图：A={a1,…,am}，B={b1,…,bn} 结点：m+n个空心点分别表示a1,…,am和b1,…,bn 有向边：如果<ai,bj>R,则由结点ai向结点bj通一条有向弧,箭头指向bj 自回路：<ai,ai>R,则画一条以ai到自身的一条有向弧 这样形成的图称为关系R的关系图

7.2 二元关系 例：A={2,3,4,5,6} (1)R1={<a,b>a是b的倍数} (2)R2={<a,b>(a-b)2A } 5 3 6 4 2 5 3 6 4 2

7.2 二元关系 例：A={2,3,4,5,6} (1)R1={<a,b>a是b的倍数} (2)R2={<a,b>(a-b)2A } 5 3 6 4 2 5 3 6 4 2

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7.3 关系的运算 二元关系的定义域和值域 例 定义域： 值域： X={1,2,3,4,5,6},Y={a,b,c,d,e,f} R={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,d>} domR={1,2,3,4} ranR={a,b,c,d}

7.3 关系的运算 二元关系的逆 说明 R-1就是将R中的所有有序对的两个元素交换次序成为R-1 ，故|R|=| R-1 | R-1 的关系矩阵是R的关系矩阵的转置，即 MR-1=(MR)T R-1的关系图就是将R的关系图中的弧改变方向即可以

7.3 关系的运算 例： R={<a,a>，<a,d>，<b,d>，<c,a>，<c,b>，<d,c>} R-1={<a,a>，<d,a>，<d,b>，<a,c>，<b,c>，<c,d>} 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 MR= 1 1 0 0 MR-1=MRT= 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0

7.3 关系的运算 例： d b c a R的关系图 R-1的关系图 R={<a,a>，<a,d>，<b,d>，<c,a>，<c,b>，<d,c>} R-1={<a,a>，<d,a>，<d,b>，<a,c>，<b,c>，<c,d>} d b c a R的关系图 R-1的关系图

7.3 关系的运算 关系的右复合 例 A={1,2,3,4,5},B={3,4,5},C={1,2,3} R={<x,y>|x+y=6} ={<1,5>,<2,4>,<3,3>} S={<y,z>y-z=2} ={<3,1>,<4,2>,<5,3>} RS={<1,3>,<2,2>,<3,1>}

7.3 关系的运算 例（续） 5 4 3 2 1 从而RS的关系图 5 4 3 2 1

7.3 关系的运算 例： A={a,b,c,d,e} 注意：RSSR R={<a,b>,<c,d>,<b,b>} S={<d,b>,<b,e>,<c,a>} RS={<a,e>,<c,b>,<b,e>} SR={<d,b>,<c,b>} RR={<a,b>,<b,b>} SS={<d,e>} 注意：RSSR

7.3 关系的运算 定义：R是二元关系，A是集合 R在A上的限制 A在R下的像 A R(A)

7.3 关系的运算 定理：设F是任意的关系，则 (F-1)-1=F domF-1 =ranF, ranF-1 =domF

7.3 关系的运算 定理：设F，G，H是任意的关系 证明：<x，y> (FG)-1  <y，x>FG (FG)H = F(GH) (FG)-1 =G-1F-1 证明：<x，y> (FG)-1  <y，x>FG  t(<y，t>F  <t，x>G)  t(<x，t>G-1  <t，y>F-1)  <x，y>G-1F-1

7.3 关系的运算 例 R={<a,a>,<a,c>,<b,b>,<c,b>,<c,c>} S={<a,1>,<a,4>,<b,2>,<c,4>,<c,5>} R-1={<a,a>,<b,b>,<b,c>,<c,a>, <c,c>} S-1={<1,a>,<2,b>,<4,a>,<4,c>, <c,c>} S-1R-1={<1,a>,<2,b>,<2,c>,<4,a>, <4,c>,<5,a>,<5,c>}

7.3 关系的运算 定理: 设R为A上关系，则 RIA＝IAR＝R 定理: R(S∪T)=RS∪RT (S∪T)X=SX∪TX (S∩T)XSX∩TX

7.3 关系的运算 证明 R(S∪T)=RS∪RT <x,z>∈ R(S∪T)  y(<x,y>∈R∧<y,z>∈S∪T)  y(<x,y>∈R∧(<y,z>∈S∨<y,z>∈T))  y((<x,y>∈R∧<y,z>∈S)∨ (<x,y>∈R∧<y,z>∈T))  y((<x,y>∈R∧<y,z>∈S))∨ y((<x,y>∈R∧<y,z>∈T))  <x,z>∈RS ∨<x,z>∈ RT  <x,z>∈RS∪RT

7.3 关系的运算 定理: R↾(A∪B) = R↾A∪R↾B R[A∪B] = R[A]∪R[B] R↾(A∩B) = R↾A∩R↾B

7.3 关系的运算 定理: R[A∩B]  R[A]∩R[B] 证明：y∈R[A∩B]  x(<x,y>∈R∧x∈A∩B)  x(<x,y>∈R∧x∈A∧x∈B)  x((<x,y>∈R∧x∈A)∧(<x,y>∈R∧ x∈B))  x(<x,y>∈R∧x∈A)∧ x(<x,y>∈R∧ x∈B) y∈R[A]∧y∈R[B] y∈R[A]∩R[B]

7.3 关系的运算 R的n次幂 定理: 设R是集合A上的关系，m,n∈N 证明思路：使用归纳法并利用复合关系的结合律 记为Rn R0 =A Rn+1=RnR 定理: 设R是集合A上的关系，m,n∈N RmRn=Rm+n (Rm)n=Rmn 证明思路：使用归纳法并利用复合关系的结合律

7.3 关系的运算 例R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<4,5>} R0= {<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>} R1=R R2={<1,1>,<2,2>,<1,3>,<2,4>,<3,5>} R3=R2·R ={<1,2>,<2,1>,<1,4>,<2,3>,<2,5>} R4=R3·R1 ={<1,1>,<2,2>,<1,5>,<2,4>,<1,3>} R5=R4·R1 ={<1,2>,<1,4>,<2,1>,<2,3>,<2,5>}

7.3 关系的运算 从关系图来看关系的n次幂 R： 1 2 3 4 5 R2就是所有在R中通过二条弧连接的点则在R2这两点间直接有条弧。 1 2 3 4 5 R2就是所有在R中通过二条弧连接的点则在R2这两点间直接有条弧。 R3,R4…

7.3 关系的运算 定理：R是A上的二元关系，若存在自然数s和t，且s<t，使Rs=Rt 对所有的k≥0，则Rs+k=Rt+k 对所有的k,i≥0 ，则有Rs+kp+i=Rs+i p=t-s 设S={R0,R1,R2,…,Rt-1}，则R的每一次幂是S的元素，即对n∈N, Rn∈S

7.3 关系的运算 定理：R是A上的二元关系，若存在自然数s和t，且s<t，使Rs=Rt 对所有的k≥0，则Rs+k=Rt+k 对所有的k,i≥0 ，则有Rs+kp+i=Rs+i p=t-s 设S={R0,R1,R2,…,Rt-1}，则R的每一次幂是S的元素，即对n∈N, Rn∈S

7.3 关系的运算 证明：对k进行归纳。 k=0时Rs+kp+i=Rs+i显然成立 假设Rs+kp+i=Rs+i，这里p=t-s ，那么 Rs+(k+1)p+i=Rs+kp+i+p=Rs+kp+iRp =Rs+iRp =Rs+p+i =Rs+t-s+i =Rt+i=Rs+i

7.3 关系的运算 定理：R是A上的二元关系，若存在自然数s和t，且s<t，使Rs=Rt 对所有的k≥0，则Rs+k=Rt+k 对所有的k,i≥0 ，则有Rs+kp+i=Rs+i p=t-s 设S={R0,R1,R2,…,Rt-1}，则R的每一次幂是S的元素，即对n∈N, Rn∈S

7.3 关系的运算 证明：若q<t，则Rq∈S 。 若q≥t，则存在自然数k，i使得 q=s+kp+i 其中0≤ i≤p-1，所以 Rq= Rs+kp+i = Rs+i 由于0≤ i≤p-1 s+i ≤ s+p-1 ≤ s+t-s-1=t-1

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7.4 关系的性质 自反性 反自反性 例 A={a,b,c} a∈A，有<a,a>∈R，则R为A上的自反关系 R1={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>,<c,a>} R2={<a,b>,<b,c>,<c,a>} R3={<a,a>,<b,c>}

7.4 关系的性质 例：R是I+上的整除关系，则R具有自反性。 例：R是I上的同余关系，则R具有自反性， 其它≤，≥关系，均是自反关系。 证明：x∈I+，x能整除x， ∴<x,x>∈R，∴R具有自反性。 例：R是I上的同余关系，则R具有自反性， 证明：x∈I，(x-x)/k=0∈I, ∴x与x同余∴<x,x>∈R∴R具有自反性 其它≤，≥关系，均是自反关系。

7.4 关系的性质 例：N上的互质关系是反自反关系。 实数上的＜,＞关系,均是反自反关系。 证明：x∈N，x与x是不互质的， ∴<x,x>  R，∴R具有反自反关系。 实数上的＜,＞关系,均是反自反关系。

7.4 关系的性质 关系矩阵的特点 关系图的特点? 定理：R是A上的关系，则： 自反关系的关系矩阵的对角元素均为1， 反自反关系的关系矩阵的对角元素均为0。 关系图的特点? 定理：R是A上的关系，则： R是自反关系的充要条件是IAR R是反自反关系的充要条件是R∩IA=Ф。

7.4 关系的性质 对称关系R a,b∈A,如果<a,b>∈R,则必有<b,a>∈R, <b,a>∈R 例 R1＝{<1,1>,<2,3>,<3,2>} R1是对称的 R2＝{<1,1>,<3,3>} R2是对称的 R3＝{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,1>} R3不是对称的

7.4 关系的性质 例：R是N上的互质关系,R具有对称性。 关系矩阵特点 关系图特点？ 定理： R在A上对称当且仅当R=R-1 证明：必要性 对称关系的关系矩阵是对称矩阵 关系图特点？ 定理： R在A上对称当且仅当R=R-1 证明：必要性 <x,y>R<y,x>R<y,x>R-1 充分性 <x,y>R<y,x>R-1<y,x>R

7.4 关系的性质 反对称关系R 例: A＝{a,b,c} a,b∈R,如果<a,b>∈R且<b,a>∈R,则必有a＝b a,b∈A,如a≠b,<a,b>∈R,则必有<b,a>R。 例: A＝{a,b,c} R＝{<a,a>,<b,b>} S＝{<a,b>,<a,c>} T＝{<a,c>,<b,a>,<a,b>} R,S是反对称的,T不是反对称的

7.4 关系的性质 例: 实数集合上≤关系是反对称关系 例≥,<,>关系,均是反对称关系。 反对称关系矩阵和关系图特点？ x,y∈实数集,如x≠y,且x≤y,则y≤x不成立 例≥,<,>关系,均是反对称关系。 反对称关系矩阵和关系图特点？ 定理： R在A上反对称当且仅当R∩R-1  IA

7.4 关系的性质 传递关系 a,b,c∈A,如果<a,b>∈R,<b,c>∈R, 必有<a,c>∈R 例 R1＝{<x,y>,<z,x>,<z,y>} 是传递关系 R2＝{<a,b>,<c,d>} R3＝{<a,b>,<b,a>} 不是传递关系

7.4 关系的性质 例:整除关系DI＋是I＋上的传递关系。 例:P(A)上的包含关系具有传递性。 例:实数集上的≤关系具有传递性。 x,y,z∈I＋,如<x,y>∈DI＋,<y,z>∈DI＋,即x能整除y,且y能整除z,则必有x能整除z, <x,z>∈DI＋ 例:P(A)上的包含关系具有传递性。 若uv,vw,则必有uw 例:实数集上的≤关系具有传递性。 若x≤y,y≤z必有x≤z

7.4 关系的性质 传递关系关系图特点 如果结点a能通过有向弧组成的有向路径通向结点x,则a必须有有向弧直接指向x,否则R就不是传递的 例R={<a,b>,<b,c>,<c,d>,<a,c>} 定理：R在A上传递当且仅当RR  R d c b a

7.4 关系的性质 自 反： 反自反： 对 称： 反对称： 传 递：

7.4 关系的性质 设A是集合，R1和R2是A上的关系 若R1，R2是自反和对称的，则R1∪R2也是自反的和对称的

7.4 关系的性质 设A是集合，R1和R2是A上的关系 若R1，R2是自反的和对称的，则R1∪R2也是自反 的和对称的 证明：R1，R2是自反的 IA R1，IA R2 所以IA R1∪R2 R1，R2是对称的 R1=R1-1和R2=R2-1 所以(R1∪R2)-1=R1-1∪R2-1= R1∪R2

7.4 关系的性质 例 X={1,2,3} R1={<1,2>,<2,3>,<1,3>} 反自反 反对称 可传递 R2={<1,1>,<1,2>,<2,3>} 反对称

7.4 关系的性质 R3={<1,1>,<2,2>,<3,3>} 自反，对称，反对称，可传递的 R4= Ex 自反，对称，可传递的 自反，对称，反对称，可传递的

7.4 关系的性质 X={1,2,3}, R5=  若X=  ，X上的空关系 反自反的，对称的，反对称的，可传递的 自反的，反自反的，对称的，反对称的，可传递的

回顾 问题：举例现实生活中的关系及其逆 二元关系的逆 说明 R-1就是将R中的所有有序对的两个元素交换次序成为R-1 ，故|R|=| R-1 | 说明 R-1 的关系矩阵是R的关系矩阵的转置，即 MR-1=(MR)T R-1的关系图就是将R的关系图中的弧改变方向即可以 问题：举例现实生活中的关系及其逆

回顾 关系的右复合 例 A={1,2,3,4,5},B={3,4,5},C={1,2,3} R={<x,y>|x+y=6} ={<1,5>,<2,4>,<3,3>} S={<y,z>y-z=2} ={<3,1>,<4,2>,<5,3>} RS={<1,3>,<2,2>,<3,1>}

回顾 定义：R是二元关系，A是集合 R在A上的限制 A在R下的像 A R(A)

回顾 R的n次幂 定理: 设R是集合A上的关系，m,n∈N 记为Rn R0 =A Rn+1=RnR RmRn=Rm+n (Rm)n=Rmn

回顾 从关系图来看关系的n次幂 R： 1 2 3 4 5 R2就是所有在R中通过二条弧连接的点则在R2这两点间直接有条弧。 R3,R4…

回顾 自反性 反自反性 实数上的≤，≥关系，均是自反关系 实数上的＜,＞关系,均是反自反关系 关系矩阵的特点 关系图的特点? a∈A，有<a,a>∈R，则R为A上的自反关系 反自反性 a∈A，有<a,a> R，R为A上的反自反关系 实数上的≤，≥关系，均是自反关系 实数上的＜,＞关系,均是反自反关系 关系矩阵的特点 自反关系的关系矩阵的对角元素均为1 反自反关系的关系矩阵的对角元素均为0 关系图的特点?

回顾 对称关系R a,b∈A,如果<a,b>∈R,则必有<b,a>∈R, <b,a>∈R 关系矩阵特点 对称关系的关系矩阵是对称矩阵 关系图特点？

回顾 反对称关系R 例: A＝{a,b,c} 反对称关系矩阵和关系图特点？ 定理： R在A上反对称当且仅当R∩R-1  IA a,b∈R,如果<a,b>∈R且<b,a>∈R,则必有a＝b a,b∈A,如a≠b,<a,b>∈R,则必有<b,a>R。 例: A＝{a,b,c} T＝{<a,c>,<b,a>,<a,b>} 反对称关系矩阵和关系图特点？ 定理： R在A上反对称当且仅当R∩R-1  IA

回顾 传递关系 例:P(A)上的包含关系具有传递性。 例:实数集上的≤关系具有传递性。 a,b,c∈A,如果<a,b>∈R,<b,c>∈R, 必有<a,c>∈R 例:P(A)上的包含关系具有传递性。 若uv,vw,则必有uw 例:实数集上的≤关系具有传递性。 若x≤y,y≤z必有x≤z

回顾 传递关系关系图特点 例R={<a,b>,<b,c>,<c,d>,<a,c>} 如果结点a能通过有向弧组成的有向路径通向结点x,则a必须有有向弧直接指向x,否则R就不是传递的 例R={<a,b>,<b,c>,<c,d>,<a,c>} 定理：R在A上传递当且仅当RR  R d c b a

回顾 自 反： 反自反： 对 称： 反对称： 传 递：

7.5 关系的闭包 定义：R是非空集合A上的关系,若A上另外有一个关系R’满足如下三条， R’是自反的(对称的，传递的） RR’ A上任何一个满足以上两条的关系R”，均有R’R”，称关系R’为R的自反(对称,传递)闭包,记作r(R),(s(R),t(R))

7.5 关系的闭包 解释 R’是在R的基础上添加有序对 添加元素的目的是使R’具有自反性(对称性,传递性)

7.5 关系的闭包 例A={a,b,c}，R={<a,a>,<a,b>,<b,c>} a c b c b 自反闭包r(R) {<a,a>,<a,b>,<b,c>,<b,b>,<c,c>} 对称闭包s(R) {<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>} 传递闭包t(R) {<a,a>,<a,b>,<b,c>,<a,c>} a c b r(R) a b c c b a b a c c b a

7.5 关系的闭包 例R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,e>}，求R的传递闭包 a b c d e

7.5 关系的闭包 定理：R是非空集合A上的关系,则r(R)=RA 证明: RRA，RA是自反的。 设R”满足RR”,R”是自反的 <a,b>RA 则<a,b>R或<a,b>A 如<a,b>R,由RR”知<a,b>R” 如<a,b>A,由R”的自反性知<a,b>R” 均有<a,b>R” RAR”

7.5 关系的闭包 定理: 设R是非空集A的关系,则s(R)=RR-1 证明: RRR-1满足定义第2条 <a,b>RR-1 <a,b>R<a,b>R-1 <b,a>R-1<b,a>R <b,a>RR-1 RR-1是对称的

7.5 关系的闭包 如RR”,且R”是对称的 <a,b>RR-1 <a,b>R或<a,b>R-1 如<a,b>R,由RR”,则<a,b>R” 如<a,b>R-1,则<b,a>R,则<b,a>R” 因R”对称 <a,b>R”,RR-1R” 满足定义第3条

7.5 关系的闭包 例:设A={1,2,3},A上的关系R如图,求r(R),s(R) r(R)= RA ={<1,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>,<2,2>,<1,1>} s(R)= RR-1 ={<1,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>,<2,1>} 1 2 3

7.5 关系的闭包 定理: 设R是非空集合A上的关系, 则 t(R)= R1R2… 证明：首先证明R1R2…  t(R)，使用归纳法。 n=1，显然R1= R t(R) 假设Rk  t(R)，对任意<x,y>有 <x,y>Rk+1 =Rk  R1 t(<x,t>Rk  <t,y>R1) t(<x,t>t(R)  <t,y>t(R)) <x,y>t(R) 其次， t(R)  R1R2…即证R1R2…传递 推论: 设A是非空有限集，R是集合A上的二元关系，则存在正整数n使得t(R)=RR2…Rn

7.5 关系的闭包 例 A={a,b,c,d} 解:R2={<a,c>,<a,d>},R3= R={<a,b>,<a,c>,<b,c>,<b,d>} S={<a,b>,<b,c>,<c,d>},求t(R),t(S) 解:R2={<a,c>,<a,d>},R3= t(R)=R{<a,c>,<a,d>} S2={<a,c>,<b,d>},S3={<a,d>},S4= t(S)=S{<a,c>,<b,d>}{<a,d>} a b c d R a b c d S

7.5 关系的闭包 给定关系R，r(R)，s(R)，t(R)的关系矩阵分别为M，Mr，Ms，Mt，那么： Mr=M+E Ms=M+M’ Mt=M+M2+M3+…

7.5 关系的闭包 定理：设A是一集合，R是A上的二元关系，则有： 证明：Rr(R)。由自反闭包定义，r(R)R。 若R是对称的当且仅当s(R)＝R 若R是可传递的当且仅当t(R)＝R 证明：Rr(R)。由自反闭包定义，r(R)R。

7.5 关系的闭包 定理：设A是集合，R1和R2是A上的二元关系，R1R2，则有： r(R1)r(R2) s(R1)s(R2) t(R1)t(R2) 证明： r(R1)=R1A ，r(R2)=R2A

7.5 关系的闭包 定理：设X是一集合，R是X上的二元关系，则有： 若R是自反的，则s(R),t(R)也自反 若R是对称的，则r(R),t(R)也对称 若R是可传递的，则r(R)也可传递

7.5 关系的闭包 定理：设X是一集合，R是X上的二元关系，则有： 证明：归纳法证明若R是对称，则Rn也对称 n=1，显然成立 若R是对称的，则t(R)也对称 证明：归纳法证明若R是对称，则Rn也对称 n=1，显然成立 假设Rn对称，对任意<x,y> <x,y>Rn+1 t(<x,t>Rn<t,y>R) t(<t,x>Rn<y,t>R) <y,x>RRn <y,x>Rn+1

7.5 关系的闭包 定理：设X是一集合，R是X上的二元关系，则有： 若R是对称的，则t(R)也对称 证明：…<y,x>RRn <y,x>Rn+1 任取<x,y>，有 <x,y>t(R) n(<x,y>Rn) n(<y,x>Rn) <y,x>t(R)

7.5 关系的闭包 若R是传递的，s(R)不一定是传递的 反例：R={<a,b>,<c,b>}， R是传递的 s(R)={<a,b>,<b,a>,<c,b>,<b,c>} s(R)不是传递的

第七章: 二元关系 第六节：等价关系与划分 第七节：偏序关系

第七章: 二元关系 第六节：等价关系与划分 第七节：偏序关系

7.6 等价关系与划分 等价关系：非空集合A上的关系，满足： 例 自反的 对称的 可传递的 实数(或I、N集上)集合上的“=”关系 全集上集合的相等关系 命题集合上的命题等价关系

7.6 等价关系与划分 例：设A={1,2,3,4,5,6,7} R={<x,y>|x,y∈A∧(x-y)可被3整除}

7.6 等价关系与划分 (2) R的关系矩阵 R满足自反、对称和可传递的

7.6 等价关系与划分 等价类：设R是非空A集合上的等价关系，对于任何x∈A，令： [x]R ={y|y∈A  xRy} [x]R是由x∈X生成的R等价类 x为等价类[x]R的表示元素

7.6 等价关系与划分 讨论 等价类[x]R是一个集合，[x]R  A ([x]R是A的子集) [x]R中的元素是在等价关系R中，所有与x具有等价关系的元素所组成的集合 在等价关系中的关系图中，一个最大连通子图中的点就是一个等价类

7.6 等价关系与划分 例： A={a,b,c,d} R={<a,a>，<b,b>，<a,b>，<b,a>，<c,c>，<d,d>，<c,d>，<d,c>} [a]R ={a,b}= [b]R [c]R ={c,d}= [d]R

7.6 等价关系与划分 例：设A=N 等价类 R={<x,y>|x∈A∧y∈A∧(x-y)可被3整除}

7.6 等价关系与划分 定理 设A是一个集合，R是A上的等价关系，xRy当且仅当[x]=[y] 证明： 充分性，因为x∈[x]=[y],即x∈[y] ，所以xRy。 必要性，已知xRy，考虑[x]的任意元素z，有zRx。根据R的传递性，有zRy，因此z∈[y]。证明[x][y]。类似可证明[y][x] ，所以[x]=[y]。证毕。

7.6 等价关系与划分 定理：设A是一个集合，R是A上的等价关系， 证明：只需证明如果xRy，则[x]∩[y]=Ø 对于所有x,y∈A，或者[x]=[y]，或者 [x] ∩[y]=Ø 证明：只需证明如果xRy，则[x]∩[y]=Ø 反证法：假设[x]∩[y]≠Ø，则z[x]∩[y] <x,z>R  <z,y>R  <x,y>R (矛盾!)

7.6 等价关系与划分 定理：设R是集合A上的等价关系，则 A=∪{[x] | xA} 证明：首先易证∪{[x] | xA}  A 其次，对任意yA yA  y[y]  yA  y∪{[x] | xA} 所以： A  ∪{[x] | xA}

7.6 等价关系与划分 商集：R是A上的等价关系， 例：A为全班同学的集合，|A|=n，(n∈N) R的所有等价类构成的集合 记为A/R：{[x]R | x A} 例：A为全班同学的集合，|A|=n，(n∈N) 按指纹的相同关系R1是一个等价关系 A/R1={[x1]R1,…[xn]R1} 同姓关系R2是一等价关系 A/ R2 ={[张]，[李]，…}

7.6 等价关系与划分 划分：给定一非空集合A，A的一个划分为非空集合族S={A1, A2,… Am}，满足： S xy(x, ySx≠yx∩y=) A1∪A2 ∪… ∪Am= A

7.6 等价关系与划分 例：S={a,b,c},下列Ai均为S的一个划分 A1={{a},{b,c}} A2={{a,b},{c}} A3={{a,c},{b}} A4={{a},{c},{b}} A5={{a,b,c}}

7.6 等价关系与划分 等价关系与划分有一一对应关系 划分到等价关系转化：A是一非空集合，S是A的一个划分，下述关系必定是一个等价关系 R={<x,y> | x, y A  x,y在S的同一划分} 等价关系到划分的转化：设A是非空集合，R是A上的等价关系。R的商集是A的划分

7.6 等价关系与划分 例：A ={a,b,c,d,e} S={{a,b},{c},{d,e}} 对应划分S的等价关系为 R={a,b}×{a,b}∪{c}×{c}∪{d,e}×{d,e}={<a,a>,<b,b>,<a,b>,<b,a>,<c,c>,<d,d>,<e,e>,<d,e>,<e,d>}

第七章: 二元关系 第六节：等价关系与划分 第七节：偏序关系

回顾：7.6 等价关系与划分 等价关系：非空集合A上的关系，满足： 自反的 对称的 可传递的

7.6 等价关系与划分 等价类：设R是非空A集合上的等价关系，对于任何x∈A，令： [x]R ={y|y∈A  xRy} [x]R是由x∈X生成的R等价类 x为等价类[x]R的表示元素

7.6 等价关系与划分 例： A={a,b,c,d} R={<a,a>，<b,b>，<a,b>，<b,a>，<c,c>，<d,d>，<c,d>，<d,c>} [a]R ={a,b}= [b]R [c]R ={c,d}= [d]R

7.6 等价关系与划分 性质1：设A是一个集合，R是A上的等价关系，xRy当且仅当[x]=[y] 性质2：设A是一个集合，R是A上的等价关系 对于所有x,y∈A，或者[x]=[y]，或者 [x] ∩[y]=Ø 性质3：设R是集合A上的等价关系，则 A=∪{[x] | xA}

7.6 等价关系与划分 商集：R是A上的等价关系， 例：A为全班同学的集合，|A|=n，(n∈N) R的所有等价类构成的集合 记为A/R：{[x]R | x A} 例：A为全班同学的集合，|A|=n，(n∈N) 按指纹的相同关系R1是一个等价关系 A/R1={[x1]R1,…[xn]R1} 同姓关系R2是一等价关系 A/ R2 ={[张]，[李]，…}

7.6 等价关系与划分 划分：给定一非空集合A，A的一个划分为非空集合族S={A1, A2,… Am}，满足： S xy(x, ySx≠yx∩y=) A1∪A2 ∪… ∪Am= A

7.6 等价关系与划分 等价关系与划分有一一对应关系 划分到等价关系转化：A是一非空集合，S是A的一个划分，下述关系必定是一个等价关系 R={<x,y> | x, y A  x,y在S的同一划分} 等价关系到划分的转化：设A是非空集合，R是A上的等价关系。R的商集是A的划分

第七章: 二元关系 第六节：等价关系与划分 第七节：偏序关系

7.7 偏序关系 次序在现实生活中常见： 研究序理论的动机： 小于，包含等 研究一般次序关系 推导出一般序关系的性质 这些关系可以应用于所有特定的序关系

7.7 偏序关系 偏序关系R (记作≼) 例:偏序关系 a b c 自反性: a∈A，有<a,a>∈R 反对称性: a,b∈R,如果<a,b>∈R且<b,a>∈R,则必有a＝b 传递性: a,b,c∈A,如果<a,b>∈R,<b,c>∈R, 必有<a,c>∈R 例:偏序关系 A＝{a,b,c} R＝{<a,a>,<a,b>,<a,c>,<b,b>, <b,c>,<c,c>} a b c

7.7 偏序关系 例：A是非零自然数集, ≼是A上的整除关系。 ≼是A上的偏序关系 a∈A, a能整除a ∴ ≼具有自反性 a,b∈A,如a能整除b,且b能整除a,则a＝b ∴ ≼具有反对称性 a,b,c∈A,如a能整除b,b能整除c,则a能整除c,<a,c>∈ ≼ ∴ ≼具有传递性 ≼是A上的偏序关系

7.7 偏序关系 小于≺：a≺ba≼ba≠b 可比：a与b可比  a≼bb≼a 例：A={1，2，3}，≼是A上的整除关系 可比不同于等于 例：A={1，2，3}，≼是A上的整除关系 1，3可比 全序关系R：R是A上的偏序关系, 满足： a,b∈A, a与b可比 例：实数上的≤,≥关系是全序关系

7.7 偏序关系 哈斯图 得名于德国数学家Helmut Hasse 用来表示有限偏序集的一种数学图表 一种图形形式的对偏序集的传递简约

7.7 偏序关系 覆盖：<A,≼>，b覆盖a如果 哈斯图思路： 条件2，3等于说如果b覆盖a,则画一条从a到b的弧线，否则不画 a≺b，不存在cA，a≺c≺b 哈斯图思路： 所有结点的自回路均省略 省略所有弧上的箭头,适当排列A中元素的位置,如a≼b,则a画在b的下方 如a≼b,b≼c,则必有a≼c, a到b有边, b到c有边,则a到c的无向弧省略 条件2，3等于说如果b覆盖a,则画一条从a到b的弧线，否则不画

7.7 偏序关系 例：画出下列偏序集的哈斯图。 1 2 5 3 4 6 <{1,2,3,4,5,6},R整除>

7.7 偏序关系 哈斯图构造方法： <A, R> 第一步 令R1=R－IA 求Ran(R1) 求A－Ran(R1) 第二步 令R2={从R1中去掉以第一层的元素为第一元素的有序对，所剩有序对} 求Ran(R2), 求Ran(R1) －Ran(R2) Ran(R1) －Ran(R2)中的元素画在哈斯图的第二层(自下而上)

7.7 偏序关系 哈斯图构造方法： 第三步 第k步 令R3={从R2中去掉以第二层的元素为第一元素的有序对，所剩有序对} 求Ran(R3), 求Ran(R2)－Ran(R3) Ran(R2)－Ran(R3)中的元素画在哈斯图的第三层 … … … … … … … … 第k步 令Rk={从Rk－1中去掉以第k－1层的元素为第一元素的有序对，所剩有序对}=， 将Ran(Rk－1)中的元素画在第k层(最顶层)

7.7 偏序关系 例：A={a,b,c},包含关系R是P(A)上的偏序关系,哈斯图如下: P(A)={ф,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} {a} {a,b} ф {b} {a,b,c} {b,c} {c} {a,c}

7.7 偏序关系 例：A={1，2，3，4，6，8，12，24 },R是整除关系,求哈斯图 R=IA{<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,6>,<1,8>,<1,12>,<1,24>,<2,4>,<2,6>,<>,<2,8>,<2,12>,<2,24>,<3,6>,<3,12>,<3,24>,<4,8>,<4,12>,<4,24>,<6,12>,<6,24>,<8,24>,<12,24>} 第一步: R1=R-IA={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,6>,<1,8>,<1,12>, <1,24>,<2,4>,<2,6>,<>,<2,8>,<2,12>,<2,24>,<3,6>,<3,12>,<3,24>,<4,8>,<4,12>,<4,24>,<6,12>,<6,24>,<8,24>,<12,24>} Ran(R1)={2,3,4,6,8,12,24} A－Ran(R1)={1} 元素＂1＂画在哈斯图的第一层(即哈斯图最下面的层)

7.7 偏序关系 例：A={1，2，3，4，6，8，12，24 },R是整除关系,求哈斯图 Ran(R2)={4,6,8,12,24} Ran(R1) －Ran(R2)={2,3} Ran(R1) －Ran(R2)={2,3}画在哈斯图的第二层(自下而上)

7.7 偏序关系 例：A={1，2，3，4，6，8，12，24 },R是整除关系,求哈斯图 Ran(R3)={8,12,24} Ran(R2) －Ran(R3)={4,6} Ran(R2) －Ran(R3)={4,6}画在哈斯图的第三层(自下而上)

7.7 偏序关系 例：A={1，2，3，4，6，8，12，24 },R是整除关系,求哈斯图 Ran(R4)={24} Ran(R3) －Ran(R4)={8,12} Ran(R3) －Ran(R4)={8,12}画在哈斯图的第四层(自下而上)

7.7 偏序关系 例：A={1，2，3，4，6，8，12，24 },R是整除关系,求哈斯图 第五步： Ran(R4)={24}

7.7 偏序关系 例：A={1，2，3，4，6，8，12，24 },R是整除关系,求哈斯图 24 8 12 4 6 2 3 1

7.7 偏序关系 A={a,b,c,d},包含关系R是P(A)上的偏序关系,哈斯图如下:

7.7 偏序关系 最小(大)元：设<A, ≼>是偏序集,集合BA 说明 最大元b∈B：a∈B,均有a≼b 最小元b∈B：a∈B,均有b≼a 说明 如果A的子集B存在最大(小)元素,则最大(小)元素是唯一的 最大(小)元可能不存在

7.7 偏序关系 例:A＝{1,2,3,4,5,6},R是整除关系,哈斯图为 1 2 5 3 4 6 A中不存在最大元

7.7 偏序关系 极大(小)元：设<A, ≼>是偏序集,BA 说明 1 2 5 3 4 6 极大元b∈B：a∈B,如b≼a,则a＝b 不存在a∈B，b≺a 极小元b∈B：a∈B,如a≼b,则a＝b 不存在a∈B，a≺b 说明 极大元未必是最大元 极大元未必是唯一的 如果B是有限集,则B必存在极大元 最大元就是极大元 1 2 5 3 4 6

7.7 偏序关系 例：下列哈斯图表示的偏序集是否有最大(小)元？是否有极大(小)元？ {a} {a,b} ф {b} {a,b,c} {a,c}

7.7 偏序关系 上(下)界：设<A, ≼>是偏序集, BA, a∈A 说明 B的上界a：对每个b∈B,有b≼a 上下界不一定唯一

7.7 偏序关系 例：<A，R整除>, A={2,3,6,12,24,36} A 上界 下界 B {2,3} {2,3,6} {6,12} 12,24,36 2,3,6 {6,12,24,36}

7.7 偏序关系 上(下)确界：设<A, ≼>是偏序集, BA 说明 最小上界：C={b|b为B的上界}的最小元 最小上界或最大下界可能不存在 若存在最小上界或最大下界，是唯一的

7.7 偏序关系 例:〈A，R整除〉,A={2,3,6,12,24,36} A 上确界 下确界 B {2,3 } 6 {2,3,6 } {6,12 } 12 {6,12,24,36 }

第七章 习题课 主要内容 有序对与笛卡儿积的定义与性质 二元关系、从A到B的关系、A上的关系 关系的表示法：关系表达式、关系矩阵、关系图 第七章 习题课 主要内容 有序对与笛卡儿积的定义与性质 二元关系、从A到B的关系、A上的关系 关系的表示法：关系表达式、关系矩阵、关系图 关系的运算：定义域、值域、域、逆、合成、限制、像、幂 关系运算的性质: A上关系的自反、反自反、对称、反对称、传递的性质 A上关系的自反、对称、传递闭包 A上的等价关系、等价类、商集与A的划分 A上的偏序关系与偏序集

基本要求 熟练掌握关系的三种表示法 能够判定关系的性质（等价关系或偏序关系） 掌握含有关系运算的集合等式 掌握等价关系、等价类、商集、划分、哈斯图、偏序集等概念 计算AB, dom R, ranR, fldR, R1, RS , Rn , r(R), s(R), t(R) 求等价类和商集A/R 给定A的划分，求出 所对应的等价关系 求偏序集中的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界、下确界 掌握基本的证明方法 证明涉及关系运算的集合等式 证明关系的性质、证明关系是等价关系或偏序关系

练习1 1．设A = {1, 2, 3}, R = {<x,y> | x, yA且x+2y  6 }， S = {<1,2>, <1,3>,<2,2>}, 求: (1) R的集合表达式 (2) R1 (3) dom R, ran R, fld R (4) RS, R3 (5) r(R), s(R), t(R)

解答 (1) R = {<1,1>, <1,2>, <2,1>, <2,2>, <3,1>} (2) R1 = {<1,1>, <2,1>, <1,2>, <2,2>, <1,3 >} (3) domR = {1, 2, 3}, ranR = {1,2}, fldR = {1, 2, 3} (4) RS = {<1,2>, <1,3>, <2,2>, <2,3>, <3,2>, <3,3>} R3 = {<1,1>, <1,2>, <2,1>, <2,2>, <3,1>, <3,2>} (5) r(R) = {<1,1>, <1,2>, <2,1>, <2,2>, <3,1>, <3,3>} s(R) = {<1,1>,<1,2>,<2,1>, <2,2>, <3,1>, <1,3>} t(R) = {<1,1>, <1,2>, <2,1>, <2,2>, <3,1>, <3,2>}

练习2 2．设A={1,2,3,4}，在AA上定义二元关系R： <<x,y>,<u,v>>R  x+y = u+v， 求R导出的划分. AA={<1,1>, <1,2>, <1,3>, <1,4>, <2,1>, <2,2>, <2,3>, <2,4>,<3,1>, <3,2>, <3,3>, <3,4>, <4,1>, <4,2>, <4,3>, <4,4>} 根据 <x,y> 中的 x+y = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 将A划分成等价类： A/R={{<1,1>}, {<1,2>,<2,1>}, {<1,3>, <2,2>, <3,1>}, {<1,4>, <2,3>, <3,2>, <4,1>}, {<2,4>, <3,3>, <4,2>}, {<3,4>, <4,3>}, {<4,4>}}

练习3 3．设R是Z上的模 n 等价关系, 即 xy  x  y(modn), 试给出由R确定的Z的划分. 解 设除以 n 余数为 r 的整数构成等价类 [r]，则 [r] ={ kn+r | kZ }, r = 0, 1, …, n1  = { [r] | r = 0, 1, …, n1}

练习4 4．设偏序集 <A, R> 的哈斯图如图所示. (1) 写出A和R的集合表达式 (2) 求该偏序集中的极大元、极小元、最大元、最小元 解 (1) A = {a, b, c, d, e} R = {<d,b>, <d,a>, <d,c>, <e,c>, <e,a>, <b,a>, <c,a>}IA (2) 极大元和最大元是a, 极小元是d, e； 没有最小元. a b c d e 图11

练习5 5．设R是A上的二元关系， 设 S = {<a,b> | c(<a,c>R<c,b>R)}. 证明如果R是等价关系，则S也是等价关系。 证 R是A上的等价关系. (1) 证自反 任取x, xA  <x,x>R  x (<x,x>R<x,x>R)  <x,x>S (2) 证对称 任取<x,y>, <x,y>S  c(<x,c>R<c,y>R)  c (<c,x>R<y,c>R) <y,x>S (3) 证传递 任取<x,y>, <y,z>, <x,y>S  <y,z>S  c (<x,c>R<c,y>R)  d (<y,d>R<d,z>R)  <x,y>R<y,z> R  <x,z>S

练习6 6．设偏序集<A,R>和<B,S>，定义AB上二元关系T: <x,y>T<u,v>  xRu  ySv 证明T为偏序关系. 证 (1) 自反性 任取<x,y>, <x,y>AB  xAyB  xRxySy  <x,y>T<x,y> (2) 反对称性 任取<x,y>,<u,v> <x,y>T<u,v><u,v>T<x,y>  xRu  ySv  uRx  vSy  (xRu  uRx)  (ySv  vSy)  x=u  y=v  <x,y>=<u,v> (3) 传递性 任取<x,y>,<u,v>, <w,t> <x,y>T<u,v><u,v>T<w,t>  xRu  ySv  uRw  vSt  (xRu  uRw)  (ySv  vSt)  xRw  ySt  <x,y>T<w,t>

关系性质的证明方法 1. 证明R在A上自反 任取x, xA  ……………………..….…….  <x,x>R 前提 推理过程 结论 2. 证明R在A上对称 任取<x,y>， <x,y> R  ……………………………….  <y,x>R 前提 推理过程 结论

关系性质的证明方法 3. 证明R在A上反对称 任取<x,y>， <x,y>R<y,x>R  ……………………..  x = y 前提 推理过程 结论 4. 证明R在A上传递 任取<x,y>,<y,z>， <x,y>R<y,z>R  ……………………..  <x,z>R 前提 推理过程 结论

练习7 7．R,S为A上的关系，证明 RS  t(R)  t(S) 证 只需证明对于任意正整数n, Rn  Sn. 对n归纳. 假设对于n，命题为真，任取<x,y> <x,y>Rn+1  <x,y>Rn∘R  t (<x, t>Rn  <t, y>R)  t (<x, t>Sn  <t, y>S)  <x,y>Sn∘S  <x,y>Sn+1

关系等式或包含式的证明方法 数学归纳法（主要用于幂运算） 证明中用到关系运算的定义和公式, 如： xdomR  y(<x,y>R) yranR  x(<x,y>R) <x,y>R  <y,x>R1 <x,y>R∘S  t (<x,t>R<t,y>S) <x,y>R↾A  xA  <x,y>R yRA]  x (xA  <x,y>R) r(R) = RIA s(R) = RR1 t(R) = RR2…