计算方法与实习 主讲教师：张善卿 邮箱：zhangsq71@163.com 电话：13073601029

课程名称 计算方法 数值计算方法 数值分析

教材 《计算方法与实习》（第5版） 孙志忠 吴宏伟等 东南大学出版社 Burden, Richard L., and J. Douglas Faires. Numerical Analysis. 7th ed. Belmont, CA: Brooks Cole, 2000. ISBN: 0534382169.

教学要求 教学内容安排 上机安排 上机要求 作业要求 考试要求

第一章 绪论

§1 计算方法的对象与特点 数学模型的计算方法，但区别于分析方法、精确计算方法、解析方法，是一种数值方法、逼近方法、适用于计算机上使用的方法，因此属于解决实际问题的中间环节： 实际问题 ----- 数学模型 ----- 算法 ----- 程序设计 ----- 上机计算 ----- 结果分析

对象：求解各类数学问题在一定范围内的数值解的方法，及研究这些方法的收敛性、稳定性及误差分析，在计算机上编程有效实现。 特点： 数值计算方法所得结果是问题的近似解； 数值计算方法中所有运算是四则运算； 数值计算方法都是构造性方法； 数值计算方法实用性强，是与计算机密切结合的解决实际问题的数学课程。

主要内容： 方程求根 线性方程组数值解法 插值法 曲线拟合 数值微积分 常微分方程数值解法

§2 误差的来源及误差的基本概念 2.1 误差的来源 误差： 客观物理量的真实值与计算得到的结果往往不完全相等，存在小的偏差，称为误差。 误差来源： 模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差 结论：误差不可避免，但要尽量减少，提高精度。

2.2 绝对误差与绝对误差限 定义1. （误差/绝对误差） e=x*-x，其中x*为物理量的准确值（真值）， x为其近似值。 定义2. （误差限/绝对误差限）

2.3 相对误差与相对误差限 实际计算中，取 作为相对误差 。

2.4 有效数字 定义3.如果近似值x的误差限是其某一位上的半个单 位，且该位直到x的第一位非零数字一共有n位，则称 例1、例2 见第4页

例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值： 236.478, 0.00234711, 9.000024,9.000034x103 236.48, 0.002 347 1, 9.000 0, 9.000 0x103 例2 指出下列各数有几位有效数字： 2.000 4, -0.002 00, -900 0, 9x103, 2x10-3

对于某个量x*,其近似值为x=±0.a1a2…an×10m ,n为正整数，m为整数，若满足 有效数字与误差的关系 对于某个量x*,其近似值为x=±0.a1a2…an×10m ,n为正整数，m为整数，若满足 ∣e(x)∣= ∣x*-x∣≤0.5×10m-n 则称x为具有n位有效数字的近似值，或称它精确到10m-n 关系：一个量x*,其近似值x=±0.a1a2…an×10m ,有n位有效数字 则 1. ∣e(x)∣= ∣x*-x∣≤0.5×10m-n 2. ∣er(x) ∣=∣e(x)/x∣≤

实数的机内表示 实数在计算机采用浮点表示法。 一个基数为b的t位数的规格化浮点表示形式为    

一个实数在计算机采用机器数表示为其近似值 机器数的有限性 计算机浮点数加上机器零组成了机器数的集合，该集合是一个离散的分布不均匀的有限集合   一个实数在计算机采用机器数表示为其近似值

2.5 数据误差的影响

两数的和、差、积、商的误差估计

例3 测得某物体行程s*的近似值s=800m，所需时间t*的近似值t=35s。若已知 ∣t*-t∣≤0.05s， ∣s*-s∣≤0.5m ，试求平均速度v的绝对误差限和相对误差限

§4 误差危害的防止 4.1 使用数值稳定的计算公式 例5. 建立积分的递推关系式 （n=0,1,…20） 并研究它的误差传递

4.2 尽量避免两相近数相减

例6 计算x= 的值 解：x1= x2= x3= x4= 已知 ≈1.41421356… 取 ≈1.4

4.3 尽量避免用绝对值很小的数作除数

4.4 防止大数“吃掉”小数

4.5 注意简化计算步骤，减少运算次数

秦九韶算法

秦九韶算法

练习 P15 习题1：第1、2、4、 8、9题

计算实习1：舍入误差与数值稳定性 Matlab工作环境简介

计算实习1：舍入误差与数值稳定性 y0 = log(6.0/5.0); fprintf('y[%d] = %f\n', 0, y0) while(1) y1 = 1.0/n - 5*y0; fprintf('y[%d] = %f\n', n, y1) if (n >= 40) break; end y0 = y1; n = n+1; 见第213页

计算实习1：舍入误差与数值稳定性 y0 = (1/205+1/246)/2; n = 40; fprintf('y[%d] = %f\n', n, y0) while(1) y1 = 1/(5*n) - y0/5; fprintf('y[%d] = %f\n', n-1, y1) if (n <= 1) break; end y0 = y1; n = n-1; 见第216页