立体几何 空间的角

思想方法： 传统法：利用转化的思想，将异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，转化为平面角，然后解三角形。 向量法：利用两个向量的夹角公式，可以求解有关角的问题。

题型Ⅰ求两异面直线所成的角 转化时多用平移（或补形），异面直线所成角的平面角的平面顶点O的选取一般选在两异面直线的端点处或中点及分点处。 两异面直线所成角的范围(0O，90O]，两向量的夹角的范围[0O，180O]。注意角度的范围！

例1.（05，全国，18）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC， 底面ABCD，且PA=AD=DC= AB=1，M是PB的中点。 （Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角； （Ⅲ）求面AMC与面BMC 所成二面角的大小。 G E F

例1.（05，全国，18）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC， 底面ABCD，且PA=AD=DC= AB=1，M是PB的中点。 （Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角； （Ⅲ）求面AMC与面BMC 所成二面角的大小。 E

例2、如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：AC 1//平面CDB1； （III）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值． E

例3、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB= ，BC=1，PA=2，E为PD的中点. （Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离. O

题型Ⅱ求直线与平面所成的角 法一（定义法）找垂线——找射影 关键是作出斜线在平面内的射影，即关键是判断射影在平面内的位置。 法二：向量法——注意角度之间的联系与区别 注：用向量方法求夹角时，忽略异面直线所成角和线面角的范围与向量夹角范围的区别常导致错误！

例1（05，浙江）、如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC． (Ⅰ)当k＝ 时，求直线PA与平面PBC所成角的大小 (Ⅱ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

例2、三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC 垂直，PA=PB=PC=3， （1）求证：AB ⊥ BC； （2）设AB=BC= ，求AC与平面PBC所成 角的大小. （2004年全国文科试题）

题型Ⅲ二面角 二面角及二面角的平面角 （1） 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，记为 ，范围是 （2） 二面角的平面角 （1） 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，记为 ，范围是 （2） 二面角的平面角 作二面角的平面角的方法： ①定义法 ②三垂线定理 ③垂面法（作交线的垂面） ④面积法 注：无棱二面角——找交线

题型Ⅲ二面角 利用向量求二面角的大小： 方法一：分别在二面角 内，并且 沿 延伸的方向作向量 ， 则可用 度量这个二面角的大小， 即

题型Ⅲ二面角 利用向量求二面角的大小： 方法二：分别在二面角 内，并且 作平面 的法向量 ，则可用 度量这个二面角的大小，即 方法二：分别在二面角 内，并且 作平面 的法向量 ，则可用 度量这个二面角的大小，即 注：我们应根据图形特征先判断二面角 的大小为锐角还是钝角，然后再决定取 或其补角作为二面角 的大小。

例1.（05，全国，18）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC， 底面ABCD，且PA=AD=DC= AB=1，M是PB的中点。 （Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角； （Ⅲ）求面AMC与面BMC 所成二面角的大小。

例2（05，湖南）如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2. （Ⅰ）证明：AC⊥BO1； （Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小. A O B C D O1 图1 图2

例3、如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE． （Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE； （Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小； （Ⅲ）求点D到平面ACE的距离。 E D C F B A

作业：如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂 直，AB= ，AF=1，M是线段EF的中点。 （1）求证：AM∥平面BDE； （2） 求证：AM⊥平面BDF； （3） 求二面角A－DF－B的大小；

立 体 几 何 ——空间的距离

思想方法： 空间的距离主要指点面距、线面距和面面距， 而后两种的求解一般可转化为第一种，即线面距 及面面距都是通过转化最终转为求解点面距解决 而完成的。（转化的思想） 例如：求一个平面的一条平行线上一点到这个 平面的距离较难时，可转化为平行线上其他的点 到这个平面的距离。

题型：求点到平面的距离 方法：(1)等体积法， (2)直接法，找出点在平面内的射影

例1、（05，江西）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动。 （1）证明：D1E⊥A1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为 .

例2、如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1. （Ⅰ）求BF的长； （Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.

立 体 几 何 ——探索性问题

例1、（05，江西）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动。 （1）证明：D1E⊥A1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为 .

例2、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB= ，BC=1，PA=2，E为PD的中点. （Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.

例1（05，浙江）、如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC． (Ⅰ)当k＝ 时，求直线PA与平面PBC所成角的大小 (Ⅱ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？