學生的數學架構 哈特博士 報告：劉瑞珍
前言 中學數學與科學概念CSMS Concepts in Secondary Mathematics and Science 中學生的數學解題策略SESM Strategies and Errors in Secondary Mathematics 學生的數學架構CMF Children`s Mathematical Frameworks 前二個階段的研究發現『學生會發展一些自己的方 法來解決問題：學童法(Child methods)和初學法 (Naive methods)』 學生在學習數學概念的過程中，教師常常使用具體物來幫助學生學習，而學生從具體教具學習到數學公式學習之間的轉型未成功
具體操作，促進了解 Piaget認知發展階段理論 具體教具四種不同的使用方法 1.將具體教具嵌入教材中 2.具體教具是用來教某個概念的的基本概念 3.具體教具是用來證明所學的數學公式是很合理的 4.具體教具是用來較有結構的表達一個數學關係式 具體教具教學四優點
是否透過具體教具操作之後就已經了解公式？ 研究方法 研究對象8~13歲的小孩 參與的教師在教學前需詳細寫出教材的處理次序及如何使用教具、如何從具體操作到公式的教學教案 研究者與學生進行四次面談 具體教具教學 數學公式教學 三個月後 第一次面談 第二次面談 第三次面談 第四次面談 是否透過具體教具操作之後就已經了解公式？ 處理問題的方式 先備知識 1.是否還使用具體教具 2.是否已使用公式 3.是否仍用自己的方法 4.是否看出具體教具操作與公式之間的關係
研究單元 位值 立體的體積 圓周 等價分數 方程式 長方形的面積 擴大
研究結果 一、教師從來不告訴學生為什麼學生需要學一般化的公式 你總不能一輩子帶著積木來算體積吧？ 體積有時候是不能用積木來算的 為什麼要學公式呢？
今天老師花一堂課的時間使用具體教具教學喔~ 研究結果(cont.) 二、同樣的教材，各個教師用具體教具操作的時間有很大的差異 真的呀？我們老師只花了5分鐘耶 今天老師花一堂課的時間使用具體教具教學喔~
研究結果(cont.) 三、學生的某些錯誤是來自教師本身犯了這種錯誤 + 45 82 - 28 132 - 129 002 - 176 例一 37 + 45 82 例二 2 9 - 28 例三 132 - 129 002 例四 376 - 176 200
研究結果(cont.) 四、教師在教學時常留下一個很大的斷層，希望學生自己去補 體積 長 寬 高 36 3 9 3 10 4 12
演算法54-28=(40+14)-(20+8)=(40-20)+(14-8)=(40-20)+6=20+6=26 研究結果(cont.) 五、有時教師所使用的具體教具操作與演算法完全無關 教具操作 54 – 28 = 54–20-8 = 34-8 = 24+(10-8) = 24+2 = 26 演算法54-28=(40+14)-(20+8)=(40-20)+(14-8)=(40-20)+6=20+6=26
研究結果(cont.) 六、有時教師所使用的具體教具操作比原來用演算法則處理問題更困難 3x+5=14 3x=9 X=3 16 16-5x=12-3x x x x x x 12 x x x
研究結果(cont.) 七、教師在使用具體教具教學時，對於具體教具所展現的真正意義似乎都沒有交代清楚 1 1/2 1/4 1/8 等價分數 1 = 2/2 = 4/4 = 8/8 6/10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6/12 ≠ 3/8 但 6/11 = 6/12 ？為什麼？ 你能看出哪一個圖形是6/10嗎？
研究結果(cont.) 八、教師常認為第一次學沒學會無所謂，反正中學有機會再學一次，其實並不然
研究結果(cont.) 九、評量時，教師不應該只注重答案的對錯，更應該注意學生的解題過程
研究結果(cont.) 十、學生犯錯的原因之一是教師將他們放在一個容易犯錯的環境 4 5 1 9 5 4
結論 Piaget理論的迷思 教師應分析具體教具教學與概念之間的關係 教師不要期望學生會操作教具來了解公式
學童法和初學法的特徵 1. 傾向於使用整數(whole number) 2. 包括點數(Counting)或疊加(adding)的方法 3 Piaget認知發展理論的要點是人處理資訊的容量會隨年齡增加而增大，Case(1975，1978)據此提出假設“當學習者所處的學習環境，需求他掌握的資訊量超過他的能力時，就趨向發展出合理但過於簡化的解題策略”，就是所謂的學童法 成人算則 有效率的解題策略，只要會算，不必了解其意義
Piaget 認知發展理論 sensorimotor stage (0~2)智慧採取感覺動作形式 →preoperation period(3~7)直覺的本能 →concrete operational stage(8~11)能以具體經驗解決問題 →formal operations stage(12~15)能做抽象思維