第五节 线性方程组有解判别定理 一、线性方程组的向量表示形式 二、线性方程组有解判别定理 三、一般线性方程组的解法 四、线性方程组的求解步骤
一、线性方程组的向量表示形式 在有了向量和矩阵的理论准备之后，我们现在 可以来分析一下线性方程组的问题，给出线性方程 组有解的判别条件. 设线性方程组为
引入向量 于是线性方程组 (1) 可以改写成向量方程 x11 + x22 + … + xnn = . (3) 显然，线性方程组 (1) 有解的充分必要条件为 向量 可以表示成向量组1 , 2 , …, n 的线性组 合. 用秩的概念，这个条件可以叙述如下：
二、线性方程组有解判别定理 定理 7 线性方程组 (1) 有解的充分必要条件 为它的系数矩阵 与增广矩阵
证明 有相同的秩. 先证必要性. 设线性方程组 (1) 有解, 就是说， 可以经向量组 1 , 2 , …, n 线性表出. 这两个向量组分别
是矩阵 A 与 A 的列向量组. A 因此，矩阵 A 与 有相同的秩. 再证充分性. A 设矩阵 A 与 有相同的秩 ，就 是说，它们的列向量组1 , 2 , …, n 与1 , 2 , …, n , 有相同的秩，令它们的秩为 r . 1 , 2 , …, n 中的极大线性无关组是由 r 个向量组成，无妨设 1 , 2 , …, r 是它的一个级大线性无关组. 显然
证毕 1 , 2 , …, r 也是 1 , 2 , …, r , 的一个级大线 表出，它当然可以经1 , 2 , …, n 线性表出. 因此，方程组 (1) 有解. 证毕
三、一般线性方程组的解法 根据克拉默法则，可以得到一般线性方程组的 一个解法. 这个解法有时在理论上是有用的. 设线性方程组 (1) 有解，矩阵 A 与 A 的秩都 等于 r，而 D 是矩阵 A 的一个不为零的 r 级子式 A (当然它也是 的一个不为零的子式)，为了方便 起见，不妨设 D 位于 A 的左上角.
显然，在这种情况下， A 的前 r 行就是一个极 大线性无关组，第 r + 1 , … , s 行都可以经它们线 性表出. 因此，方程组 (1) 与 同解. 当 r = n 时，由克拉默法则，方程组(4)有唯一 解，也就是方程组 (1) 有唯一解.
当 r < n 时，将方程组 (4) 改写为 方程组 (5) 作为以 x1 , x2 … , xr 为变量的一个方程 组，它的系数行列式 D 0. 由克拉默法则，对于 xr+1 , … , xn 的任意一组值，方程组 (5)，也就是方 程组 (1) ，都有唯一解. xr+1 , … , xn 就是方程组(1)
的一组自由未知量. 对 (5) 用克拉默法则，可以解 出 x1 , x2 … , xr ： (6) 就是方程组 (1) 的一般解. 上述一般线性方程组的求解方法，可归纳成以 下步骤：
例 1 解线性方程 解 首先我们来判别方程组是否有解. 把方 程组的增广矩阵化为行阶梯形
初等行变换 因为系数矩阵和增广矩阵的秩均为 2 ，所以方 程组有解. 它的一个同解方程组是
把 x1 , x5 取作非自由未知量，x2 , x3 , x4 当作自由未 知量，并把方程组变形成 解之得方程组的一般解为