第 23 講 二 重 積 分 銘傳大學網路教學 製作人 應用統計與資訊學系
本講內容 § 23.1 單變數函數積分之回顧 § 23.2 二重積分的定義與性質 § 23.3 Fubini 定理 § 23.4 變元代換 § 23.5 各種不同場合之應用
§ 23.1 單變數函數積分之回顧
§ 23.2 二重積分的定義與性質
R
z=f(x,y)=1+x2+y2
(重積分與面積) 6 R =(7-1)(6-2)=24 2 1 7
Repeat integral or iterative integral
(重積分與面積) 是否有類似的處理方法? --------Fubini 定理 及其推廣
(重積分與體積)
§ 23.3 Fubini 定理
x
R
例 4 試求函數 z = f(x,y)=4-x2-2y2 與 x-y 平面所界出的橢球體積 (如圖)
【例5】試計算 之值 這裡我們無法直接用過去學過的方法, 求得此一積分式的值 (註)關於此一積分式的重要性, 請參關 Willian, B. Geartart and Harris s.Shultz, “The Function (sin x)/x” , The College Mathematic Journal, 21(2), Mar 1990, p90-99
Step 1 先求出 之值 Step 2 證明 Step 3
因此, 如果我們能先計算出 之值, 則問題便可迎刃而解
Sol: Step 1 先求出 之值
Step 1 先求出 之值
之值
step2
step2 Step 3
利用上面的結果, 我們可以進一步求下列的積分值
Sol: 令 則由於
23.4 變元代換
y x
(例 7) 試求右圖之 極座標方程式 , r=3 cos 3 θ , 所圍成的面積
斜線區域面積
全部面積
§ 23.5 各種不同場合之應用
【例11】(統計學上的應用) 如果隨機變數 X 服從常態分佈且期望值=E(X)=μ; 異數數=Var(X)=σ2, 則 X的機率度可以寫表示為
如欲直接證明此一機率的總和為 1, 亦即 並不容易
但如果透過雙重積分及變數變換, 證明 則問題可以迎刃而解
(Proof)
續上頁
利用這個結果,我們令 則 且
表面積的計算原理
R
y=1-x y=x-1
例13 試求半圓球體 z=f(x,y)=1+x2+y2 在單位圓上所形成之球面表面積
本講內容 § 23.1 單變數函數積分之回顧 § 23.2 二重積分的定義與性質 § 23.3 Fubini 定理 § 23.4 變元代換 § 23.5 各種不同場合之應用