Potential Vorticity Attribution and Causality Spengler, T. and J. Egger, 2012: Potential vorticity attribution and causality. J. Atmos. Sci., 69, 2600–2607. 2012 Oct. 30 林柏旭

Objective 位渦擾動場被認為會造成far-field流場、熱力場 的改變 The causality of attribution is tested in this study by seeking an unbalanced initial state containing the same PV anomaly but without a far field from which the balanced state can be attained by geostrophic adjustment

PV Inversion 基本概念： 𝑃= 1 𝜌 𝜂 ∙𝛻𝜃 𝑃= 1 𝜌 𝜂 ∙𝛻𝜃 P:位渦　ρ:密度　 𝜂 :絕對渦度　位溫:θ PV Inversion 基本概念： 利用位渦是一動力場與熱力場組合之特性，以已知的 位渦分佈，在假設大氣滿足某種平衡狀態後，給定適 當的邊界條件即可反演出風場、質量場的分佈 例：在正壓大氣下，位渦可表示為𝑃= 𝑓+ 𝜁 𝜙 給定位渦值以及邊界條件後，可以利用流函數與速 度場之關係式 𝑣 =𝛻×𝜓，得出無輻散流的𝜁= 𝛻 2 𝜓， 即可利用以下方程式迭代求出流函數與重力位 𝛻 2 𝜓 𝑛+1 =𝑃 𝜙 𝑛 −𝑓 𝛻 2 ϕ 𝑛+1 =𝑓 ζ 𝑛+1 −β 𝑢 𝑛 +2𝐽( 𝑢 𝑛 , 𝑣 𝑛 ) Class notes of “Tropical Cyclone Dynamics” at NTU, Y. Wang and C.-C. Wu

Piecewise PV Inversion, PPVI Davis and Emanuel 1991; Davis 1992 基本概念： 將特定的位渦擾動場獨立出來，並對其做反演，如此 可看出此位渦場對天氣系統之影響 基本作法： 利用觀測到的風場計算出位渦分佈→找到感興趣的位 渦擾動場後對其進行反演，得出風場/質量場 Class notes of “Tropical Cyclone Dynamics” at NTU, Y. Wang and C.-C. Wu

Electrostatic Analogy Hoskins et al. (1985) Bishop and Thorpe (1994) Thorpe and Bishop (1995) 特性 電荷 位渦 性質 粒子特性 動力、熱力相結合之流體特性 力 電荷與電場間有電磁力 位渦不受任何力之影響 相似性 在一段距離外產生電場 在一段距離外(far field)造成溫度場、環流場的改變 傳遞 光速 波動（重力波、聲波）

Virtual Induction Egger (2009) 不平衡的位渦擾動場會透過波動向外傳遞，而波動的調 整過程建立了位渦擾動場、far-field物理場的關係 然而經過地轉調節後的高度場、風場分布情形，會類似 透過位渦反演所得出來的結果 此過程之所以稱為Virtual，是因為它在動力上是有可能 的，但不一定會發生

淺水波模式中的擾動場 Circular anomaly in shallow water

研究方法 位渦守恆： 𝜕 𝑞 ′ 𝜕𝑡 = 𝜕 𝜕𝑡 𝜁 ′ − 𝑓 𝐻 ℎ ′ =0 設定兩個軸對稱之位渦擾動場 H: Mean depth h’: Height deviation 𝑔 = 𝜌− 𝜌 2 𝜌 𝑔, reduced gravity 研究方法 位渦守恆： 𝜕 𝑞 ′ 𝜕𝑡 = 𝜕 𝜕𝑡 𝜁 ′ − 𝑓 𝐻 ℎ ′ =0 設定兩個軸對稱之位渦擾動場 假設平衡流場處於地轉平衡：𝑣=( 𝑔 𝑓 ) 𝜕 ℎ 𝑟 ′ 𝜕𝑟 利用地轉風的定義，可以得出： 𝜓 ′ = 𝑔 ℎ ′ /𝑓 PPVI: 移除反氣旋式q’ ，並對氣旋式位渦擾動場做反演 𝑞 ′ = 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 𝑟 𝜕 𝜓 ′ 𝜕𝑟 − 𝑓 2 𝑔 𝐻 𝜓 ′ q’=0 r1 q’=qa r1 q’=-qa

PV Radial distribution of: Initial height (light blue) Final height (dark blue) Azimuthal velocity (green) PV (red) 　Vertical axis has been scaled with: PV 初始高度場 終末高度場 徑向速度場 　　在PPVI的解釋裡，這裡far-field風場、質量場的分布 就是肇因於此氣旋式位渦擾動場

Further examination 透過設定高度擾動場來進一步檢查PPVI之結果，檢驗是 否有類似PV結構的不平衡初始場的存在 利用位渦守恆公式： 𝜕 𝑞 ′ 𝜕𝑡 = 𝜕 𝜕𝑡 𝜁 ′ − 𝑓 𝐻 ℎ ′ =0得知： 在一靜止（ζ’=0）的初始場中，半徑r≤r1內的初始擾動高度場為 ℎ 0 ′ = − 𝐻 𝑓 𝑞 𝑎 ，r1以外之h0’=0，所以qa<f 利用以上之初始條件，將方程式： 𝑞 ′ = 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 𝑟 𝜕 𝜓 ′ 𝜕𝑟 − 𝑓 2 𝑔 𝐻 𝜓 ′ 做整個domain的積分，得到： 2𝜋 𝑟 𝑔 ℎ 𝑟 ′ 𝑓 ∞ −2π 𝑓 𝐻 0 ∞ ℎ ′ 𝑟𝑑 𝑟 ′ =−𝜋 𝑓 𝐻 ℎ 0 ′ 𝑟 1 2 當積分結束時，其總質量=初始場總質量 透過地轉平衡的調節也能得出相同之結果 位渦的面積 的確採用一個沒有far-field的初始場，在最後也能夠發展成一個有著far-field的結果

三維球狀擾動場 Spherical anomaly in 3D

研究方法 QG PV ( 𝑟 ≤ 𝑟 1 ): 𝑞 ′ = 𝛻 2 + 𝜕 2 𝜕 𝑧 2 𝜓 ′ 𝑟 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 , 𝑧 = 𝑁 0 𝑓 𝑧 N0=Brunt Väisälä Freq.=0.019 s-1 研究方法 QG PV ( 𝑟 ≤ 𝑟 1 ): 𝑞 ′ = 𝛻 2 + 𝜕 2 𝜕 𝑧 2 𝜓 ′ 此擾動位處一靜止大氣中的f-plane上 流函數 ( 𝑟 ≤ 𝑟 1 )為： 𝜓 ′ =− 𝑞 𝑎 𝑟 1 2 2 − 𝑟 2 6 ( 𝑟 > 𝑟 1 )為： 𝜓 ′ =− 𝑞 𝑎 𝑟 1 3 3 𝑟 如同於淺水波的案例，首先要檢驗其far-field的風場、位溫 場是否與此PV擾動場有關 由於此擾動分佈是對稱於Z=0，故上下之壓力差會抵消，整 個domain的積分裡沒有質量場的擾動量

對流函數做水平積分： 0 2𝜋 0 ∞ 𝜓 ′ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 = − 2𝜋 3 𝑟 1 3 𝑞 𝑎 𝑟 𝑟=0 𝑟=∞ 𝑧 > 𝑟 1 水平積分結果為負，並且沒有邊界 對　　 的積分　　　　　　　　　　　　　　　得出其值與ｚ的正 負號有關，而此項可視為　　　　　，表示在擾動場的上方應該有 加熱現象，下方應該有冷卻現象 而潛熱作用由於不屬於調整過程的一部分(因為會產生PV)，所以只 有上升/下降運動會造成溫度的變化，而這代表了質量的變化，但 是對流函數積分的結果看不出質量的集中

上式中，若在無限遠處沒有環流，則第一項為零 利用位渦守恒的概念，計算總位渦量 上式中，若在無限遠處沒有環流，則第一項為零 流函數擾動場的差異量會與位渦平衡，透過上式可看出溫 度場的差異與位渦達成平衡=>位渦造成此溫度變化 將結果加上下上邊界(rigid lid)後，由於在邊界(z=D) 上沒有垂直變化量，所以上式第二項為零，變成第一項 要與位渦平衡，但是若再無限遠處有環流，那麼他的角 動量將會無法與有限的位渦擾動場平衡

Virtual Induction

Virtual Induction 進一步利用模式模擬 (可壓縮)Pseudo-PV PV

No rigid lids 無法找到 整個domain都有氣 　 旋式環流(?) 垂直方向上的不對稱性a>c

W/ rigid lids 質量場有不足之現象

Boundaries 當有邊界存在時，若不能讓聲波、重力波等波動傳出去， 那麼它們會在邊界上來回反射，讓流場沒辦法達到平衡 態 若利用damping來吸收這些波動，會造成位渦擾動場的 重新分佈，將不再會是同樣的球狀分布 無論有沒有邊界的存在，位渦與far-field之間的關係都 沒有那麼明確

Summary 在淺水波模式中，透過PVI及virtual induction都 可以找到相對應之初始場，所以表示PV與far-field 間可能沒有那麼直接之關聯性 在三維的檢驗中，位渦擾動場不能視為造成平衡流 場的原因，事實上，要達到平衡會需要一些在物理 上不合理的量（例如來自無限遠處的通量） 作者強調要用更精確的文字來描述PV與其貢獻之間 的關係 PV與far-field之間並沒有明確的關聯 因為位渦反演所得出的結果是假設在靜力平衡、 地轉平衡的狀況，故兩者之間在本質上有著一定 的關係，但是其實無法建立一明確的因果關係