第2节 向心力与向心加速度

1．理解向心力和向心加速度的概念． 2．能通过实验探究向心力的大小与质量、角速度、半径的定量关系． 3．能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力.

一、向心力及其方向 定义：做匀速圆周运动的物体会受到一个指向_____的_______的作用，这个力叫做向心力． 向心力的方向：向心力的方向总是指向_____ ，而线速度 的方向总是沿着圆周的切线方向，故向心力的方向始终与线速度_____ ，即与质点的运动方向_____ ． 作用效果：改变物体的速度_____ ，但不改变物体的速度_____ ． 来源：向心力是根据_______________命名的．它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力或它们的合力，也可以是某个力的分力． 圆心 等效力 圆心 垂直 垂直 方向 大小 力的作用效果

二、向心力的大小 实验研究F向与m、r、ω的关系 (1)实验方法：___________ (2)结论：物体的______越大、______越大、转动_______越大，物体所需向心力就_______． 计算公式：F＝_______＝_______． 思考 做非匀速圆周运动的物体所受到的合外力指向圆心吗？ 提示 做非匀速圆周运动的物体所受到的合外力不指向圆心。合外力在切线方向的分力改变线速度的大小，在半径方向的分力改变线速度的方向，即向心力。 控制变量法 质量 半径 角速度 越大 mrω2

三、向心加速度 定义：做匀速圆周运动的物体具有的沿_________指向_____的加速度，叫向心加速度． 大小：a＝____＝____． 方向：向心加速度的方向时刻________________，且始终指向_____ ． 意义：向心加速度是用来描述做圆周运动的物体_________改变快慢的物理量. 半径方向 圆心 rω2 与速度方向垂直 圆心 速度方向

一、向心力 向心力

对向心力的理解 (1)向心力是按力的作用效果来命名的，它不是某种确定性质的力，可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供． 对于匀速圆周运动，合外力提供物体做圆周运动的向心力．对于非匀速圆周运动，其合外力不指向圆心，它既要改变速度的大小，又要改变速度的方向．合外力在切线方向的分力用于改变线速度的大小，在半径方向的分力用于改变线速度的方向即向心力． (2)向心力的作用效果是改变线速度的方向．由于向心力始终指向圆心，其方向与物体的运动方向始终垂直，故向心力不改变速度的大小．

(3)对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对于非匀速圆周运动，其向心力大小随速率v而变化，公式表述的只是瞬时值． (4)圆周运动的向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力． 温馨提示 向心力是按力的作用效果命名的，它不是某种性质的力．在受力分析时，要避免再另外添加一个“向心力”．

二、向心加速度 向心加速度 定义 做圆周运动的物体，在向心力作用下，必然存在一个由向心力产生的加速度，这个加速度叫做向心加速度 大小 方向 总是沿半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，与向心力的方向一致 物理意义 向心加速度是描述做匀速圆周运动的物体速度方向变化快慢的物理量

温馨提示 (1)不论圆周运动的加速度a的大小是否变化，a的方向总是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动． (2)速度方向变化越快，向心加速度越大．

图4－2－1 温馨提示　涉及三个物理量的变化关系时，必须在某一物理量不变时，才可以判断另外两个物理量之间的关系．

三、解决匀速圆周运动相关问题的方法和步骤 解决匀速圆周运动相关问题的方法就是解决动力学问题的一般方法，其解决问题的步骤也是解决动力学问题的步骤．但要注意灵活运用匀速圆周运动的一些运动学规律，同时在解题的过程中要弄清匀速圆周运动的轨道平面、圆心和半径等． (1)明确研究对象，分析它的受力情况 (2)以向心加速度的方向为正方向，求出合外力的表达式． (3)分析它的运动情况，重点分析它的轨道平面、圆心、半径．明确向心力来源 (4)根据合外力提供向心力列出方程并求解．

教材资料分析 讨论与交流 假设你坐在一辆车上，周围没有其他乘客，也不靠在车厢上，当车子转弯时，你的向心力是从哪里来的？ 点拨　车子转弯时，乘客也应有力提供向心力，重力和支持力在竖直方向上，沿圆半径指向圆心的只能是和车子之间的摩擦力，故向心力来自你和车子之间的摩擦力.

关于向心力的理解、分析与计算 【典例1】现在有一种叫做“魔盘”的娱乐设施如图4－2－2所示．“魔盘”转动很慢时，盘上的人都可以随盘一起转动而不至于被甩开．当盘的转速逐渐增大时，盘上的人便逐渐 图4－2－2 向边缘滑去，离转动中心越远的人，这种滑动的趋势越厉害．设“魔盘”转速为6 r/min，一个体重为30 kg的小孩坐在距离轴心1 m处随盘一起转动(没有滑动)．则这个小孩所需的向心力为多大？这个向心力是由什么力提供的？

答案　11.8 N　向心力由静摩擦力提供

【变式1】 2011款东风标志207于5月18日上市．质量为m的标志207汽车，在半径为20 m的圆形水平路面上行驶，所受的最大静摩擦力是车重的0.5倍．为了不使轮胎在公路上打滑，汽车速度不应超过多少？(取g＝10 m/s2) 答案　10 m/s

向心加速度公式的理解和应用 【典例2】 如图4－2－3所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则 ( )． A．a、b两点的线速度相同 B．a、b两点的角速度相同 图4－2－3

答案 BCD 借题发挥 球体上各点绕同一轴转动的角速度是相同的，这是本题关键所在．再有就是要比较这两点向心加速度的大小时，利用a＝rω2显然方便，原因也是角速度相同．

【变式2】 如图4－2－4所示，定滑轮的半径r＝2 cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a＝2 m/s2做匀加速运动，在重物下落距离为 1 m的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度ω＝_____rad/s，向心加速度大小a＝_____ m/s2. 图4－2－4

答案　100　200

皮带传动问题中向心加速度的计算 图4－2－5 缘上的P点的向心加速度是大小12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度大小各为多少？

答案　4 m/s2　24 m/s2

借题发挥 利用向心加速度分析问题的方法 (1)根据题目中所给的条件，灵活选取a的各种表达式，既可以减少运算又能顺利地求解问题．在求解半径r的大小时，要建立转动物体的空间模型，结合几何关系求出待求量． (2)对车辆辐条的转动、汽车转弯、皮带传动等生产、生活中的实例，我们可以通过探究其a、ω、v、r等各量的变化规律，抓住关键物理量(a、ω、v、r等)的相互约束关系求解．

【变式3】如图4－2－6所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点；左侧为一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和 d点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在传动过程中，皮带不打滑，则下列说法正确的是 (　　)． A．a点与b点的线速度大小相等 B．b点与d点的角速度大小相等 C．a点与d点的向心加速度大小相等 D．a、b、c、d四点中，向心加速度最小的是b点

答案　BCD