3.3 垂径定理(2)

温故知新 如图∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AM=BM, ⌒ AC =BC, ⌒ AD =BD. A B ⑤CD平分弧ADB 定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所对的两条弧. ●O A B C D M└ 如图∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AM=BM, ⌒ AC =BC, ⌒ AD =BD. ⑤CD平分弧ADB ③CD平分弦AB ④CD平分弧AB 结论 条件 ①CD为直径 ②CD⊥AB

想一想 垂径定理的逆命题是什么？ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的 两 条弧. 逆命题1：平分弦的直径垂直于弦。 条件 结论1 结论2 逆命题1：平分弦的直径垂直于弦。 逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。

探索规律 过点M作直径CD. ⌒ ⌒ 平分弦 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. （不是直径） ● M A B ●O ┗ AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD. 上图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. ②CD⊥AB, ⌒ ④AC=BC, 由 ① CD是直径 可推得 ③ AM=BM ⌒ ⑤AD=BD. 平分弦 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. （不是直径）

如图, 对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中: ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. ●O A B C D M└

规律 ⌒ ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, 命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. （1） （4） （5） （3） （2） （5） （3） （4） （2） （2） （4） （5） （3） （1） （2） （3） （1） （4） （1） （5） 命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 逆定理 定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦

. 定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 已知：⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E，且AE=BE. 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC. ⌒ 证明：连结OA，OB，则OA=OB . O A E B D C ∴△AOB是等腰三角形 ∵AE=BE, ∴CD⊥AB （等腰三角形三线合一） ∴AD=BD，AC=BC ⌒ （垂径定理） 请同学们独立证明定理2

辨一辨 × √ × × √ （1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧. （2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心. （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分. （4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. × √ （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分.

   （6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 （7）平分弦的直线，必定过圆心。 （8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。  A B C D O (1) A B C D O (2) A B C D O (3)

   （9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。 （10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。 （11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 A B C D O (6) E A B C O (4) A B C D O (5)

例1、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37 例1、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.01m).

解： AB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交AB于点D. ⌒ ∴OC⊥AB. D ∴OC就是拱高. A B R ∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51, O OD=OC-DC=（R-7.23）. 在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2 ∴R2=18.512+(R-7.23)2, 解得R≈27.31. 答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.

练一练 1、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 : . 图中相等的线段有 : . 图中相等的劣弧有: . A O N M F E D C B

2、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H, EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长. · A B C D E F G H M 3、在直径为130mm的圆铁片上切下一块高为32mm的弓形铁片，求弓形的弦的长度。 （弓形是圆弧和它所对的弦围成的图形）

4、已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，求证：EC＝DF.                . A O B E C D F G

垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 5、求证:如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等 提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: ●O A B C D （1）两条弦在圆心的同侧 ●O A B C D （2）两条弦在圆心的异侧 F E E 垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等.

. . . 课堂小结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 C D A B O M N . A B O E . A C D B O 课堂小结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。

拓展提高 1、 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？