第二部分 导数与微分 在课程简介中已经谈到, 高等数学就是微积分(微分 + 积分). 对于一元函数来说, 微分本质上就是导数. 这一部分内容是“导数与微分”. 由此可见, 这一部分内容在本课程中的重要地位. 我们是在极限的基础之上讨论函数的导数和微分的. “导数与微分”是每个学习高等数学的人必须掌握的内容. 每次考试, 没有“导数与微分”的考题那就一定不是高等数学考试.
学习任务一 导数的概念 1. 如何计算曲线在给定点处的切线方程? 学习任务一 导数的概念 1. 如何计算曲线在给定点处的切线方程? 给定函数y = f(x), 求出y = f(x)所画曲线在给定点P(x0, f(x0))处的切线方程.
可以这样做： 让自变量x在x0处有一个改变量x. 注 x是一个整体, 可以用h等其他符号表示, 有三种情况：x > 0, x = 0, x < 0. 这时自变量x的取值为x0 + x, 相应的函数值为f(x0 + x)，对应的曲线上的点为Q(x0 + x, f(x0 + x)).
通过曲线上的P(x0, f(x0))和Q(x0 + x, f(x0 + x))两个点作直线PQ, 这时PQ的斜率为 其中PR = x, QR = f(x0 + x) - f(x0)是函数值的改变量, 记为y (同样, y也是一个整体符号), 即y = f(x0 + x) - f(x0). 于是, PQ的斜率为
PQ是经过P和Q的割线，让x 0，这时点Q会沿着曲线y = f(x)趋于P，同时割线PQ趋于过P点的切线PT. 于是，PT的斜率为 若上述极限存在，则将该极限称为函数y = f(x)在x0处的导数.
2. 什么是函数在x0处的导数？ 导数的定义 设函数y = f(x)在x0及近旁有定义, 当自变量x在x0处有一个改变量x时, 相应的函数值的改变量为y = f(x0 + x) - f(x0). 若极限 存在，则将该极限称为函数y = f(x)在x0处的导数, 记为 , 即
例(根据定义求函数的导数) 设f(x) = x2,求在x0处的导数 . Solution 根据定义，
在x = -1处的导数 ,在x = 0处的导数 , 在x = 3处的导数 等等. 为了方便,可将中 的x0改为可以任意取值的x，就得到 . 实际上, 中的x0与 的x本质上相同. 改写成 后, x可看作变量, 如x = -1, x = 0, x = 3等等，这样更符合我们的习惯. 可以名正言顺地将称为函数, 它就是导函数.
一般地,将 称为函数y = f(x)的导函数,还是简称y = f(x)导数,也可以记为 或更准确的记号为 , 因为它把哪个变量是自变量、哪个变量是因变量, 即哪个变量对哪个变量求导表示得很清楚,这一点在复合函数求导、隐函数求导以及由参数方程所确定的函数求导等计算中就显得特别重要.
要求大家会计算一个函数的导数就是计算其导函数, 因为有了导函数就很容易得出该函数在某点的导数. 例(根据定义求函数的导函数) 设f(x) = lnx, 求 Solution
类似于上例的推导，可以证明以下常见函数的求导公式, 要求要全部记住以下求导公式: (1) (2) (3) (4) (5) (6)
(7) (8) (9) (10) (11)
注意 若极限 不存在, 则称函数y = f(x)在x0处不可导. 例如, 函数y = f(x) = |x| 在x = 0点就不可导(请大家结合下列图形自己思考！).
3. 导数的几何意义 由前面的讨论知道，函数y = f(x)所画曲线在给定点P(x0, f(x0))处的切线斜率就是函数y = f(x)在x0处的导数. 利用这一点，可以求出切线方程. 看下面的例子. 例(根据导数的几何意义求切线方程) 求曲线f(x) = sinx在 处的切线方程.
Solution 显然, 是曲线上的点. 因为f(x) = sinx, 所以 进而 即在 处的切线斜率为 . 因此, 经过该点的切线方程为
例(根据导数的几何意义讨论) 当x取何值时, 曲线y = x2和y = x3的切线平行. Solution 根据导数的几何意义知, 曲线y = x2在x点处的切线斜率为2x，y = x3在x点处的切线斜率为3x2. 由中学知识知, 两直线平行的充要条件是其斜率相等, 于是2x = 3x2, 进而x = 0或x = 2/3. 所以, 当x = 0或x = 2/3时, 曲线y = x2和y = x3的切线平行.