§4 理想与商环 一、理想 定义14.13：[R;+,*]为环, 若I ,IR,关于+,*运算满足条件: (1)任a,bI,a-bI (2)任aI,rR,a*r,r*aI 称[I;+,*]为[R;+,*]的理想,当I{0},IR时是真理想,否则就是平凡理想。
例：[nZ;+,]是整数环[Z;+,]的理想。 例：[R;+,*]为单位元交换环，任取元素 aR，作R的子集：(a)={a*r|rR},则[(a);+,*]为[R;+,*]的理想。 若[R;+,*]是不含单位元的交换环，对任意aR，作子集(a)={a*r+na|rR,nZ},则[(a);+,*]为[R;+,*]的理想。 这样的理想(a)={a*r+na|rR,nZ}称为由元素a生成的主理想。
由a生成的理想： 有单位元的交换环，(a)={a*r|rR} 无单位元的交换环，(a)={a*r+na|rR} 定理：设S,SR,定义(S)为满足如下条件的最小子集: (1)aS,则a(S) (2)a,b(S),则a-b(S) (3)a(S),rR,则a*r,r*a(S) 则[(S);+,*]是环[R;+,*]的理想。 定义：设S,SR,(S)为满足上述定理条件的最小子集,则称 [(S);+,*]是环[R;+,*]的由S生成的理想。
定义14.14:由环R中一个元素生成的理想称为该环的主理想。如果一个环的所有(真)理想是主理想，则称该环为主理想环 例：[Z;+,*]是主理想环。 分析:关键是证明对任意理想D,都能找到生成元. 证明:若D={0},成立. 若D{0},则设法找生成元. 取D中绝对值最小的非零元b, 证明b是D的生成元
定理14.13：域F上的多项式环F[x]是主理想环。 分析:与前面证明方法类似. 证明:若I={0},成立 对多项式,则应取I中非零的、多项式次数最小的p(x). 这样就要证明对任一理想,可表示成 {p(x)f(x)|f(x)F[x],p(x)为该理想中次数最小的}. 需要利用定理14.8 定理14.8：对f(x)F[x],g(x)F[x], g(x)0,存在唯一的q(x),r(x)F[x], degr(x)<degg(x)或r(x)=0,使得: f(x)=g(x)q(x)+r(x)。
二、商环 设[I;+,*]是环[R;+,*]的理想， [I;+]为[R;+]的正规子群, 在R中作I的陪集I+r={i+r|iI}。 I+r=r+I 子群的性质知:对任两元r1r2, r1,r2R,总有|I+r1|=|I+r2|, (I+r1)∩(I+r2)=或I+r1=I+r2 构造R的一个商集:R/I={I+r|rR}
在R/I上定义为: (I+r1)(I+r2)=I+(r1+r2) 定义为: (I+r1)(I+r2)=I+(r1*r2) 定理14.14:如上述定义的[R/I;,]为环 证明:因为I关于+是R的正规子群,因此 [R/I;]不仅是代数系统,而且是群. 又因为[R;+]是交换群,故[R/I;]也是交换群. 下面考察[R/I;]是否为代数系统,半群 关于是否满足分配律.
定义14.15：设[I;+,*]为环[R;+,*]的理想, 称[R/I;,]为环[R;+,*]关于理想I的商环, 简记为R/I或R-I。 设[F[x];+,*]是域F上的多项式环, p(x)F(x), 且degp(x)=n>0,则(p(x))={p(x)*h(x)|h(x) F(x)}是多项式环的理想. [F[x]/(p(x));,]是商环,其零元(的单位元)是(p(x))+0, 其单位元是(p(x))+1,这里0是F[x]的零元,1是F[x]的单位元.
F[x]/(p(x))=
[Z2[x];+,*]是Z2上的多项式环。取p(x)= x2+x+1,则:Z2[x]/(p(x))={(p(x)), (p(x))+1, (p(x))+x,(p(x))+(x+1)},简化为{0,1,x,x+1}
定理14.17:F[x]为域F上的多项式环, 商环F[x]/(p(x))是域, 当且仅当p(x)为F[x]上的不可约多项式。
作业：P192 27, 29