第 13 章 电介质 §13.1 静电场中的电介质 §13.2 介质中的高斯定理 §13.3 介质边界两侧的静电场 §13.4 静电场的能量

§13.1 静电场中的电介质 电介质： 除导体外的所有物质。 具有高电阻率的电介质——绝缘体。 电介质的特点： 原子中的电子被原子核束缚的很紧，不能自由移动。介质内部没有可以自由移动的电荷。 在外电场中，物质分子中的正负电荷可以在分子线度范围内移动——产生极化现象。

= + 一、电介质的分类 1. 有极分子： 无外场时，分子等效正、负电荷中心不重合分子固有电偶极矩。 O-- H+ H2O - - -q

2. 无极分子： 无外场时，分子等效正、负电荷中心重合无分子固有电偶极矩。 O2 + - = ±

二、电介质的极化 1. 无极分子的位移极化 O2 + - - + + - + -

在外电场的作用下，电介质响应外电场而在介质表面出现电荷积累的现象称为电介质的极化。 + - - + 与金属中的可以自由移动的电荷（自由电子）相对，极化现象中介质表面产生的电荷称为束缚电荷，或称极化电荷。 无极分子在外场的作用下正、负电荷中心发生偏移而产生的极化现象称为位移极化，或称感应极化。

2. 有极分子的转向极化 。 -q +q - + - + 有极分子在外电场的作用下，电偶极矩发生偏转而产生的极化现象称为转向极化。

三、电极化强度矢量 为了定量描述介质极化程度，引入电极化强度： （C· m-2 ） 介质内的总电场： 实验证明：对于各向同性的介质，当电场不太强时，介质内任意点的电极化强度与该点的总电场强度成正比。 —— e 称为介质的电极化率 当介质为各向同性的均匀介质时，极化率为一纯（常）数。

四、极化电荷分布 + 考虑各向同性的均匀介质的极化  设在介质表面附近极化强度矢量如图示， 取一斜圆柱体。 体积为 偶极矩

不同介质交界面处的极化电荷分布。 1 2 -

五、闭合曲面内的极化电荷 在已极化的介质内任意作一闭合面S（如图所示） S 将把位于 S 附近的电介质分子分为两部分:一部分在 S 内，一部分在 S 外。 电偶极矩穿过S 的分子对S内的极化电荷有贡献

1. 小面元 dS 对面 S 内极化电荷的贡献 当   /2，负电荷在面内 当  > /2，正电荷在面内 +  当   /2，负电荷在面内 当  > /2，正电荷在面内 小面元 dS 对面内极化电荷的贡献:

2 . 在 S 所围的体积内的极化电荷 任何闭合曲面上 的通量等于该闭合曲面 包围的极化电荷总量的负值。 END

§13.2 介质中的高斯定理 一、介质中的静电场 有介质存在时，空间静电场的性质与自由电荷（q0）以及电介质的分布有关。 空间总的静电场为：

*以平行板电容器为例讨论空间总的静电场* 平行板电容器 自由电荷面密度为0。 介质均匀极化，表面出现束缚电荷± 。 内部的场由自由电荷和束缚电荷共同产生

自由电荷± 0 束缚电荷±  相对介电常数 介电常数

*充满介质时电容器的电容* 电容器无介质时，自由电荷Q0 电容器充满介质时，电场强度变小 介质中的场强 E 比真空中相应电荷分布的场强 E0 小，而充满介质电容器的电容 C 比真空电容器的电容 C0 大。 ——又称电容率。

二、介质中的高斯定理 真空中的高斯定理： 介质中的高斯定理：

定义电位移矢量： ——介质中的高斯定理

讨论： （1）介质中的高斯定理表明：电位移矢量对任意封闭曲面的通量与该封闭曲面内的自由电荷有关。 （2）电位移矢量是描述介质中电场性质的辅助量，没有具体的物理意义。电场强度是描述电场的基本物理量。

（3）介质中的高斯定理包含了真空中的高斯定理。

（4）电位移矢量与电场强度的关系 对于均匀的各向同性电介质，当电场不太强时： 注意 是普遍成立定义式。 但是 只适用于各向同性的均匀介质。

三、介质中的高斯定理应用 主要是指自由电荷分布和电介质在空间分布具有高度对称性的问题。 计算电介质中场强的主要步骤： 1. 根据自由电荷分布和电介质空间分布对称性分析电位移矢量空间分布特征； 2. 根据介质中的高斯定理得到电位移矢量的空间分布。 3. 根据电场强度与电位移矢量的关系计算场强空间分布。

[例题13-1] 极板面积为S 的平行板电容器中充满两层电介质，其厚度分别为d1和d2，相对介电常数分别为r1和r2。求电容。 解： 利用高斯定理可以很方便地求出电容器内部均匀电场的电位移矢量 r2 r1 d1 d2 据此可得电场分布： 电容器的电容亦与介质的电学性质及几何性质有关

类似于[例11-5]，利用对称性分析和高斯定理可以求电位移矢量分布 [例题13-2] 球形电容器由半径为R1的内球体和内半径为R3的导体球壳组成，充满两层相对介电常数分别为r1和r2的均匀电介质，分界面的半径为R2。试求球形电容器电容。 解： 类似于[例11-5]，利用对称性分析和高斯定理可以求电位移矢量分布 R1 R2 R3 r1 r2

R1 R2 R3 r1 r2 END

§13.3 介质边界两侧的静电场 本节讨论极靠近边界两侧 或 之间的关系。 一、场强与界面垂直 设界面没自由电荷 线连续 线中断

二、场强与界面斜交 利用介质中的高斯定理： 利用环流定理：

[例题13-3]如图示系统，求（1）电荷分布；（2）电场分布，（3）电容器电容。 解： 定性分析 （1）由对称性，电荷上下各为均匀分布； （2）由静电平衡条件：电场强度沿径向（不然，电荷会继续移动）； （3）由边界条件：介面两侧电场强度的切向分量相等， 而电场强度沿径向， （两侧的电位移矢量则不相同！） （两部分的导体表面电荷密度不同！）

利用高斯定理： 和： 极化电荷分布可由 求得。 电容器电容可由电容定义求得。 END

§13.4 静电场的能量 一、带电体系的静电能 若点电荷 q0 处于q 的电场中， 静电能为： 把q0从P点移到无限远时静电场力作的功，就是 “系统”的静电势能。 或：把q0从无限远移动到P点的过程中，外力反抗静电力作的功。

* 对于点电荷体系（或连续带电体），系统的能量可以有类似的定义： 把点电荷体系无限分离到彼此间相距无限远的过程中静电场力作的功，叫作该系统内的静电势能。 对连续带电体，可以把带电体看成是由无限多电荷元组成的点电荷体系。这样，连续带电体的静电能量的定义同上。

二、点电荷系的能量 r 电势能： n个点电荷系统的电势能： 其中，Vi 为除 qi 外其它点电荷在 qi 处产生的电势之和。 q2 q2

三、连续带电体的静电能量 体状带电体： 面状带电体： 线状带电体： dq 面状带电体： 线状带电体： 式中V 表示电荷元处的电势，原则上不包括该电荷元的贡献。但由于电荷元的贡献为一阶小量，其中的差别可以忽略。

讨论与说明： 1. 点电荷系的静电能是指点电荷间的相互作用能量之和——称为“互能”。互能可能为正值也可能为负值，由系统构成决定。 1. 点电荷系的静电能是指点电荷间的相互作用能量之和——称为“互能”。互能可能为正值也可能为负值，由系统构成决定。 2. 单个连续带电体的总静电能习惯上称为“自能”。数值上它等于将该带电体上各个部分的电荷分散到无限远的状态时，电场力所作的总功。自能只能为正。 3. 连续带电体系的静电能等于各连续带电体的“自能”和各连续带电体之间的“互能”之总和（总为大于零的值）。

四、电容器储存的静电能量(带电 Q) A B -q +q uAB + dq 电容器的静电能：

五、电场的能量，能量密度 设带电系统静电作用能量是以电场能量的形式储存在电场中的。 以平板电容器为例： 其中： 电容器体积：V = Sd

电场的能量密度： 单位体积电场所具有的能量 把电场能量密度推广到非均匀场的情况！ 电容器体积：V = Sd

[例题13-4]求带电量为 Q ，半径为 R 的均匀球体的静电场能。 [解法一] 按照电势能定义式求 利用高斯定理： R Q r 得球内电场： 同样得球外电场： 球内一点电势：

R Q dr

[解法二]按照电场能量定义式求 上述讨论说明：带电系统的静电作用能就是该带电系统在空间产生的电场的能量。它总是正的。

[例题13-5]球形电容器带电q，内外半径分别为R1和R2，极板间为空气，计算电场的能量。 [解法一]按照电场能量定义式 R2 R1 已知： r dr

R2 R1 r dr

[解法二]按照电势能定义式求 R2 R1

计算电容器电容： R2 R1 END