課程五 機率

機率 機率是長期觀察隨機變數之後，事件發生的比例 樣本空間：所有事件的集合 事件：樣本空間的子集合 離散 連續

機率規則 P(~A)=1-P(A) P(A∪B)=P(A)+P(B) if P(A∩B)=0 聯合(joint)機率：P(A∩B) 邊際(marginal)機率： P(A∩B1)+P(A∩B2)+… 條件機率：P(A|B)＝P(A∩B)/P(B) P(B) ×P(A|B)= P(A∩B) 如果是獨立事件P(A∩B)=P(A) ×P(B)

例 上課時間 上午A1 下午A2 有無帶筆電上課 帶筆電B1 31 23 沒帶筆電B2 19 27

各種機率 上午上課且帶筆電的（聯合）機率為：P(A1∩B1)＝31/100＝0.31 上午上課的（邊際）機率為： P(A1∩B1)+ P(A1∩B2)＝0.31+0.19＝0.5 帶筆電的（邊際）機率為： P(B1∩A1)+ P(B1∩A2)＝0.31+0.23＝0.54 已知某同學上午上課，他帶筆電的（條件）機率： P(A1∩B1)/ P(A1)＝0.31/0.5

例 假設在中國的26名省市委書記中，具有博士學位黨職的有8人，出生在「50後」有14人，有博士學位且出生在「50後」的有5人。則有博士學位或是出生在「50後」的機率為？ P(A)=18/26=0.3. P(B)=14/26=0.53. P(A∩B)=5/26=0.19. P(A)+P(B)- P(A∩B)=0.64

機率分佈（Probability distribution) 在長時間重複觀察之後，特定事件發生的比例可以函數或是類似直方圖的方式表示 0≦P(y)≦1

離散變數的機率 給變數y的每一個值一個機率 計算觀察到每個值發生的次數再除以總次數。 機率分佈用直方圖表示，或稱為probability mass function (pmf)。 平均值：Σy×P(y)

連續變數的機率 連續變數可表示某一變數值或是區間所發生的機率。 函數下的面積應為1 機率分佈的參數為平均值μ及標準差σ 最常見的是常態分佈 P(-σ < y < σ) = 0.68, 0.95 for 2σ（A&F圖4.3）

常態分佈的表示方式

常態分佈函數

標準化常態分佈的表示方式

Z值 表示y的某個值與其平均值相差有多少標準差，也是一種標準化過程。

Z值及機率分布1 Z值與機率之間可以互相對照，代表函數底下的面積，或者是累積機率，也是一種分位數。

Z值及機率分布 當Z=0，對應為0.5的機率 當Z=1.0，對應的右尾累積機率為0.1587，也就是說平均值加1個標準差的累積機率為0.5-0.1587＝0.3413，因此平均值正負1個標準差的機率則為0.6826，或者是68％。 當Z=2.0，對應的右尾累積機率為0.0228，因此平均值正負2個標準差的機率則為1-2*0.0228＝0.9544，或者是95％、0.95。

例 當平均值是100、標準差為16時， 常態分佈下的99％的IQ代表幾分？ 因為累積機率為99％或者是右尾剩餘機率為1％，以標準常態分布而言，對應的Z值為2.32，所以y=100+2.32*16=137.2 換句話說，當平均值是100、標準差為16時， 在常態分佈下有99％的人不到137.2

例 美國人身高平均值為70.2吋，標準差為2.89吋，那麼不到6呎的機率為？ Z=（72-70.2）/2.89＝0.62。查表可知右尾機率為0.2676。故1-0.2676＝0.73＝73％ 那麼身高介於70.2吋與6呎之間的機率為？ 73％-50％＝23％

抽樣分佈 抽樣分佈(sampling distributions)指的是根據母體所得到的樣本統計資料，所呈現的分佈。 機率分佈(probability distributions)則是列出變數的所有可能發生事件。瞭解機率分佈可幫助我們瞭解從樣本推論到母體。 實際上，我們最多知道樣本分佈。

例—投票選擇（二元） 民調顯示56.5％的民眾投給阿諾。 假設已知母體（加州州民）有50％的民眾投給阿諾。（μ＝0.5）。 0.565是許多樣本統計的其中之一，每一「個」樣本可視為許多觀察值的總合。 樣本分佈則是把許多樣本以其樣本統計值為X軸、次數為Y軸列成直方圖。

例—投票選擇（二元）續 仿民意調查，我們隨機抽2705人，抽3000次。已知母體支持阿諾的機率為0.5。 經由常態分佈的模擬，可得到以下的樣本比例： 0.497, 0.515, 0.505, 0.489, 0.500, 0.504, 0.509, 0.507, 0.505, 0.508,…. 畫成直方圖表示樣本分佈，大多數集中在0.5

例—投票選擇（二元）續 或者模擬樣本數為4—統計值較少 最小值為: 0, 最大值為: 1, 平均值為: 0.5 可先建立樣本分配(sampling distribution) 或是畫圖表示

平均值y-bar的抽樣分佈 前述的投票選擇屬於二元的變數，稱為樣本比例（sample proportion），但是我們更關心連續變數y的平均數（y-bar） 不同樣本有不同y-bar，許多的y-bar可成為一個抽樣分佈。 眾多y-bar的平均值以及離散程度即這個y-bar抽樣分佈的重要參數。

平均數與標準誤

例 從任何一個母體分佈抽出若干樣本，樣本數越大，抽樣分佈應該有越小的離散程度，而其平均值應該越接近母體。 假設有一個單一分佈的母體（N=100,000, μ=95.04, σ=20.2）

， σ-y-bar 抽出100個樣本，抽100次之後，平均值為95.28, σ-y-bar=20.2/10=2.02(實際：2.09)

小結 因為實際上我們不可能知道σ，所以σ-y-bar只是估計，但是可以看到它跟實際的抽樣分佈的離散程度相當接近。 而當樣本數n越大，標準誤越小，因此抽樣分佈越集中在母體的平均值附近。

樣本比例 如果y是二元變數，母體的平均數為p。 變異數則是p(1-p) 但是許多的平均數所形成的抽樣分佈，標準誤為σ-y-bar。 當p=0.5， σ-y-bar=0.5/√n

例 母體的平均值為0.5，那麼σ-y-bar=0.5/√2705=0.01。 因此，如果有56.5%的民眾投給阿諾，0.565與母體平均值差距＝6.5個標準誤。遠超過三個標準誤[0.47, 0.53]。 我們不知道σ，但是，不管母體是什麼分佈，n越大、抽樣分佈的標準誤越小，而且呈常態分佈。

抽樣誤差 根據抽樣分佈的標準誤，可以反推需要多少樣本。 假設母體比例為0.559， σ-y-bar=0.497/√2705=0.01 當n=400, 且μ=0.559，σ=0.497，σ-y-bar=0.497/√400=0.025。因此，樣本越大，μ相同的情況下，y-bar越集中，抽樣誤差（sampling error）越小

中央極限定理 不論母體的機率分佈為何，平均值的抽樣分佈隨著樣本變大，越來越接近常態分佈。 而根據經驗法則，幾乎所有平均值會落在平均值加減3個標準誤的區間。 理論上我們不知道σ，需要用樣本的s估計。如果樣本數越接近母體，抽樣誤差越小，樣本平均值也越接近母體平均值。

例 假設有一連續變數，其分佈往左偏。 可以觀察當抽出30個樣本、100個樣本，抽樣分佈接近常態分佈。

總結 瞭解機率的基本原則 瞭解機率分佈的意義 瞭解標準常態分佈z值之意義 瞭解何謂抽樣分佈